§3.6算符的對(duì)易兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件不確定關(guān)系算符的對(duì)易關(guān)系對(duì)易關(guān)系(對(duì)易式)為了表述簡潔，運(yùn)算便利和研究量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，人們定義了對(duì)易括號(hào)：對(duì)易式(4-5)反對(duì)易式(4-7)若，則稱?與不對(duì)易。若，則稱?與對(duì)易。若算符滿足，則稱和反對(duì)易。1)(4-6a)2)(4-6b)3)，，(4-6c)4)(4-6d)5)——稱為Jacobi（雅克比恒等式）。(4-6e)1.坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系算符x,和不對(duì)易證明：(1)(2)顯然二者結(jié)果不相等，所以：（3.7.1）因?yàn)槭求w系的任意波函數(shù)，所以對(duì)易關(guān)系（3.7.2）同理可證其它坐標(biāo)算符與共軛動(dòng)量滿足，（3.7.3）但是坐標(biāo)算符與其非共軛動(dòng)量對(duì)易，各動(dòng)量之間相互對(duì)易。，，（3.7.4），，，，寫成通式(概括起來)：(1)其中或2.角動(dòng)量算符的個(gè)分量之間的對(duì)易關(guān)系，，，，，，（4-34）概括為（4-35）所以（3.7.7）是角動(dòng)量算符的定義式。證明：（3.7.5）；（3.7.6）（3.7.7），（3.7.8）二．兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件1.定理：如果兩個(gè)算符和有一組共同的本征函數(shù)，而且組成完全系，則算符和對(duì)易。證明：因?yàn)?；=，依次是和本征值。所以（-）=-=0.設(shè)是任意波函數(shù)，把按展開為級(jí)數(shù)，，于是（-）.因?yàn)槭侨我獠ê瘮?shù)，所以2.逆定理：如果兩個(gè)算符和對(duì)易，則這兩個(gè)算符有組成完全系的共同本征函數(shù)。注意：兩個(gè)算符和對(duì)易，只是兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的必要條件。3.力學(xué)量的完全集合：要完全確定體系的狀態(tài)，需要有一組相互對(duì)易的力學(xué)量，這組確定體系狀態(tài)的力學(xué)量，稱為力學(xué)量的完全集合。三．不確定關(guān)系1927年3月，海森伯發(fā)表了《論量子論的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的直覺內(nèi)容》的論文，公布了他所建立的不確定度關(guān)系，下面將導(dǎo)出在任意態(tài)下，測(cè)量任意兩個(gè)力學(xué)量A,B，它們的漲落之間的關(guān)系，即不確定度關(guān)系。若和不對(duì)易，設(shè)和對(duì)易關(guān)系為（3.7.9）;（3.7.10）設(shè)在任意態(tài)下，對(duì)于兩個(gè)力學(xué)量和，考慮一下積分：（3.7.11）為實(shí)參數(shù)，和是厄米算符，所以：因?yàn)樗缘茫?.7.12）表示任意兩個(gè)力學(xué)量和，在任意態(tài)下的漲落必須滿足的關(guān)系，稱為不確定度關(guān)系。例如：（1），所以（3.7.13）（2）設(shè)為任意波函數(shù)，則（3）角動(dòng)量的分量的不確定關(guān)系，所以在態(tài)中，四．不確定關(guān)系應(yīng)用例1．用不確定關(guān)系估算寬度為a的一維無限深勢(shì)阱運(yùn)動(dòng)的粒子的動(dòng)能的不確定范圍。解：粒子的坐標(biāo)的不確定范圍是根據(jù)不確定關(guān)系，因而有，粒子動(dòng)能的不確定范圍是。例2．用不確定關(guān)系估算一維線性諧振子的基態(tài)能量。解：振子的平均能量是（3.7.14）坐標(biāo)的平均值是動(dòng)量的平均值是由均方差公式（3