初中數(shù)學(xué)勾股定理練習(xí)題(附答案)

【例11若4ABC三邊長(zhǎng)滿足下列條件，判斷^ABC是不是直角三

角形？若是，請(qǐng)說明哪個(gè)教角是直角.

(1)BC=^,AB=1,AC=1;

(2)AABC中，NA,NB,NC所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=M-

1,b=2n,c=n2+l(n>1)

［例2］如果^ABC的三邊分別為a、b、c,且滿足

a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷AABC的形狀。

【例3】如圖，AACBffl^ECD都是等腰直角三角形，zACB=z

ECD=90。，D為AB邊上一點(diǎn)。

⑴求證:WE乎BCD;⑵若AD=5,BD=12,求DE的長(zhǎng)。

【例4】觀察下列等式：32+42=52”2+122=132;

72+242=252;92+402=412…按照這樣的規(guī)律，第七個(gè)等式是:

［例5］如圖,已知在正方形ABCD中,F為DC的中點(diǎn),E為CB的四

等分點(diǎn)且CB=4CE.求證：AF±FE.

【例6】如圖，已知^ABC中/C=9(T,D為AB的中點(diǎn),E、F分別在

AC、BC上，且DE_LDF.求證：AE2+BF2=EF2.

課堂同步練習(xí)

一、選擇題：

1、若線段a,b,c組成Rf,則它們的比可能為（）

A.2:3:4B.3:4:6C.5:12:

13D.4:6:7

2、^ABC中NA、NB、ZC的對(duì)邊分別是a、b、c,下列命題中的

假命題是（）

A.如果NC-zB=zA,貝必ABC是直角三角形

B.如果c2=b2-a2,貝IhABC是直角三角形，fizC=90°

C.如果（c+a）（c-a）=b2,則SBC是直角三角形

D.如果NA:zB:zC=5:2:3,則3BC是直角三角形

3、SBC的三邊為a、b、c,且（a+b）（a-b）=c2,則（）

A△ABC是銳角三角形B.c邊的對(duì)角是直角

C.AABC是鈍角三角形D.a邊的對(duì)角是直角

4、下列命題中，其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）

①RSABC中，已知兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊長(zhǎng)為5;②有

一個(gè)內(nèi)角與其他兩個(gè)內(nèi)角的和相等的三角形是直角三角形；③三角

形的三邊分別為a,b,c,若a2+c2=b2,則/C=90°;④在SBC

中/A:NB:NC=1:5:6,則^ABC是直角三角形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3

個(gè)D.4個(gè)

5、如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH

四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形的線段是（）

A.CD、EF、GHB.AB、CD、GHC.AB、EF、

GHD.AB、CD、EF

6、如圖,四邊形ABCD中,zB=zD=90°,zA=45°,AB=3,

CD=1,則BC的長(zhǎng)為（）

A.3B.2C.1+V2D.3-V2

7、如圖，有一塊地ABCD,已知AD=4米，CD=3米/

ADC=90°,AB=13米BC=12米，則這塊地面積為（）

A.60米2B.48米2C.30米2D.24米2

&在AABC中,zC=90°,C2=2b2,則兩直角邊a,b的關(guān)系是

（）

A.a<bB.a>b

C.A=bD.以上三種情況都有可能

9、已知a,b,c為^ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2c2-b2c2=a，-

b4，判斷2BC的形狀（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

10、已知：在^ABC中,NA、NB、ZC的對(duì)邊分別是a、b、c,

滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷SBC的形狀

（）o

A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角

三角形

11.如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，以AB為邊畫直角△ABC,使

點(diǎn)C在格點(diǎn)上，滿足這樣條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)（）

12、如圖尸是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA,PB,PC,以BP為

邊作NPBQ=60。,且BQ=BP,連結(jié)CQ.若PA:PB:PC=3:4:5,連結(jié)

PQ,試判斷中QC的形狀（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角

形D.鈍角三角形

二、填空題：

13、有四個(gè)三角形，分別滿足下列條件：

(1)一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角之和；

(2)三個(gè)內(nèi)角之比為3:4:5;

(3)三邊之比為5:12:13;

(4)三邊長(zhǎng)分別為7、24、25.

其中直角三角形有個(gè).

14、在^ABC中，a、b、c分別是NA、NB、ZC的對(duì)邊，

①若a2+b2>c2,則NC為;

②若a2+b2=c2,則NC為;

③若a2+b2<c2,則NC為.

15、已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是12,16,20,則這個(gè)三角形

的面積為.

16、如圖，D為SBC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB=13,AD=12,

AC=15,BD=5,則BC的長(zhǎng)為.

B

D

17、已知a、b、（:是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系式行不京

+|a-b|=O,則AABC的形狀為。

18、如圖,AB=5,AC=3,BC邊上的中線AD=2,則ABC的面

積為.

19、如圖，由四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成一個(gè)大正方形，連接小

正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得到aABC,則^ABC中BC邊上的高

是。

20、如圖，^ABC是邊長(zhǎng)6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)巴Q同時(shí)從

A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上均速移動(dòng)，它們的速度分別

為Vp=2cm/s,VQ=lcm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，巴Q兩點(diǎn)停止

運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,則當(dāng)t=S時(shí),4PBQ為直角

三、簡(jiǎn)答題：

21、如圖，有一塊地，已知AD=4m,CD=3m,N

ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求這塊地的面積。

22、如圖,是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB長(zhǎng)為24米,BC長(zhǎng)

15米,CD長(zhǎng)為20米,DA長(zhǎng)7米/C=90°.求綠地ABCD的面積.

B

23、已知AABC三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2+c2-12a-16b-

20c+200=0,請(qǐng)判斷SBC的形狀并說明理由.

、已知:△的三邊分別為為正整

24ABCm2-n2,2mn,m2+n2（m,n

數(shù)，且m>n）,判斷AABC是否為直角三角形.

25、如圖,已知一塊四邊形草地ABCD,其中NA=45O/B=N

D=90°,AB=20m,CD=10m,求這塊草地的面積.

4

26、在甲村至乙村的公路有一塊山地正在開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆

破.已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上的

另一?？空綛的距離為400米，且CA±CB,如圖所示.為了安全

起見，爆破點(diǎn)C周圍半徑250米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問在進(jìn)行爆破

時(shí)，公路AB段是否有危險(xiǎn)而需要暫時(shí)封鎖？請(qǐng)通過計(jì)算進(jìn)行說

明.

BA

乙甲

勾股定理逆定理同步測(cè)試題

1、下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）

A.6,8,10B.5,12,13C.1,2,3D.9,12,15

2、五根小木棒,其長(zhǎng)度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將他們擺

成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（）

㈤

3、三角形的三邊長(zhǎng)為a,b,c,且滿足（a+b）2=c2+2ab,則這

個(gè)三角形是（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角

三角形

4、若AABC的三邊a、b、c,滿足（a-b）（a2+b2-c2）=0,

則AABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角

三角形D.等腰直角三角形

5、下列說法中，不正確的是（)

A.三個(gè)角的度數(shù)之比為1:3:4的三角形是直角三角形B.三個(gè)

角的度數(shù)之比為3:4:5的三角形是直角三角形

C.三邊長(zhǎng)度之比為3:4:5的三角形是直角三角形D.三邊

長(zhǎng)度之比為5:12:13的三角形是直角三角形

6、有長(zhǎng)度為9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒，可

搭成（首尾連接）直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3

個(gè)D.4個(gè)

7、有下列判斷:①4ABC中，J+/,則^ABC不直角三角形；

②ABC是直角三角形，NC=90。，則/+/=/；③SBC中，

則AABC是直角三角形；④若AABC是直角三角形，則

（a+b）（a-b）=C',正確的有（）

A、4個(gè)B、3個(gè)C、2

個(gè)D、1個(gè)

8、如圖，矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)

A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M表

示的數(shù)為（）

A.2B.75-1c.io—1

D.石

0

-1012M

9、如圖，有一塊地，已知AD=4米,CD=3米,NADC=9（F,AB=13

米,BC=12米，則這塊地的面積為（）

A.24平方米B.26平方米C.28平方

D.30平方米

10、在下列條件中：①在2BC中/A:NB:NC=1:2:3;②三角形三

邊長(zhǎng)分別為32,42,52；③在ABC中，三邊a,b,c滿足（a+'-

）（a-b）=c2；④三角形三邊長(zhǎng)分別為m-l,2m,m+l（m為大于

整數(shù)），能確定AABC是直角三角形的條件有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3

個(gè)D.4個(gè)

11、在^ABC中，如果(a+b)(a-b)=c2,那么n

=90°.

12、若三角形三邊分別為6,8,10,那么它最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)

是?

13、某住宅小區(qū)有一塊草坪如圖4所示，已知AB=3米，BC=4

米，CD=12米，

DA=13米，且AB_LBC,這塊草坪的面積是o

14、若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、a、

8（其中a為正整數(shù)），則以a-2、a、a+2為邊

的三角形面積為.

15、在AABC中,若其三條邊的長(zhǎng)度分別為9、12、15,則以兩個(gè)

這樣的三角形所拼成的長(zhǎng)方形的面積是.

16、如圖,RSABC41,zACB=90o,zABC=60°,BC=2cm,D為BC

的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以lcm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A-B-A的方

向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接DE,當(dāng)ABDE是直角三角形

時(shí),t的值

B

17、如圖,一塊地，已知AD=4m,CD=3m/

ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求這塊地的面積。

18、如圖,已知NADC=90。，AD=8,CD=6,AB=26,

BC=24.

(1)證明：^ABC是直角三角形.(2)請(qǐng)求圖中陰影部分的面

積.

19、如圖，在AABC中,NABC=45O,CDJLAB,BEJ_AC,垂足分別為

D、E.F為BC中點(diǎn),BE與DF.DC分別交于點(diǎn)G.H.zABE=z

CBE.(1)求證:BH=AC；(2)求證:BG2-GE2=EA2.

B

20、已知a、b、c為SBC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a，-b，，試

判斷AABC的形狀.

解:ra2c2-b2c2=a4-b4,(i)

.-.c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②

/.c2=a2+b2.③

."ABC是直角三角形.

問：

(1)在上述解題過程中，從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫出該步的代

號(hào)：;

(2)錯(cuò)誤的原因?yàn)椋?/p>

(3)本題正確的解題過程：

例題答案詳解

【例”解：(1)???(1)2+12嚕(1)2,...BC2+AC2=AB2.

△ABC是直角三角形；

(2)v(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+l=(n2+l)2,

2

a+b2=c2...△ABC是直角三角形.

［例2］解析:由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,:a2-

6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

222

(a-3)+(b-4)+(c-5)=0o

222

???(a-3)>0,(b-4)>0,(c-5)>0o/.a=3,b=4,c=50

???32+42=52,/.a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得△

ABC是直角三角形。

［例3］①通過SAS證明全等②13

【例4】152+1122+1132.

【例5］提示：連結(jié)AE,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,計(jì)算得出AF,

EF,AE的長(zhǎng)，由AF2+EF2=AE2得結(jié)論.

【例6］提示：延長(zhǎng)FD到M使DM=DF,連結(jié)AM,EM.

課堂同步參考答案

1、C2、B3、D4、B5、C6、D7、D8、C9、

D10、A11.C12、A

13、答案為3.

14、①銳角；②直角；③鈍角.

15、96

16、14

17、等腰直角三角形

18、6.提示：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連結(jié)BE,可得2BE

為.

19、逑

20、輯

21、24

22、【解答】解：連接BD.如圖所示：

vzC=90°,BC=15米,CD=20米,??.BD=VBC2+CD2=V152+202

=25（米）;

在^ABD中，..BD=25米，AB=24米,DA=7米,

242+72=252，即AB2+BD2=AD2,

」.△ABD是直角三角形.」.S四邊形ABCD=S,、ABD+S八BCD=/B?BD+,

BC-CD=^x24x7+^xl5x20=84+150=234（平方米）；

即綠地ABCD的面積為234平方米.

23、a=6fb=8,c=10,直角三角形

24、證明:而+(2w?)'+/+4?V

=W4+2W2?J+W4

=(/+/)，

所以AABC是直角三角形.

25、150m2.提示：延長(zhǎng)BC,AD交于E.

26、解：公路AB需要暫時(shí)封鎖.理由如下：如圖，過C作CDJ_

AB于D.

因?yàn)锽C=400米,AC=300米,zACB=90°,所以根據(jù)勾股定理

有AB=500米.

因?yàn)镾AABC=^AB-CD=^BC-AC所以CD=240米.

由于240米＜250米，故有危險(xiǎn)，因此AB段公路需要暫時(shí)封鎖.

同步測(cè)試題參考答案

1、C2、C3、C4、C5、B6、B7、C8、C

9、A10、B

11、90°.

12、5.

13、36

14、8提示:7<a<9,/.a=8.

15、108

16、2,6,354.5

17、24

18、解答】（1）證明：?.在Rt^ADC中，zADC=90°,AD=8,

CD=6,

.AC2=AD2+CD2=82+62=100,.AC=10（取正值）.

在》BC中,vAC2+BC2=102+242=676,AB2=262=676,

.AC2+BC2=AB2,"ABC為直角三角形；

（2）解：S陰影=SRSABC-SRt?ACD=，x10x24-8x6=96.

19、證明：（1）vCD±AB,BE±AC,.zBDH=zBEC=z

CDA=90°,

vzABC=45°,.zBCD=180o-90o-45o=45°=zABC..

DB=DC,1'

?.zBDH=zBEC=zCDA=90°,.zA+zACD=90°,zA+z

HBD=90°,.zHBD=zACD,

..在△DBH和^DCA中，zBDH=zCDABD=CDzHBD=

zACD

..^DBH^DCA(ASA),.BH=AC.

(2)連接CG,由(1)知，DB=CD,

F為BC的中點(diǎn),.DF垂直平分BC,.BG=CG,

?.點(diǎn)E為AC中點(diǎn),BE±AC,.EC=EA,

在RfCGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2,

?/CE=AE,BG=CG,.BG2-GE2=EA2.

20、【解答】解：(1)③

(2)除式可能為零；

(3)「a2c2-b2c2=a4-b4,

.-.c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),/.a2-b2=0或

c2=a2+b2,

當(dāng)a2-b2=0時(shí)，a=b;當(dāng)c2=a2+b2時(shí)，zC=90°,

?.△ABC是等腰三角形或直角三角形.

故答案是③，除式可能為零.

致家長(zhǎng)：

贊賞和激勵(lì)是促使孩子進(jìn)步的最有效的方法之一。

每個(gè)孩子都有希望受到家長(zhǎng)和老師的重視的心理，而贊賞其優(yōu)點(diǎn)

和成績(jī)，正是滿足了孩子的這種心理，使他們的心中產(chǎn)生一種榮譽(yù)感

和驕傲感。

?

激勵(lì)孩子積極向上的6句話

贊賞和激勵(lì)是促使孩子進(jìn)步的最有效的方法之一。

每個(gè)孩子都有希望受到家長(zhǎng)和老師的重視的心理，而贊賞其優(yōu)點(diǎn)

和成績(jī)，正是滿足了孩子的這種心理，使他們的心中產(chǎn)生一種榮譽(yù)感

和驕傲感。

孩子在受到贊賞鼓勵(lì)之后，會(huì)因此而更加積極地去努力，會(huì)在學(xué)

習(xí)上更加努力，會(huì)把事情做得更好。

贊賞和激勵(lì)是沐浴孩子成長(zhǎng)的雨露陽(yáng)光。

1、你將會(huì)成為了不起的人！

2、別怕，你肯定能行！

3、只要今天比昨天強(qiáng)就好！

4、有個(gè)女兒真好！

5、你一定是個(gè)人生的強(qiáng)者！

6、你是個(gè)聰明孩子，成績(jī)一定會(huì)趕上去的。

使孩子充滿自信的7句話

自信心是人生前進(jìn)的動(dòng)力，是孩子不斷進(jìn)步的力量源泉。

因此，父母在教育孩子的過程中，一定要重視其自信心的培養(yǎng)。

可以說，許多學(xué)習(xí)落后或者逃學(xué)、厭學(xué)的孩子，都源于自信心的

喪失。

只有自認(rèn)為已經(jīng)沒有指望的事，人們才會(huì)放棄，學(xué)習(xí)也是一樣的,

只有孩子認(rèn)為自己沒有希望學(xué)下去了，他才會(huì)逃學(xué)、厭學(xué)。

實(shí)際上，即使那些學(xué)習(xí)很差的孩子，只要我們能重新燃起他們內(nèi)

心自信的火種，他們都是萬全可以趕上去的。

1、孩子,你仍然很棒。

2、孩子，你一點(diǎn)也不笨。

3、告訴自己：“我能做到”。

4、我很欣賞你在X義方面的才能。

5、我相信你能找回學(xué)習(xí)的信心。

6、你將來會(huì)成大器的，好好努力吧。

7、孩子，我們也去試一試？

促使孩子學(xué)習(xí)更優(yōu)秀的7句話

非志無以成學(xué)，非學(xué)無以成才。學(xué)習(xí)是孩子成才的唯一途徑。沒

有哪一位父母會(huì)不關(guān)心孩子的學(xué)習(xí)問題。

要使孩子學(xué)習(xí)好，一方面在于引導(dǎo)和鼓勵(lì)，把孩子的學(xué)習(xí)積極性

充分調(diào)動(dòng)起來。使他們成為樂學(xué)、肯學(xué)的好孩子。

另一方面。需要教給孩子有效的學(xué)習(xí)方法，使他們掌握高效的學(xué)

習(xí)武器。方法即是孩子學(xué)習(xí)好的捷徑，即是孩子通向成才之路的橋梁。

1、凡事都要有個(gè)計(jì)劃，學(xué)習(xí)也一樣。

2、珍惜時(shí)間，就是珍惜生命。

3、你再好好思考思考。

4、提出一個(gè)問題，我就獎(jiǎng)勵(lì)你。

5、你就按自己的想法去做吧。

6、做完作業(yè)再玩，不是玩得更開心嗎？

7、只要努力，下次就一定能考好。

促進(jìn)孩子品行高尚的8句話

知識(shí)學(xué)得再多，但如果不懂得做人的道理，也很難在將來獲得成

功。

在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，許多父母對(duì)孩子往往只抓孩子的學(xué)習(xí)，不及其余。

有的父母甚至認(rèn)為，孩子怎樣做人，等她走上社會(huì)自然就會(huì)明白。

其實(shí)，這種認(rèn)識(shí)是十分錯(cuò)誤的。一個(gè)人的任何技能，都不是一朝

一夕可能學(xué)成的，何況是應(yīng)對(duì)復(fù)雜的社會(huì)和人際關(guān)系。

因此，父母應(yīng)盡早多向孩子講解解做人的道理，并為孩子做出榜

樣。

1、品德比分?jǐn)?shù)更重要。

2、誠(chéng)實(shí)是做人的第一美德。

3、競(jìng)爭(zhēng)中的公平最可貴。

4、凡事都要問一問自己的良心。

5、要學(xué)會(huì)說一聲：謝謝。

6、你知道關(guān)心父母，這讓我很開心。

7、我很高興你有一顆同情心。

8、我希望你是個(gè)懂禮貌的孩子。

鼓勵(lì)孩子自立自強(qiáng)的11句話

一個(gè)人的成功，離不開自立自強(qiáng)的品性和奮斗精神。

可是現(xiàn)今的大多數(shù)獨(dú)生子女，在父母過分的呵護(hù)和嬌慣之下，非

常缺乏自立自強(qiáng)的意識(shí)。

甚至有些孩子，除了上學(xué)讀書之外，生活中的事他們一概不知,

甚至連自己的鞋帶都系不好。這樣的孩子將來走上社會(huì)，怎么會(huì)成功

呢？

因此