2023-2024學(xué)年江西省高二上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

L拋物線X=看尸的準(zhǔn)線方程是()

O

A.X=-B.X=-2C.x=2D.X=--

22

【正確答案】B

【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用準(zhǔn)線方程求解.

【詳解】拋物線X=Jy2化為標(biāo)準(zhǔn)方程：),2=8χ,

O

所以其準(zhǔn)線方程是x=-2?

故選：B

本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.在空間直角坐標(biāo)系。-9Z中，點(diǎn)(-1,4,9)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為()

A.(-1,4,-9)B.(—1,-4⑼C.(1,4,-9)D.(1,-4,-9)

【正確答案】C

根據(jù)空間點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性求解.

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于>軸的對(duì)稱(chēng)，把X變?yōu)?X,Z變?yōu)?z,y不變，

所以點(diǎn)(-1,4,9)關(guān)于〉軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(1,4,-9)

故選：C

本題主要考查了空間中兩點(diǎn)間的對(duì)稱(chēng)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和理解辨析的能力，屬于基

礎(chǔ)題.

3.若雙曲線二-W=l(α>0/>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為6,離心率e=g,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

ab^3

A.(+4,0)B.(0,±4)C.(+5,0)D.(0,±5)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線離心率的公式，結(jié)合實(shí)軸長(zhǎng)的定義、焦點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.

22

【詳解】因?yàn)殡p曲線4-==l(α>0*>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為6,所以2α=6nα=3,

a~b~

dy5C5c5

又因?yàn)殡p曲線A--r=l(0>O,b>O)的離心率e=；,所以e=—=；=>,=；=>c=5,雙曲

(Tb-3a333

=1(?>0,b>0)的焦點(diǎn)在縱橫上,

所以該雙曲線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,15).

故選：D

4.已知y與X及"與U的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表，且y關(guān)于X的線性回歸方程為y=1.2x+0.6,則〃

關(guān)于V的線性回歸方程為()

V1020304050

μ2030405070

X12345

y23457

A.〃=12u+6B.μ-l.2v+0.6

C./∕=0.12v+0.6D.μ-1.2v+6

【正確答案】D

【分析】由已知可得a=1.2,4=0.6,根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出3=10"A=IOv>由公式求出打，

a2,進(jìn)而可得〃關(guān)于V的線性回歸方程.

【詳解】由題表知，v=10χ,μ=IOy,

t(%-χ)(%-

因?yàn)閥關(guān)于X的線性回歸方程為y=1.2x+0.6，所以仇=口-----——=1.2,

Σ(Λ?-X)

J=I

可得4=y-blX=0.6,

Σ(vi-v)(Λ-A)∑(IOxj-IOxj(IOyi-IOy)

所以為二-------:________/=I

2

∑(vi-v)IOxy-IOxj

/=I

100次［I-X)(K

-??——Ξ^=l?2,

IooZ(%-x)

?=1

則a2=μ-b2?v=10?-1.2×10x=10a1=6,

所以〃關(guān)于V的線性回歸方程為〃=L2v+6,故選項(xiàng)D正確；

故選：D.

5.在新的高考改革方案中規(guī)定：每位考生的高考成績(jī)是按照3(語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ))+2(物

理、歷史)選1+4(化學(xué)、生物、地理、政治)選2的模式設(shè)置的，則在選考的科目中甲、

乙兩位同學(xué)恰有兩科相同的概率為()

A.-B.-C.—D.g

43122

【正確答案】C

【分析】先求出甲、乙兩位同學(xué)選考的總數(shù)為XCC:種，選考的科目中甲、乙兩位同

學(xué)恰有兩科相同有兩種情況，一是相同科目為4選2的科目，另一個(gè)是相同的科目為2選1

和4選2中的1個(gè)，然后利用古典概型的概率公求解即可

【詳解】解：由題意得出甲、乙兩位同學(xué)選考的總數(shù)為XeC：=144種，

若相同的科目為4選2的科目，則有=12種；

若相同的科目為2選1和4選2中的1個(gè)，則有C；C：GG=48種，

所以所求概率為與辛=J

14412

故選：C

6.己知方程I∏2χ+(ln4+ln3)lnx+21n2?ln3=θ的兩根為演，巧，則x∣?±=()

A.-Inl2B.21n2-ln3C.—D.12

12

【正確答案】C

【分析】對(duì)方程In?x+(ln4+ln3)lnx+21n2?ln3=0^)?^>∕ij(lnx÷ln4)(lnx+ln3)=0,可求

出陽(yáng)，巧，即可求出的值.

【詳解】將原方程因式分解為(InX+ln4)(lnx+ln3)=0,所以InX=-In4或InX=-In3,

所以玉=；或七=:，所以占“2=1故選C.

本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.某人先后三次擲一顆骰子，則其中某兩次所得的點(diǎn)數(shù)之和為11的概率為()

【正確答案】C

【分析】依題意要使得兩次所得的點(diǎn)數(shù)之和均不為11,則5和6兩個(gè)數(shù)最多只有一個(gè)數(shù)可

被選到，再分5和6一個(gè)都不被選到與5和6恰好有一個(gè)被選到兩種情況討論，利用古典概

型及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；

【詳解】解：從反面來(lái)考慮該問(wèn)題，因?yàn)?1=5+6,所以要使得兩次所得的點(diǎn)數(shù)之和均不為

II,則5和6兩個(gè)數(shù)最多只有一個(gè)數(shù)可被選到，下面分情況討論：第一種，5和6一個(gè)都不

被選到，則有4*4x4種選法；第二種，5和6恰好有一個(gè)被選到，不妨設(shè)5被選到，則有

（5χ5χ5-4χ4χ4）種不同的選法,故5和6恰好有一個(gè)被選至IJ的選法有2x（5x5x5-4x4x4）

種不同的選法.所以滿足條件的概率為1-`+2X（5'-甲）=2,

6336

故選：C.

8.若圓f+9+av+∕,y+c=o與圓元2+丫2=］關(guān)于直線）,=2X一1對(duì)木爾，貝IJa+/,=

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，圓/+V+ax+by+c=。的圓心C與（0,0）關(guān)于直線y=2x-l對(duì)稱(chēng)，且

半徑為1.求出C的坐標(biāo)，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)建立關(guān)于。、。的方程組，解出“、b,可得a+6的

值.

【詳解】圓/+y2=l的圓心為原點(diǎn)，半徑為1

二與圓χ2+V=l關(guān)于直線y=2x-l對(duì)稱(chēng)的圓，設(shè)其圓心為C

則C與（0,0）關(guān)于直線y=2x-l對(duì)稱(chēng)，且半徑也為1,.cf-∣a,-∣b

-?b.

?=.1

-?a2

2，解之得a=-e,b4

55

?b-?a

^~=2×~^--1

22

844

由此可得a+b==+]=-].

故選A.

本題給出圓C與單位圓關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，求圓心坐標(biāo)?著重考查了圓的方程、直線的方程和

直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題.

二、多選題

9.有甲、乙兩種套餐供學(xué)生選擇，記事件A為“只選甲套餐”，事件B為“至少選一種套餐”,

事件C為“至多選一種套餐”，事件。為“不選甲套餐”，事件E為“一種套餐也不選”.下列說(shuō)

法正確的是()

A.A與C是互斥事件B.B與E是互斥事件，且是對(duì)立事件

C.B與C不是互斥事件D.C與E是互斥事件

【正確答案】BC

【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念，將每個(gè)事件的基本事件列出來(lái)，對(duì)照即可判斷.

【詳解】事件A為“只選甲套餐”；

事件B為“至少選一種套餐”，

包括選甲套餐，選乙套餐，甲乙兩種套餐都選；

事件C為“至多選一種套餐”，

包括選甲套餐，選乙套餐，甲乙兩種都不選；

事件D為“不選甲套餐”，

包括選乙套餐，甲乙兩種都不選；

事件E為“一種套餐也不選”.

A.事件4與C既不互斥也不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；

B.事件B與E是互斥事件，且是對(duì)立事件，故B正確；

C.事件B與C不互斥，故C正確；

D.事件C與E不互斥，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.已知空間向量a=(—2,-1,1),6=(3,4,5),下列結(jié)論正確的是()

A.∣α+?∣=3√5

B.a,8夾角的余弦值為-也

6

C.若直線/的方向向量為α,平面α的法向量為ZM=(4,2?),且/_La,則實(shí)數(shù)2=-2

D.”在〃上的投影向量為-L匕

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算，空間位置關(guān)系得到向量表示，投影向量的概念依次討論各選

項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,α+6=(l,3,6),∣^+?∣=√l2+32+62=√46,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閍=(—2,-1,1),6=(3,4,5),所以卜卜J(-2)?+(—1>+F=&,

222

∣∕7∣=√3+4+5=5√2,

八Q?b—5?/?

4?A=-2X3-1X4+1X5=-5,設(shè)α與人的夾角為0，則儂"=雨=而5&=一丁'故B

正確；

-2-11

對(duì)于C,因?yàn)樗驭痢C(jī)，則-T=TT=;,解得％=-2,故C正確；

42k

對(duì)于D,α在Z?上的投影向量為WCoS(",〃)?方=#X-點(diǎn)=一也，D正確.

故選:BCD.

11.已知(α+x)(l+6)5展開(kāi)式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為96,則下列說(shuō)法正確的是()

A.a=↑

B.a=2

C.(〃+x)(l+?)5展開(kāi)式中V項(xiàng)的系數(shù)為10

D.(α+x)(l+√7)5展開(kāi)式中Y項(xiàng)的系數(shù)為20

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)題意先令X=I,求出。的值，再求出(1+4)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可以

求出含一項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】由己知，令x=l可得，

(α+l)x25=96,解得α=2,故A錯(cuò)誤，B正確，

因?yàn)槎?xiàng)式(1+√7)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為"產(chǎn)c^γ=c;「，

所以(2+X)(I+√7)5的展開(kāi)式中含χ2的項(xiàng)為2C^X2+Cjx2=20X2,

所以含/項(xiàng)的系數(shù)為20,故C錯(cuò)誤，D正確，

故選：BD.

12.已知過(guò)拋物線C:y2=4x焦點(diǎn)廠的直線/交C于A8兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)/，其中8

點(diǎn)在線段AM上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線/的斜率為M則()

A.當(dāng)Z=I時(shí)，∣Aβ∣=8B.當(dāng)時(shí)，忸M=IABl

C.存在々使得ZAo8=90D.存在％使得ZAO3=120。

【正確答案】ABD

【分析】特殊值法分別令A(yù)=I和Z=2拒代入直線/，再由拋物線的定義，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)

1

的弦長(zhǎng)IABI=再+X?+P,選項(xiàng)48得解,由ZAOB=90,KJOA-OB=%lx2+yλy2=0,聯(lián)立

方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判斷選項(xiàng)C,若ZAo8=120",cosZAOB=--0a'°b=~,聯(lián)

∣OA∣?∣OB∣2

立方程組結(jié)合韋達(dá)定理，可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A.當(dāng)k=?時(shí)，過(guò)拋物線∕=4x的焦點(diǎn)F(1,O)的直線方程為：

y=x-l,設(shè)該直線與拋物線交于A(x∣,χ),B(x2,y2)兩點(diǎn)，

聯(lián)立方程組jv?f?,整理可得：X2-6X+1=0,則%+々=6,

[y=4X

由拋物線的定義：IABl=Xl+%+P=6+2=8,故A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B.當(dāng)?=2√2時(shí)，過(guò)拋物線K=4%的焦點(diǎn)F(I5O)的直線方程為：

y=2√2(x-l),設(shè)該直線與拋物線交于A(xpyl),B5,必)兩點(diǎn)，

2

聯(lián)立方程組卜2=2及"-D,整理可得：2X-5X+2=0,則苦=2,x,=[貝∣Jxl+x2^,

y=4x22

所以Λ(2,2√2),β^,-Vll由拋物線的定義:|48|=x∣+X2+P=g+2=g,

又因?yàn)橹本€y=2√2(x-l)與拋物線的準(zhǔn)線X=-I交于點(diǎn)M(-l,-4√2),

則忸Ml=J(-l-1J+(-4√Σ+夜)2=g,即∣BM∣=∣AB∣,故B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C.設(shè)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)尸(1,0)的直線方程為：y=k(x-?)與拋物線交

于Aa,yj,B(x2,y2)兩點(diǎn),聯(lián)立方程組整理可得：

k~x"-^2.k~÷4^x÷?^=0,則%+/=2+?^?,X1%2=1,

222

γlγ2=?(xl-l)(Λ?-l)=?[xlx2-(Λ1+x2)+l]=?^l-2-p-+lj=-4,

所以占々+乂％=1-4=-3.若AAOB=90,則O4?O8=Λrx2+乂必=0,故不存在女，使得

ZAOB=90,故C不正確.

對(duì)于選項(xiàng)D.設(shè)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(LO)的直線方程為：y=k(x-l)與拋物線交

于A(XI,兇),8(々,外)兩點(diǎn),

聯(lián)立方程組整理可得：公f_(2攵2+4b+左2=0,則

C4=1

x∣+X?=2+,x∣xoI,

222

γlj2≈λ(x1-l)(Λ?-l)=^[Λ?X2-(X1+X2)+1]=?^l-2-p+l^=-4,

若ZAOB-120°,因?yàn)镺A?08=X∣X2+X%=-3,cosZA08=°"OB=」,即

1212?OA???OB?2

?OA??OB|=6,

則(x；+y凱4+￡)=36,即：儲(chǔ)+4XJ(后+4%)=36河得：x1?(x1+4)(Λ2÷4)=36,

x(l+8+f+16解得：無(wú)帝解得:

即：x1x2[τ1x2+4(x1+X2)+16]=36,則=36,2=

-4√ΓT

k=i-------.

11

故存在Z使得ZAO8=120°,故D正確;

故選：ABD.

本題考查了拋物線與直線方程的位置關(guān)系，解方程組，焦點(diǎn)弦的應(yīng)用，對(duì)與本題，運(yùn)算能力,

數(shù)形結(jié)合思想是關(guān)鍵，屬于較難題.

三、填空題

13?(2-x)(l-3x)4的展開(kāi)式中，爐的系數(shù)等于.(用數(shù)字作答)

【正確答案】120

【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式分兩種情況求出即可.

【詳解】由題意分兩種情況：

φ2×C^×l2×(-3x)2=108Λ2,

②(-x)XC；XFX(-3X)=12X2,

故爐的系數(shù)為：108+12=120,

故120.

14.已知函數(shù)/(X)=JΓ7+Z(X-2)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則常數(shù)Z的取值范圍是

【正確答案】o≤%＜走

3

【分析】根據(jù)題意，函數(shù)〃x)=√Γ7+Mx-2)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于y=√Γ，與

y=-MX-2)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=Jh+%(x-2)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

可知y=√i≡?■與y=j(χ-2)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

故作出如下圖象，

當(dāng)與"-Mx-2)的圖象相切時(shí)，-JJ==I1即A=±也,

yjk2+l3

由圖可知-Av(),故相切時(shí)Z=電，

3

因此結(jié)合圖象可知，當(dāng)0≤k＜日時(shí)，y=√ΓF與y=-MX-2)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

即當(dāng)0≤k＜*時(shí)，函數(shù)f(x)=√D'+Nx-2)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

故答案為?o≤z＜且

3

15.己知雙曲線的中心在原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)B,B的坐標(biāo)分別為(石，0)?(-√5,0),點(diǎn)P

在雙曲線上，且PBLPF2,APBF2的面積為1,則雙曲線的方程為

2

【正確答案】--y2=?

4

附HP同=2,

【分析】由已知可得＜從而可求出(IPBI-IPFRA=16,由雙曲線的定

?PF^+∣P∕ζ∣2=(2√5)2

義可求出“，而C=石，b2=c2-a2,可求出6,進(jìn)而可求得雙曲線的方程

附H明=2,

【詳解】由題意得

2

I「耳『+∣pτrp=(2√5)

=(IPBI-IP尺|)2=16,即24=4,解得〃=2,

又C=石，所以b=1,

2

故雙曲線的方程為三一V=L

4

故X-V=L

4

16.如圖，三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，平面ACGA，平面ABC,ABlAC,AA=ACl=GC=1,

AB=AC=2,則異面直線AA與BC1所成角的余弦值為.

【正確答案】史.

14

【分析】作AC中點(diǎn)O,再作G。，AC交于點(diǎn)O,連接BO,CQ,CQ,BD,則NBCQ為異

面直線力A與BQ所成角，結(jié)合幾何關(guān)系和余弦定理即可求解

B

如圖所示，作AC中點(diǎn)O,再作G。，AC交于點(diǎn)。，連接80,GO,CQ,8。，因?yàn)閹缀误w

為三棱臺(tái)ABC-AAG,又AA=AC=GC=1,AC=2,故四邊形4CGA為等腰梯形，則

AO=∣AC=1,則A。幺AC一則四邊形AocA為平行四邊形，故AV/G。，NBCQ為異

22

面直線AA與BG所成角，ClO=l,C1D=y∕ccι-CD=^,又因?yàn)锳31AC,所以

BO=4AO1+AB1=√5>BD=y∣AB2+AD2=.22+3

因?yàn)镚OLAC,平面ACGa，平面ABC,故GDLBO,

22

C,B=√CID+BD=J+[IjS

BC；+CO2-BO27+l-53√7

CoSNBGO=1

2BC??C?0-2√7^^-M^

喏

思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異

面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：

(1)平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；

(2)認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；

(3)計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

(4)取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)

角作為兩條異面直線所成的角.

四、解答題

17.已知(l+2x)"的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為512.

π

(1)若(1+2x)"=a0+cιlx+a2x'+...+<∕,,x,求α∣-%+%—4++(-1)"'"λ,;

(2)求(l+2x)"展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

【正確答案】(1)2

(2)7；=5376/

【分析】（1）由題意，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得〃，再利用賦值法求得要求式子的值.

'q.2r≥C7l.2r+,

,求得的值，可得（）展開(kāi)式中系數(shù)

（2）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則,'q.2r≥q^'?2,^lrl+2x"

最大的項(xiàng).

【詳解】⑴?.?（l+2x）”的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2"=512,??."=9.

,**(1+2x)"=(1+2x)9=GQ+α∣x+a-tx^+???+cι^x^,

.?.令X=0,可得4=1,

,再令X=T,可得+a?^^f?+q——4=_],

B[J1—（ɑ?—6Z2+6Z3—?++%）=-],

.*.at-a2+a3-a4++av=2.

[C2r>Cf+l2r+l1720

（2）設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，貝∣J；[:，求得w≤r≤Y,?”=6,

故（1+2x）"展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（=C；?2$?f=53761.

18.將四個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的小球放入四個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子中.

（1）若每盒至多一球，則有多少種放法？

（2）若恰好有一個(gè)空盒，則有多少種放法？

（3）若每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則有多少種放法？

【正確答案】（1）24；（2）144；（3）8.

【分析】（1）由四個(gè)元素的全排列計(jì)算即可：

（2）利用捆綁法將四個(gè)球中的兩個(gè)“捆”在一起，再?gòu)?個(gè)盒子中選3個(gè)進(jìn)行投放；

（3）先選出一個(gè)球的編號(hào)和盒子編號(hào)相同的小球，再用局部列舉法得出其余三個(gè)球的投入

方法，最后由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可；

【詳解】(1)每盒至多一球，這是4個(gè)元素全排列問(wèn)題，共有A：=24利，.

答：共有24種放法.

(2)先取四個(gè)球中的兩個(gè)“捆”在一起，有C：種選法，把它與其他兩個(gè)球共三個(gè)元素分別放

入四個(gè)盒子中的三個(gè)盒子，有A：種投放方法，所以共有C[Aj=144(種)放法.

答：共有144種放法.

(3)一個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的選法有CjJ也當(dāng)一個(gè)球與一個(gè)盒子的編號(hào)相同時(shí)，用

局部列舉法可知其余三個(gè)球的投入方法有2種，故共有C：x2=8(種)放法.

答：共有8種放法.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題(2)的方法在于利用捆綁法將四個(gè)球中的兩個(gè)“捆”在一起，再進(jìn)行排

列.

19.已知半徑大于1的圓C與X軸，y軸均相切，圓心C在第一象限，點(diǎn)(2,1)在圓C上.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線/與圓C相交于A,B兩點(diǎn),若IABl=4石，求直線的方程.

【正確答案】(I)(X-5f+(y-5)2=25

(2)2x-y=O或x-2y=O

【分析】(1)根據(jù)題意可設(shè)C(α,α)(α>0),則圓C的方程為(x-4+(y—α)2=α?將點(diǎn)(2,1)

帶入圓C方程，求得“，即可得出答案；

(2)可設(shè)直線/的方程為y=依，根據(jù)IABl=46，可得圓心C到直線/的距離d=石，再

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得3即可得解.

【詳解】(1)解：由題意得，圓心C到X軸與到V軸的距離相等，設(shè)C(α,α)(a>0),

則圓C的方程為(X-+(y-α)2=a2,

222

將點(diǎn)(2,1)帶入圓C方程，W(2-α)+(l-a)=α,

整理得，/-6α+5=0,

解得。=5或4=l,

因?yàn)閳AC半徑大于1,即α>l,所以4=5,

所以圓C的方程為(x-5)2+(y-5)2=25;

(2)解：由題意可知，直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線/的方程為V=依,

因?yàn)镮A=4后所以圓心C到直線/的距離”==√25-20?√5，

所以d=??l=石，整理得2∕-5%+2=0,

y∣k2+?

解得&=2或Α=?,

所以直線/的方程為y=2x或y=；x,即2x-y=0或x-2y=0.

20.如圖1,在梯形ABC。中，ABHCD,過(guò)A8分別作Af，CD,BFLCD,垂足分別為

E、F.AB=AE=1,CD=S,已知。E=I,將梯形ABa)沿AE,BF同側(cè)折起，得空間幾何

體ADE-BCF,如圖2.

(2)若DEIlCF,CD=拒,尸是線段AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，求直線Cp與平面AC3

所成角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)五

20

【分析】(1)連接8E,證明DE2平面ΛβFE內(nèi)的兩條相交直線ARAE,即可證明結(jié)論；

(2)過(guò)E作EGJ_EF交QC于點(diǎn)G,可知GE,E4,M兩兩垂直，以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

E4,EfEG分別為X軸，V軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACO的一個(gè)法

向量”=(1,-1,?求出ICOS〈CP,”〉I即可得答案；

【詳解】(1)連接BE,由已知得四邊形44石是正方形，且邊長(zhǎng)為2,

在題圖2中，AF±BE,

由已知得AF_L3￡>,BECBD=B,AF_L平面以圮.

DEU平面3￡)E,:.AFVDE.

AEVDE,AECAF=A,，￡>f_L平面/WFE?

(2)在題圖2中，AE±DE,AELEF,DEEF=E,即A￡_L平面DEFC,

在梯形DEFC中，過(guò)點(diǎn)。作Z)M〃所交CF于點(diǎn)M,連接CE,

π

由題意得OW=2,CM=I,由勾股定理的逆定理可得。CLCF,則NCOM=??,CE=2,

過(guò)E作EG_LEF交。C于點(diǎn)G,可知GE,E4,ET7兩兩垂直，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以E4,EEEG分別為X軸，軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則

A(2,0,0),B(2,2,0),.2,1

設(shè)平面AeQ的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

,—2x+y+?/?z=0

n?AλCγ=n0JL

由，得<1?/?取x=l得〃=(1,一1,6).

n?AD=0-2x—VH------Z=O

22

設(shè)Cp與平面ACO所成的角為∣cos(CP,π)I=

則Sinθ=—.

20

本題考查線面垂直判定定理的應(yīng)用、向量法求線面角的正弦值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化

與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.

21.推進(jìn)垃圾分類(lèi)處理，是落實(shí)綠色發(fā)展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的重要

環(huán)節(jié).為了解居民對(duì)垃圾分類(lèi)的了解程度，某社區(qū)居委會(huì)隨機(jī)抽取1000名社區(qū)居民參與問(wèn)卷

測(cè)試，并將問(wèn)卷得分繪制頻率分布表如表：

得分[30,40)[40,50)150,60)∣60,70)[70,80)∣80,90)[90,100]

男性

4090120130HO6030

人數(shù)

女性

2050801101004020

人數(shù)

（I）從該社區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問(wèn)卷測(cè)試，試估計(jì)其得分不低于60分的概率;

（2）將居民對(duì)垃圾分類(lèi)的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得

分低于60分）兩類(lèi)，完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“居民對(duì)垃圾分類(lèi)的

了解程度”與“性別”有關(guān)?

不太了解比較了解合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

（3）從參與問(wèn)卷測(cè)試且得分不低于80分的居民中，按照性別進(jìn)行分層抽樣，共抽取10人,

現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人作為環(huán)保宣傳隊(duì)長(zhǎng)，設(shè)3人中男性隊(duì)長(zhǎng)的人數(shù)為。求&的分

布列和期望.

n(ad-be)2

2

附：K=(α+0)(c+d)(α+c)(b+d)，(n=a+b+c+d).

臨界值表:

P(K2＞亳)0.150.100.050.0250.010O.∞50.001

k62.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

39

【正確答案】（1）-；（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有把握；（3）分布列見(jiàn)解析，

（1）用得分不低于60分的頻數(shù)除以樣本容量可得答案；

（2）根據(jù)頻率分布表可得2x2列聯(lián)表，計(jì)算V,結(jié)合臨界值表可得結(jié)論：

（3）根據(jù)分層抽樣可知，男性抽6人，女性抽4人，所以ξ的可能取值有0,1,2,3,再

根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算ξ的各個(gè)取值的概率即可得分布列，再用期望公式可得期望.

【詳解】（1）小區(qū)IOoO名居民中，得分不低于60分的人數(shù)為：

130+110+60+30+110+100+40+20=600,

故從該社區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問(wèn)卷測(cè)試，試估計(jì)其得分不低于60分的概率為

n6003

-Toδδ-5'

(2)2x2列聯(lián)表如下:

不太了解比較了解合計(jì)

男性250330580

女性150270420

合計(jì)4006001000

2_IOoOX（250X270-330X150）2_??^a5554

―580×420