專(zhuān)題強(qiáng)化2初速度為零的勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的常用推論追及和相遇問(wèn)題課程標(biāo)準(zhǔn)1．掌握初速度為零的勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)比例式的推導(dǎo)及應(yīng)用。2．進(jìn)一步加深學(xué)生逆向思維的靈活運(yùn)用。3．會(huì)分析追及相遇問(wèn)題，理解兩者速度相等為臨界條件。探究初速度為零的勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的常用推論要點(diǎn)提煉1．等分運(yùn)動(dòng)時(shí)間(以T為時(shí)間單位)。(1)1T末、2T末、3T末…瞬時(shí)速度之比v1∶v2∶v3＝1∶2∶3…(2)1T內(nèi)、2T內(nèi)、3T內(nèi)…位移之比x1∶x2∶x3…＝1∶4∶9…(3)第一個(gè)T內(nèi)、第二個(gè)T內(nèi)、第三個(gè)T內(nèi)…的位移之比：xⅠ∶xⅡ∶xⅢ…＝1∶3∶5…2．等分位移(以x為單位)。(1)通過(guò)x、2x、3x…所用時(shí)間之比：t1∶t2∶t3…＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)…(2)通過(guò)第一個(gè)x、第二個(gè)x，第三個(gè)x…所用時(shí)間之比：tⅠ∶tⅡ∶tⅢ…＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))…(3)x末、2x末、3x末…的瞬時(shí)速度之比：v1∶v2∶v3＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)(1)以上比例成立的前提是物體做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。(2)對(duì)于末速度為零的勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，可把它看成逆向的初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用比例關(guān)系，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化，同時(shí)注意初末時(shí)刻與實(shí)際問(wèn)題對(duì)應(yīng)。典例剖析典題1(2023·內(nèi)蒙古赤峰高一期中)港珠澳大橋上的四段長(zhǎng)度均為110m的等跨鋼箱連續(xù)梁橋如圖所示，汽車(chē)從a處開(kāi)始做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，恰好行駛到e處停下。汽車(chē)通過(guò)ab段所用的時(shí)間為t1，汽車(chē)通過(guò)de段所用的時(shí)間為t2，則eq\f(t2,t1)滿(mǎn)足(C)A．1<eq\f(t2,t1)<2 B．2<eq\f(t2,t1)<3C．3<eq\f(t2,t1)<4 D．4<eq\f(t2,t1)<5解析：將汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程反向來(lái)看，即從e到a進(jìn)行勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度大小為a，每段梁跨長(zhǎng)度為L(zhǎng)，根據(jù)初速度為零的勻變速運(yùn)動(dòng)公式x＝eq\f(1,2)at2，可得t2＝eq\r(\f(2L,a))，同理可得t1＝tae－tbe＝eq\r(\f(2×4L,a))－eq\r(\f(2×3L,a))，所以有eq\f(t2,t1)＝eq\f(\r(\f(2L,a)),\r(\f(2×4L,a))－\r(\f(2×3L,a)))＝2＋eq\r(3)，即3<eq\f(t2,t1)<4，故選C。對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(多選)(2023·湖北高一期中)小球在光滑斜面上下滑，從a點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，通過(guò)ab、bc、cd各段所用時(shí)間均為T(mén)。若從b點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，則該小球(AC)A．通過(guò)bc、cd段的位移之比為3∶5B．通過(guò)bc、cd段的時(shí)間均小于TC．通過(guò)c、d點(diǎn)的速度之比為eq\r(6)∶4D．通過(guò)c點(diǎn)的速度等于通過(guò)bd段的平均速度解析：從a點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，通過(guò)ab、bc、cd各段所用時(shí)間均為T(mén)。則根據(jù)初速度為零的勻變速運(yùn)動(dòng)相等時(shí)間的位移關(guān)系可知，通過(guò)ab、bc、cd段的位移之比為1∶3∶5，選項(xiàng)A正確；當(dāng)從a點(diǎn)下滑時(shí)，到達(dá)b點(diǎn)已經(jīng)有了速度，此時(shí)通過(guò)bc、cd段的時(shí)間均等于T；若從b點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑時(shí)，在b點(diǎn)的速度為零，則通過(guò)bc、cd段的時(shí)間均大于T，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；設(shè)bc＝3x，cd＝5x，則通過(guò)c點(diǎn)的速度vc＝eq\r(2a·3x)，通過(guò)d點(diǎn)的速度vd＝eq\r(2a·8x)，通過(guò)c、d點(diǎn)的速度之比為eq\r(6)∶4，選項(xiàng)C正確；通過(guò)bd段的平均速度eq\x\to(v)bd＝eq\f(vd,2)＝2eq\r(ax)≠vc，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。探究追及和相遇問(wèn)題要點(diǎn)提煉兩物體在同一直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離發(fā)生變化時(shí)，可能出現(xiàn)最大距離、最小距離或者是距離為零的情況，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為追及和相遇問(wèn)題，討論追及和相遇問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是兩物體能否在同一時(shí)刻到達(dá)同一位置。1．要抓住一個(gè)條件、兩個(gè)關(guān)系(1)一個(gè)條件：速度相等。這是兩物體是否追上(或相撞)、距離最大、距離最小的臨界點(diǎn)，是解題的切入點(diǎn)。(2)兩個(gè)關(guān)系：時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。通過(guò)畫(huà)示意圖找出兩物體位移之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的突破口。2．常用方法(1)物理分析法抓住“兩物體能否同時(shí)到達(dá)空間某位置”這一關(guān)鍵，認(rèn)真審題，挖掘題中的隱含條件，建立物體運(yùn)動(dòng)關(guān)系的圖景，并畫(huà)出運(yùn)動(dòng)情況示意圖，找出位移關(guān)系。(2)圖像法：將兩者的v－t圖像在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出，然后利用圖像求解。(3)數(shù)學(xué)極值法：設(shè)從開(kāi)始至相遇時(shí)間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于t的一元二次方程，用判別式進(jìn)行討論，若Δ>0，即有兩個(gè)解，說(shuō)明可以相遇兩次；若Δ＝0，說(shuō)明剛好追上或相遇。若Δ<0，說(shuō)明追不上或不能相碰。3．解題思路eq\x(\a\al(分析兩物體,運(yùn)動(dòng)過(guò)程))→eq\x(\a\al(畫(huà)運(yùn)動(dòng),示意圖))→eq\x(\a\al(找兩物體,位移關(guān)系))→eq\x(\a\al(列位移,方程))(1)在解決追及、相遇類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要緊抓“一圖三式”，即過(guò)程示意圖，時(shí)間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式，另外還要注意最后對(duì)解的討論分析。(2)分析追及、相遇類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等，往往對(duì)應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài)，滿(mǎn)足相應(yīng)的臨界條件。典例剖析典題2一輛汽車(chē)在十字路口等待綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車(chē)以3m/s2的加速度開(kāi)始行駛，恰在這時(shí)一輛自行車(chē)以6m/s的速度勻速駛來(lái)，從后邊超過(guò)汽車(chē)。試問(wèn)：(1)汽車(chē)從路口開(kāi)動(dòng)后，在趕上自行車(chē)之前經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間兩車(chē)相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？(2)汽車(chē)什么時(shí)間追上自行車(chē)？此時(shí)汽車(chē)的速度是多少？思路引導(dǎo)：本題屬于追及相遇問(wèn)題，可用多種方法求解。物理分析法解題快，函數(shù)法解題步驟清晰，易于表達(dá)，而圖像法不但能找到極值點(diǎn)，還能找到相遇點(diǎn)，能得出當(dāng)兩物體相距最遠(yuǎn)時(shí)的時(shí)間t、速度v，同時(shí)能得出當(dāng)兩物體相遇時(shí)用的時(shí)間和速度。同學(xué)們可嘗試用不同的方法求解。解析：(1)解法一(函數(shù)法)：當(dāng)運(yùn)行時(shí)間為t時(shí)，兩車(chē)相距的距離為Δx＝6t－eq\f(3,2)t2當(dāng)t＝－eq\f(b,2a)＝2s時(shí)，有極值Δx＝eq\f(4ac－b2,4a)＝6m。(其中字母a、b、c是二次函數(shù)中的系數(shù))解法二(方程法)：當(dāng)運(yùn)行時(shí)間為t時(shí)，兩車(chē)相距的距離為Δx＝6t－eq\f(3,2)t2，則eq\f(3,2)t2－6t＋Δx＝0。當(dāng)判別式Δ≥0時(shí)方程有實(shí)數(shù)解，即Δx≤6m，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仁匠闪r(shí)有極值。解法三(物理分析法)：當(dāng)兩車(chē)的速度相等時(shí)，兩車(chē)間的距離最大，則at＝6m/s，t＝2s，Δx＝6t－eq\f(3,2)t2＝6m。解法四(圖像法)：畫(huà)出v－t圖像，如圖所示。圖線(xiàn)與時(shí)間軸圍成的面積就是位移。經(jīng)分析得兩車(chē)的速度相等時(shí)，兩車(chē)間的距離最大，則6＝3t，Δx＝6t－eq\f(6t,2)解得t＝2s，Δx＝6m。(2)解法一(物理分析法)：汽車(chē)追上自行車(chē)時(shí)，兩車(chē)位移相等v自t′＝eq\f(1,2)at′2，代入數(shù)值得t′＝4s，v汽＝a汽t′＝3×4m/s＝12m/s。解法二(圖像法)：由前面的v－t圖像可看出當(dāng)t′＝2t＝4s時(shí)，兩車(chē)位移相等，此時(shí)汽車(chē)的速度v汽＝2v＝12m/s。答案：(1)2s6m(2)4s12m/s對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練?(2023·山東臨沂高一期末)A、B兩輛列車(chē)在能見(jiàn)度很低的霧天里在同一軌道上同向行駛，A車(chē)在前，速度vA＝10m/s，B車(chē)在后，速度vB＝30m/s。當(dāng)B車(chē)發(fā)現(xiàn)A車(chē)時(shí)就立刻剎車(chē)。已知B車(chē)在進(jìn)行剎車(chē)測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，若車(chē)以30m/s的速度行駛時(shí)，剎車(chē)后至少要前進(jìn)1800m才能停下，假設(shè)B車(chē)剎車(chē)過(guò)程中加速度恒定。為保證兩輛列車(chē)不相撞，則能見(jiàn)度至少要達(dá)到(B)A．600m B．800mC．1000m D．1600m解析：由于B車(chē)以30m/s的速度行駛時(shí)，剎車(chē)后至少要前進(jìn)1800m才能停下，則a＝eq\f(v\o\al(2,0),2x0)＝eq\f(302,2×1800)m/s2＝0.25m/s2，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間t0B車(chē)減速至與A車(chē)速度相等，則有vA＝vB－at0，為保證兩輛列車(chē)不相撞，則能見(jiàn)度至少要達(dá)到xmin＝eq\f(vA＋vB,2)t0－vAt0，解得xmin＝800m，故選B。一、初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的比例關(guān)系1．一個(gè)物體從靜止開(kāi)始做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，它在第1s內(nèi)與第2s內(nèi)的位移之比為x1∶x2，在走完第1m時(shí)與走完第2m時(shí)的速度之比為v1∶v2。以下說(shuō)法正確的是(B)A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶eq\r(2)C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶eq\r(2)解析：由初速度為零的勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的比例關(guān)系知x1∶x2＝1∶3，由x＝eq\f(1,2)at2知，走完1m與走完2m所用時(shí)間之比為t1∶t2＝1∶eq\r(2)，又v＝at，可得v1∶v2＝1∶eq\r(2)，B正確。2．(2023·山東臨沂高一校考期末)如圖所示，相同的木塊A、B、C固定在水平地面上，一子彈(視為質(zhì)點(diǎn))以水平速度v0擊中并恰好穿過(guò)木塊A、B、C，子彈在木塊中受到的阻力恒定，子彈射穿木塊A所用的時(shí)間為t，則子彈射穿木塊C所用的時(shí)間約為(C)A．t B．2tC．3t D．4t解析：子彈在木塊中受到的阻力恒定，則子彈做勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，由于恰好穿過(guò)木塊A、B、C，表明穿過(guò)C時(shí)速度恰好為0，根據(jù)逆向思維，初速度為0的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，在連續(xù)相鄰相等位移內(nèi)的時(shí)間之比為tC∶tB∶tA＝1∶(eq\r(2)－1)：(eq\r(3)－eq\r(2))，根據(jù)題意有tA＝t，解得tC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋\r(2)))t≈3t，故選C。二、追及和相遇問(wèn)題3．(多選)(2023·湖南常德高一校聯(lián)考階段練習(xí))A和B兩物體在同一直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的v－t圖像如圖所示。已知在第3s末兩個(gè)物體在途中相遇，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(ACD)A．兩物體從同一地點(diǎn)出發(fā)B．出發(fā)時(shí)B在A(yíng)前3m處C．3s末兩個(gè)物體相遇后，兩物體可能再相遇D．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中B的加速度大于A(yíng)的加速度解析：速度—時(shí)間圖像與時(shí)間軸所圍成的面積代表位移，那么前3秒A的位移為xA＝eq\f(3×5,2)m＝7.5m，B的位移xB＝eq\f(3×3,2)m＝4.5m，而AB在3s末相遇，xA≠xB，所以AB不是同一點(diǎn)出發(fā)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，符合題意；出發(fā)時(shí)B在A(yíng)前Δx＝xA－xB＝3m，選項(xiàng)B正確，不符合題意；3s前A比B的速度大，3s末追上B此后A的速度仍大于B的速度，所以二者不會(huì)再次相遇，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；速度—時(shí)間圖像的斜率代表加速度，A的斜率大于B，即A的加速度大于B的加速度，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意。故選ACD。4．(2023·陜西渭南高一階段練習(xí))足球運(yùn)動(dòng)員將一個(gè)靜止的足球以20m/s的速度踢出，足球沿草地做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度不斷減小，設(shè)加速度大小恒為4m/s2，同時(shí)足球運(yùn)動(dòng)員以4m/s的恒定速度去追足球，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(D)A．足球通過(guò)的位移大小為50mB．足球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為5sC．足球停下后運(yùn)動(dòng)員才追上足球D．運(yùn)動(dòng)員追上