排列組合基礎(chǔ)知識(shí)及習(xí)題分析在介紹排列組合方法之前我們先來了解一下基本的運(yùn)算公式！

＝（5×4×3）/（3×2×1）＝（6×5）/（2×1）

通過這2個(gè)例子看出

公式是種子數(shù)M開始與自身連續(xù)的N個(gè)自然數(shù)的降序乘積做為分子。以取值N的階層作為分母

＝5×4×3＝6×5×4×3×2×1

通過這2個(gè)例子

＝從M開始與自身連續(xù)N個(gè)自然數(shù)的降序乘積當(dāng)N＝M時(shí)即M的階層

排列、組合的本質(zhì)是研究“從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，有序和無序擺放的各種可能性”.區(qū)別排列與組合的標(biāo)志是“有序”與“無序”.

解答排列、組合問題的思維模式有二：

其一是看問題是有序的還是無序的？有序用“排列”，無序用“組合”；

其二是看問題需要分類還是需要分步？分類用“加法”，分步用“乘法”.

分類：“做一件事，完成它可以有n類方法”，這是對(duì)完成這件事的所有辦法的一個(gè)分類.分類時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時(shí)要注意滿足兩條基本原則：①完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；②分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.

分步：“做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟”，這是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個(gè)步驟.分步時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)，確定一個(gè)可行的分步標(biāo)準(zhǔn)；其次，步驟的設(shè)置要滿足完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事才算最終完成.

兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)和分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān).如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，無論那一類辦法中的那一種方法都能單獨(dú)完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n個(gè)步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個(gè)步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種類就用乘法原理.

在解決排列與組合的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1．有限制條件的排列問題常見命題形式：

“在”與“不在”

“鄰”與“不鄰”

在解決問題時(shí)要掌握基本的解題思想和方法：

⑴“相鄰”問題在解題時(shí)常用“合并元素法”，可把兩個(gè)以上的元素當(dāng)做一個(gè)元素來看，這是處理相鄰最常用的方法.

⑵“不鄰”問題在解題時(shí)最常用的是“插空排列法”.

⑶“在”與“不在”問題，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.

⑷元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制，等排列完畢后，利用規(guī)定順序的實(shí)情求出結(jié)果.

2．有限制條件的組合問題，常見的命題形式：

“含”與“不含”

“至少”與“至多”

在解題時(shí)常用的方法有“直接法”或“間接法”.

3．在處理排列、組合綜合題時(shí)，通過分析條件按元素的性質(zhì)分類，做到不重、不漏，按事件的發(fā)生過程分步，正確地交替使用兩個(gè)原理，這是解決排列、組合問題的最基本的，也是最重要的思想方法.

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提供10道習(xí)題供大家練習(xí)

1、三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)為（C）

(A)25個(gè)(B)26個(gè)(C)36個(gè)(D)37個(gè)

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【解析】

根據(jù)三角形邊的原理兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

可見最大的邊是11

則兩外兩邊之和不能超過22因?yàn)楫?dāng)三邊都為11時(shí)是兩邊之和最大的時(shí)候

因此我們以一條邊的長(zhǎng)度開始分析

如果為11，則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是11，10，9，8，7，6，。。。。。。1

如果為10則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是10，9，8。。。。。。2，

（不能為1否則兩者之和會(huì)小于11，不能為11，因?yàn)榈谝环N情況包含了11，10的組合）

如果為9則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是9，8，7，。。。。。。。3

（理由同上，可見規(guī)律出現(xiàn)）

規(guī)律出現(xiàn)總數(shù)是11＋9＋7＋。。。。1＝（1＋11）×6÷2＝36

2、

（1）將4封信投入3個(gè)郵筒，有多少種不同的投法？

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【解析】每封信都有3個(gè)選擇。信與信之間是分步關(guān)系。比如說我先放第1封信，有3種可能性。接著再放第2封，也有3種可能性，直到第4封，所以分步屬于乘法原則即3×3×3×3＝3^4

（2）3位旅客，到4個(gè)旅館住宿，有多少種不同的住宿方法？

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【解析】跟上述情況類似對(duì)于每個(gè)旅客我們都有4種選擇。彼此之間選擇沒有關(guān)系不夠成分類關(guān)系。屬于分步關(guān)系。如：我們先安排第一個(gè)旅客是4種，再安排第2個(gè)旅客是4種選擇。知道最后一個(gè)旅客也是4種可能。根據(jù)分步原則屬于乘法關(guān)系即4×4×4＝4^3

（3）8本不同的書，任選3本分給3個(gè)同學(xué)，每人一本，有多少種不同的分法？

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【解析】分步來做

第一步：我們先選出3本書即多少種可能性C8取3＝56種

第二步：分配給3個(gè)同學(xué)。P33＝6種

這里稍微介紹一下為什么是P33，我們來看第一個(gè)同學(xué)可以有3種書選擇，選擇完成后，第2個(gè)同學(xué)就只剩下2種選擇的情況，最后一個(gè)同學(xué)沒有選擇。即3×2×1這是分步選擇符合乘法原則。最常見的例子就是1，2，3，4四個(gè)數(shù)字可以組成多少4位數(shù)？也是滿足這樣的分步原則。用P來計(jì)算是因?yàn)槊總€(gè)步驟之間有約束作用即下一步的選擇受到上一步的壓縮。

所以該題結(jié)果是56×6＝336

3、七個(gè)同學(xué)排成一橫排照相.

（1）某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種？（3600）

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【解析】

這個(gè)題目我們分2步完成

第一步：先給甲排應(yīng)該排在中間的5個(gè)位置中的一個(gè)即C5取1＝5

第二步：剩下的6個(gè)人即滿足P原則P66＝720

所以總數(shù)是720×5＝3600

（2）某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？（1440）

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【解析】第一步：確定乙在哪個(gè)位置排頭排尾選其一C2取1＝2

第二步：剩下的6個(gè)人滿足P原則P66＝720

則總數(shù)是720×2＝1440

（3）甲不在排頭或排尾，同時(shí)乙不在中間的不同排法有多少種？（3120）

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【解析】特殊情況先安排特殊

第一種情況：甲不在排頭排尾并且不在中間的情況

去除3個(gè)位置剩下4個(gè)位置供甲選擇C4取1＝4，剩下6個(gè)位置先安中間位置即除了甲乙2人，其他5人都可以即以5開始，剩下的5個(gè)位置滿足P原則即5×P55＝5×120＝600總數(shù)是4×600＝2400

第2種情況：甲不在排頭排尾，甲排在中間位置則剩下的6個(gè)位置滿足P66＝720

因?yàn)槭欠诸愑懻摗Ｋ宰詈蟮慕Y(jié)果是兩種情況之和即2400＋720＝3120

（4）甲、乙必須相鄰的排法有多少種？（1440）

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【解析】相鄰用捆綁原則2人變一人，7個(gè)位置變成6個(gè)位置，即分步討論

第1：選位置C6取1＝6

第2：選出來的2個(gè)位置對(duì)甲乙在排即P22＝2則安排甲乙符合情況的種數(shù)是2×6＝12

剩下的5個(gè)人即滿足P55的規(guī)律＝120則最后結(jié)果是120×12＝1440

（5）甲必須在乙的左邊（不一定相鄰）的不同排法有多少種？（2520）

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【解析】

這個(gè)題目非常好,無論怎么安排甲出現(xiàn)在乙的左邊和出現(xiàn)在乙的右邊的概率是一樣的。所以我們不考慮左右問題則總數(shù)是P77＝5040,根據(jù)左右概率相等的原則則排在左邊的情況種數(shù)是5040÷2＝2520

4、用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù).

（1）能組成多少個(gè)四位數(shù)？（300）

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【解析】四位數(shù)從高位開始到低位高位特殊不能排0。則只有5種可能性

接下來3個(gè)位置滿足P53原則＝5×4×3＝60即總數(shù)是60×5＝300

（2）能組成多少個(gè)自然數(shù)？（1631）

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【解析】自然數(shù)是從個(gè)位數(shù)開始所有情況

分情況

1位數(shù)：C6取1＝6

2位數(shù)：C5取2×P22＋C5取1×P11＝25

3位數(shù)：C5取3×P33＋C5取2×P22×2＝100

4位數(shù)：C5取4×P44＋C5取3×P33×3＝300

5位數(shù)：C5取5×P55＋C5取4×P44×4＝600

6位數(shù)：5×P55＝5×120＝600

總數(shù)是1631

這里解釋一下計(jì)算方式比如說2位數(shù)：C5取2×P22＋C5取1×P11＝25

先從不是0的5個(gè)數(shù)字中取2個(gè)排列即C5取2×P22還有一種情況是從不是0的5個(gè)數(shù)字中選一個(gè)和0搭配成2位數(shù)即C5取1×P11因?yàn)?不能作為最高位所以最高位只有1種可能

（3）能組成多少個(gè)六位奇數(shù)？（288）

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【解析】高位不能為0個(gè)位為奇數(shù)1，3，5則先考慮低位，再考慮高位即3×4×P44＝12×24＝288

（4）能組成多少個(gè)能被25整除的四位數(shù)？（21）

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【解析】能被25整除的4位數(shù)有2種可能

后2位是25：3×3＝9后2位是50：P42＝4×3＝12共計(jì)9＋12＝21

（5）能組成多少個(gè)比201345大的數(shù)？（479）

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【解析】從數(shù)字201345這個(gè)6位數(shù)看是最高位為2的最小6位數(shù)所以我們看最高位大于等于2的6位數(shù)是多少？

4×P55＝4×120＝480去掉201345這個(gè)數(shù)即比201345大的有480－1＝479

（6）求所有組成三位數(shù)的總和.（32640）

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【解析】每個(gè)位置都來分析一下

百位上的和：M1=100×P52(5+4+3+2+1)

十位上的和：M2=4×4×10(5+4+3+2+1)

個(gè)位上的和：M3=4×4(5+4+3+2+1)

總和M＝M1+M2+M3=32640

5、生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取5件進(jìn)行檢查.

（1）“其中恰有兩件次品”的抽法有多少種？（152096）

【解析】也就是說被抽查的5件中有3件合格的，即是從98件合格的取出來的

所以即C2取2×C98取3＝152096

（2）“其中恰有一件次品”的抽法有多少種？（7224560）

【解析】同上述分析，先從2件次品中挑1個(gè)次品，再從98件合格的產(chǎn)品中挑4個(gè)

C2取1×C98取4＝7224560

（3）“其中沒有次品”的抽法有多少種？（67910864）

【解析】則即在98個(gè)合格的中抽取5個(gè)C98取5＝67910864

（4）“其中至少有一件次品”的抽法有多少種？（7376656）

【解析】全部排列然后去掉沒有次品的排列情況就是至少有1種的

C100取5－C98取5＝7376656

（5）“其中至多有一件次品”的抽法有多少種？（75135424）

【解析】所有的排列情況中去掉有2件次品的情況即是至多一件次品情況的

C100取5－C98取3＝75135424

6、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型和乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有（）

(A)140種(B)84種(C)70種(D)35種

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【解析】根據(jù)條件我們可以分2種情況

第一種情況：2臺(tái)甲＋1臺(tái)乙即C4取2×C5取1＝6×5＝30

第二種情況：1臺(tái)甲＋2臺(tái)乙即C4取1×C5取2＝4×10＝40所以總數(shù)是30＋40＝70種

7、在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有__種.

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【解析】至少有3件則說明是3件或4件

3件：C4取3×C46取2＝41404件：C4取4×C46取1＝46共計(jì)是4140＋46＝4186

8、有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù),甲需2人承擔(dān),乙、丙各需1人承擔(dān).從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù),不同的選法共有（C）

(A)1260種(B)2025種(C)2520種(D)5040種

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【解析】分步完成

第一步：先從10人中挑選4人的方法有：C10取4＝210

第二步：分配給甲乙并的工作是C4取2×C2取1×C1取1＝6×2×1＝12種情況

則根據(jù)分步原則乘法關(guān)系210×12＝2520

9、12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有_____種

C(4,12)C(4,8)C(4,4)

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【解析】每個(gè)路口都按次序考慮

第一個(gè)路口是C12取4

第二個(gè)路口是C8取4

第三個(gè)路口是C4取4

則結(jié)果是C12取4×C8取4×C4取4

可能到了這里有人會(huì)說三條不同的路不是需要P33嗎其實(shí)不是這樣的在我們從12人中任意抽取人數(shù)的時(shí)候，其實(shí)將這些分類情況已經(jīng)包含了對(duì)不同路的情況的包含。如果再×P33則是重復(fù)考慮了

如果這里不考慮路口的不同即都是相同路口則情況又不一樣因?yàn)槲覀冊(cè)诜峙淙藬?shù)的時(shí)候考慮了路口的不同。所以最后要去除這種可能情況所以在上述結(jié)果的情況下要÷P33

10、在一張節(jié)目表中原有8個(gè)節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對(duì)順序不變，再增加三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？990

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【解析】

這是排列組合的一種方法叫做2次插空法

直接解答較為麻煩，故可先用一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有P(9,1)種方法；再用另一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)空位，有P(10,1)種方法；用最后一個(gè)節(jié)目去插11個(gè)空位，有P(11,1)方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為P(9,1)×P(10,1)×P(11,1)=990種。

另解：先在11個(gè)位置中排上新添的三個(gè)節(jié)目有P(11,3)種，再在余下的8個(gè)位置補(bǔ)上原有的8個(gè)節(jié)目，只有一解，所以所有方法有P311×1=990種。解決排列組合問題的策略

1、逆向思維法：我們知道排列組合都是對(duì)一個(gè)元素集合進(jìn)行篩選排序。我們可以把這個(gè)集合看成數(shù)學(xué)上的單位1，那么1＝a＋b就是我們構(gòu)建逆向思維的數(shù)學(xué)模型了，當(dāng)a不利于我們運(yùn)算求解的時(shí)候，我們不妨從b的角度出發(fā)思考，這樣同樣可以求出a＝1－b。

例題：7個(gè)人排座，甲坐在乙的左邊（不一定相鄰）的情況有多少種？

例題：一個(gè)正方體有8個(gè)頂點(diǎn)我們?nèi)我膺x出4個(gè)，有多少種情況是這4個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成四面體的。

例題：用0，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）

A．24個(gè)B．30個(gè)C．40個(gè)D．60個(gè)

2、解含有特殊元素、特殊位置的題——采用特殊優(yōu)先安排的策略：

（1）無關(guān)型：兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成的集合的交是空集

例題：用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被10整除且數(shù)字不同的六位數(shù)?

（2）包含型：兩個(gè)特殊位置上分別可取的元素所組成集合具有包合關(guān)系

例題：用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被5整除且數(shù)字不同的六位奇數(shù)?P55×－P44＝120－24＝96

用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)被25整除且數(shù)字不同的六位數(shù)?25，75（3×3×2×1）×2＋P44＝36＋24＝60

（3）影響型：兩個(gè)特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。

例題：用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大并且百位數(shù)字不是3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有多少個(gè)?3、解含有約束條件的排列組合問題一――采用合理分類與準(zhǔn)確分步的策略

例題：平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有________個(gè)。簡(jiǎn)析：按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步：第一步．先在4條平行線中任取兩條，有C4取2種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有C5取2種取法。這樣取出的四條直線構(gòu)成一個(gè)矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有6×10=60個(gè)4、解排列組臺(tái)混合問題——采用先選后排策略

對(duì)于排列與組合的混合問題，可采取先選出元素，后進(jìn)行排列的策略。

例：4個(gè)不同小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子，則恰有一個(gè)空盒的放法有___種。1445、插板法

插板法的條件構(gòu)成：1元素相同，2分組不同，3必須至少分得1個(gè)

插板法的類型：（1）、10塊奶糖分給4個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少1塊，則有多少種分法？（典型插板法點(diǎn)評(píng)略）

（2）、10塊奶糖分給4個(gè)小朋友有多少種方法？（湊數(shù)插板法：這個(gè)題目對(duì)照插板法的3個(gè)條件我們發(fā)現(xiàn)至少滿足1個(gè)這個(gè)條件沒有，所以我們必須使其滿足，最好的方法就是用14塊奶糖來分，至少每人1塊，當(dāng)每個(gè)人都分得1塊之后，剩下的10塊就可以隨便分了，就回歸到了原題）（3）、10塊奶糖放到編號(hào)為1，2，3的3個(gè)盒子里，每個(gè)盒子的糖數(shù)量不少于其編號(hào)數(shù)，則有幾種方法？（定制插板法：已然是最后一個(gè)條件不滿足，我們?cè)撛趺刺幚砟?，?yīng)該學(xué)會(huì)先去安排使得每個(gè)盒子都差1個(gè)，這樣就保證每個(gè)盒子必須分得1個(gè)，從這個(gè)思路出發(fā)，跟第二個(gè)例題是姊妹題思路是一樣的對(duì)照條件想辦法使其和條件吻合?。?/p>

（4）、8塊奶糖和另外3個(gè)不同品牌的水果糖要放到編號(hào)為1～11的盒子里面，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，有多少種方法？（多次插空法這里不多講，見我排列組合基礎(chǔ)講義）

6、遞歸法（枚舉法）

公考也有這樣的類型，排錯(cuò)信封問題，還有一些郵票問題歸納法：例如：5封信一一對(duì)應(yīng)5個(gè)信封，其中有3個(gè)封信裝錯(cuò)信封的情況有多少種？枚舉法：

例如：10張相同的郵票分別裝到4個(gè)相同的信封里面，每個(gè)信封至少1張郵票，有多少種方法？枚舉：

1，1，1，7

1，1，2，6

1，1，3，5

1，1，4，4

1，2，2，5

1，2，3，4

1，3，3，3

2，2，2，4

2，2，3，39種方法！

疑難問題

1、如何驗(yàn)證重復(fù)問題

2、關(guān)于位置與元素的相同問題，

例如：6個(gè)人平均分配給3個(gè)不同的班級(jí)，跟6個(gè)學(xué)生平分成3組的區(qū)別3、關(guān)于排列組合里面，充分運(yùn)用對(duì)稱原理。例題：1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)十位數(shù)小于個(gè)位數(shù)的四位數(shù)？例題：7個(gè)人排成一排，其中甲在乙右邊（可以不相鄰）的情況有多少種？注解：分析2種對(duì)立情況的概率，即可很容易求解。當(dāng)對(duì)立情況的概率相等，即對(duì)稱原理。4、環(huán)形排列和線性排列問題。（見我的基礎(chǔ)排列組合講義二習(xí)題講解）例如：3個(gè)女生和4個(gè)男生圍坐在一個(gè)圓桌旁。問有多少種方法？例如：3對(duì)夫婦圍坐在圓桌旁，男女間隔的坐法有多少種？注解：排列組合中，特殊的地方在于，第一個(gè)坐下來的人是作為參照物，所以不納入排列的范疇，我們知道，環(huán)形排列中每個(gè)位置都是相對(duì)的位置，沒有絕對(duì)位置，所以需要有一個(gè)人坐下來作為參照位置。5、幾何問題：見下面部分的內(nèi)容。例析立體幾何中的排列組合問題在數(shù)學(xué)中，排列、組合無論從內(nèi)容上還是從思想方法上，都體現(xiàn)了實(shí)際應(yīng)用的觀點(diǎn)。1點(diǎn)1．1共面的點(diǎn)例題：四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有（）A．30種B．33種C．36種D．39種答案：B點(diǎn)評(píng)：此題主要考查組合的知識(shí)和空間相像能力；屬難度中等的選擇題，失誤的主要原因是沒有把每條棱上的3點(diǎn)與它對(duì)棱上的中點(diǎn)共面的情況計(jì)算在內(nèi)。1．2不共面的點(diǎn)例2：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）A．150種B．147種C．144種D．141種解析：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C（10，4）＝210種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類：第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有C（6，2）＝15種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形，它的4個(gè)頂點(diǎn)共面，有3種。以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同取法共有210－4×15－6－3＝141種。答案：D。點(diǎn)評(píng)：此題難度很大，對(duì)空間想像能力要求高，很好的考察了立體幾何中點(diǎn)共面的幾種情況；排列、組合中正難則反易的解題技巧及分類討論的數(shù)學(xué)思想。

幾何型排列組合問題的求解策略有關(guān)幾何型組合題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，它的求解不僅要具備排列組合的有關(guān)知識(shí)，而且還要掌握相關(guān)的幾何知識(shí).這類題目新穎、靈活、能力要求高，因此要求掌握四種常用求解策略.一分步求解例1圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)（n＞1），以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為______．解：本題所求的三角形，即為圓的內(nèi)接直角三角形，由平面幾何知識(shí)，應(yīng)分兩步進(jìn)行：先從2n個(gè)點(diǎn)中構(gòu)成直徑（即斜邊）共有n種取法；再從余下的(2n－2)個(gè)點(diǎn)中取一點(diǎn)作為直角頂點(diǎn)，有(2n－2)種不同取法．故總共有n(2n－2)＝2n(n－1)個(gè)直角三角形．故填2n(n－1)．例2：從集合{0、1、2、3、5、7、11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)原直線共有____條（結(jié)果用數(shù)值來表示）.解：因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，所以C＝0.從1、2、3、5、7、11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A、B，兩數(shù)的順序不同，表示的直線也不同，所以直線的條數(shù)為P（6，2）＝30．二分類求解例3四邊體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)中取3點(diǎn)，使它們和A在同一平面上，不同取法有（）(A)30種(B)33種(C)36種(D)39種解：符合條件的取法可分三類：①4個(gè)點(diǎn)（含A）在同一側(cè)面上，有3＝30種；②4個(gè)點(diǎn)（含A）在側(cè)棱與對(duì)棱中點(diǎn)的截面上，有3種；由加法原理知不同取法有33種，故選B.三排除法求解例4從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（）(A)8種(B)12種(C)16種(D)20種解：由六個(gè)任取3個(gè)面共有C（6，3）＝20種，排除掉3個(gè)面都相鄰的種數(shù)，即8個(gè)角上3個(gè)平面相鄰的特殊情形共8種，故符合條件共有20－8＝12種，故選(B)．例5正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有（）個(gè)？解：從7個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有C（7，3）＝35個(gè)，排除掉不能構(gòu)成三角形的情形．3點(diǎn)在同一直線上有3個(gè)，故符合條件的三角形共有35－3＝32個(gè)．四轉(zhuǎn)化法求解例6空間六個(gè)點(diǎn)，它們?nèi)魏稳c(diǎn)不共線，任何四點(diǎn)不共面，則過每?jī)牲c(diǎn)的直線中有多少對(duì)異面直線？解：考慮到每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)著3對(duì)異面直線，問題就轉(zhuǎn)化為能構(gòu)成多少個(gè)三棱錐.由于這六個(gè)點(diǎn)可構(gòu)成C（6，4）＝15個(gè)三棱錐，故共有3×15＝45對(duì)異面直線.例7一個(gè)圓的圓周上有10個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連接一條弦，求這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有幾個(gè)？解：考慮到每個(gè)凸四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)，則問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)成凸四邊形的個(gè)數(shù)．顯然可構(gòu)成C（10，4）＝210個(gè)圓內(nèi)接四邊形，故10個(gè)點(diǎn)連成的點(diǎn)最多能在圓中交點(diǎn)210個(gè).6、染色問題：

不涉及環(huán)形染色可以采用特殊區(qū)域優(yōu)先處理的方法來分步解決。環(huán)形染色可采用如下公式解決：

An＝（a－1）^n+(a-1)×(-1)^nn表示被劃分的個(gè)數(shù)，a表示顏色種類

原則：被染色部分編號(hào)，并按編號(hào)順序進(jìn)行染色，根據(jù)情況分類在所有被染色的區(qū)域，區(qū)分特殊和一般，特殊區(qū)域優(yōu)先處理例題1：將3種作物種植在如圖4所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物。則有多少種種植方法？圖1

例題2：用5種不同顏色為圖中ABCDE五個(gè)部分染色，相鄰部分不能同色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可以不使用，則符合要求的不同染色方法有多少種？圖2例題3：將一個(gè)四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)染色，使同一條棱的2個(gè)端點(diǎn)不同色，且只由五個(gè)顏色可以使用，有多少種染色方法？圖3例題4：一個(gè)地區(qū)分為如圖4所示的五個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不同色，那么則有多少種染色方法？圖4例題5：某城市中心廣場(chǎng)建造了一個(gè)花圃，分6個(gè)部分（如圖5）現(xiàn)在要栽種4種不同的顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能種同樣顏色的花，則有多少種不同栽種方式？圖5：排列組合題（系列之二）一）

1,2,3,4作成數(shù)字不同的三位數(shù)，試求其總和？但數(shù)字不重復(fù)。

[解析]

組成3位數(shù)我們以其中一個(gè)位置(百位,十位,個(gè)位)為研究對(duì)象就會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)某個(gè)位置固定比如是1,那么其他的2個(gè)位置上有多少種組合?這個(gè)大家都知道是剩下的3個(gè)數(shù)字的全排列P32

我們研究的位置上每個(gè)數(shù)字都會(huì)出現(xiàn)P32次

所以每個(gè)位置上的數(shù)字之和就可以求出來了

個(gè)位是:P32*(1+2+3+4)=60

十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600

百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000

所以總和是6660

（二）

將“PROBABILITY”11個(gè)字母排成一列，排列數(shù)有______種，若保持P,R,O次序，則排列數(shù)有______種。

[解析]

這個(gè)題目就是直線全排列出現(xiàn)相同元素的問題:在我的另外一個(gè)帖子里面有介紹:

(1)我們首先把相同元素找出來,B有2個(gè),I有2個(gè)

我們先看作都是不同的11個(gè)元素全排列這樣就簡(jiǎn)單的多是P11,11

然后把相同的元素能夠形成的排列剔除即可P11/(P2,2*P2,2)=9979200。

(2)第2個(gè)小問題因要保持PRO的順序，就將PRO視為相同元素（跟B，I類似的性質(zhì)），則其排列數(shù)有11！/（2！×2！×3！）=166320種。

（三）

李先生與其太太有一天邀請(qǐng)鄰家四對(duì)夫婦共10人圍坐一圓桌聊天，試求下列各情形之排列數(shù)：

（1）男女間隔而坐。

（2）主人夫婦相對(duì)而坐。

（3）每對(duì)夫婦相對(duì)而坐。

（4）男女間隔且夫婦相鄰。

（5）夫婦相鄰。

（6）男的坐在一起，女的坐在一起。

[解析]

(1)這個(gè)問題也在介紹過

先簡(jiǎn)單介紹一下環(huán)形排列的特征,環(huán)形排列相對(duì)于直線排列缺少的就是參照物.第一個(gè)坐下來的人是沒有參照物的,所以無論做哪個(gè)位置都是一樣的.所以從這里我們就可以看出環(huán)形排列的特征是第一個(gè)人是做參照物,不參與排列.

下面就來解答6個(gè)小問題:

(1)先讓5個(gè)男的或5個(gè)女的先坐下來全排列應(yīng)該是P44,空出來的位置他們的妻子(丈夫),妻子(丈夫)的全排列這個(gè)時(shí)候有了參照物所以排列是P55答案就是P44*P55=2880種

(2)先讓主人夫婦找一組相對(duì)座位入座其排列就是P11(記住不是P22),這個(gè)時(shí)候其他8個(gè)人再入座,就是P88,所以此題答案是P88

(3)每對(duì)夫婦相對(duì)而坐,就是捆綁的問題.5組相對(duì)位置有一組位置是作為參照位置給第一個(gè)入座的夫婦的,剩下的4組位置就是P44,考慮到剩下來的4組位置夫婦可以互換位置即P44*2^4=384

(4)夫婦相鄰,且間隔而坐.我們先將每對(duì)夫婦捆綁那么就是5個(gè)元素做環(huán)形全排列即P44

這里在從性別上區(qū)分男女看作2個(gè)元素可以互換位置即答案是P44*2=48種(值得注意的是,這里不是*2^4因?yàn)橐Q位置,必須5對(duì)夫婦都得換要不然就不能保持男女間隔)

(5)夫婦相鄰這個(gè)問題顯然比第4個(gè)問題簡(jiǎn)單多了,即看作捆綁答案就是P44但是這里卻是每對(duì)夫婦呼喚位置都可以算一種方法的.即最后答案是P44*2^5

(6)先從大方向上確定男女分開座,那么我們可以通過性別確定為2個(gè)元素做環(huán)形全排列.即P1,1,剩下的5個(gè)男生和5個(gè)女生單獨(dú)做直線全排列

所以答案是P1,1*P55*P55

（四）在一張節(jié)目表中原有8個(gè)節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對(duì)順序不變，再增加三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？

[解析]

這個(gè)題目相信大家都見過就是我們這次2008年國家公務(wù)員考試的一道題目:

這是排列組合的一種方法叫做2次插空法或多次插空法

直接解答較為麻煩，我們知道8個(gè)節(jié)目相對(duì)位置不動(dòng),前后共計(jì)9個(gè)間隔,故可先用一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有C9取1種方法；這樣9個(gè)節(jié)目就變成了10個(gè)間隔,再用另一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)空位，有C10取1種方法；同理用最后一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)節(jié)目形成的11個(gè)間隔中的一個(gè)，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為9*10*11=990種。

方法2:我們先安排11個(gè)位置,把8個(gè)節(jié)目按照相對(duì)順序放進(jìn)去,在放另外3個(gè)節(jié)目,11個(gè)位置選3個(gè)出來進(jìn)行全排列那就是P11,3=11*10*9=990

（五）0，1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)被25整除的四位數(shù)？

[解析]這里考察了一個(gè)常識(shí)性的問題即什么樣數(shù)才能被25整除

即這個(gè)數(shù)的后2位必須是25或者50，或者75或者00方可.

后兩位是25的情況有:千位只有3個(gè)數(shù)字可選(0不能)百位也是3個(gè)可選

即3*3=9種

后兩位是50的情況有:剩下的4個(gè)數(shù)字進(jìn)行選2位排列P4,2=12種

75不可能，因?yàn)閿?shù)字中沒有7

00也不可能，因?yàn)閿?shù)字不能重復(fù)

共計(jì)9+12=21種“插板法”的條件模式隱藏運(yùn)用分析在說這2道關(guān)于“插板法”的排列組合題目之前，我們需要弄懂一個(gè)問題：

插板法排列組合是需要什么條件下才可以使用？這個(gè)問題清楚了，我們?cè)谝院蟮拇痤}中就可以盡量的變化題目使其滿足這個(gè)條件。

這個(gè)條件就是：分組或者分班等等至少分得一個(gè)元素。

注意條件是至少分得1個(gè)元素！

好我們先來看題目，

例題1：某學(xué)校四、五、六三個(gè)年級(jí)組織了一場(chǎng)文藝演出，共演出18個(gè)節(jié)目，如果每個(gè)年級(jí)至少演出4個(gè)節(jié)目，那么這三個(gè)年級(jí)演出節(jié)目數(shù)的所有不同情況共有幾種？

【解析】

這個(gè)題目是Q友出的題目，題目中是不考慮節(jié)目的不同性你可以視為18個(gè)相同的節(jié)目不區(qū)分！

發(fā)現(xiàn)3個(gè)年級(jí)都是需要至少4個(gè)節(jié)目以上！

跟插板法的條件有出入，插板法的條件是至少1個(gè)，這個(gè)時(shí)候?qū)Ρ纫幌?，我們就有了這樣的思路，為什么我們不把18個(gè)節(jié)目中分別給這3個(gè)年級(jí)各分配3個(gè)節(jié)目。

這樣這3個(gè)班級(jí)就都少1個(gè)，從而滿足至少1個(gè)的情況了

3×3＝9

還剩下18－9＝9個(gè)

剩下的9個(gè)節(jié)目就可以按照插板法來解答。9個(gè)節(jié)目排成一排共計(jì)8個(gè)間隔。分別選取其中任意2個(gè)間隔