一種具有記憶功能憶阻器的混沌振蕩電路

1.網(wǎng)絡(luò)中憶阻器的實(shí)現(xiàn)在基本電路理論中，電路和元件的特性由四個(gè)基本變量（電壓、電壓、電、電、通）描述。在描述電壓和電壓、電壓和電壓、電壓和電壓之間的關(guān)系的元素是電阻器、電動(dòng)汽車和電動(dòng)器。根據(jù)變量組合的完整性原理，嘉州大學(xué)伯克利分校的中國(guó)科學(xué)家蔡少堂（1975年）首次預(yù)測(cè)和解釋了電、磁通關(guān)系的元件，并在文獻(xiàn)中描述了元素的特征、合成原理和應(yīng)用。由于事實(shí)上，人們不知道這些設(shè)備，因此對(duì)軟鎖的使用的研究沒(méi)有引起科學(xué)和工程界的注意。在惠浦公司實(shí)驗(yàn)室的strukov之前，我們首次報(bào)道了一期蓄水裝置的應(yīng)用，其研究引起了人們的極大興趣。由于蓄水裝置的存在，電路設(shè)計(jì)的基本裝置從電阻、容量和傳感器擴(kuò)展到四個(gè)。致動(dòng)器為電路設(shè)計(jì)及其隔離電路的應(yīng)用提供了新思路[5-11]。Itoh和蔡少棠采用一個(gè)特性曲線為單調(diào)上升且分段線性的憶阻器替換蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管,導(dǎo)出了基于憶阻器的類正弦振蕩或混沌振蕩電路.類似地,Muthuswamy采用一個(gè)不連續(xù)分段線性憶導(dǎo)函數(shù)的含源憶阻器替換蔡氏混沌電路或類蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管,導(dǎo)出了一些新的憶阻混沌電路.這些混沌電路在一定的電路參數(shù)條件下可生成不同形狀的混沌吸引子.文獻(xiàn)[9,10]中所采用的憶阻器特性曲線均是非光滑的分段線性函數(shù),導(dǎo)致它的憶阻或憶導(dǎo)均是不連續(xù)的非線性函數(shù),在物理上實(shí)現(xiàn)這類器件是不現(xiàn)實(shí)的.此外,文獻(xiàn)[9,10]幾乎沒(méi)有對(duì)其所提出的憶阻混沌電路進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析.其實(shí),由于憶阻器在電路中的介入,使得新構(gòu)建的電路存在一個(gè)分布于某一坐標(biāo)軸上的平衡點(diǎn)集[11—13],有著與一般混沌電路或系統(tǒng)完全不同的非線性物理現(xiàn)象[14—16].在實(shí)際電路中,元件特性曲線一般是光滑連續(xù)的,不存在非連續(xù)點(diǎn).已有文獻(xiàn)研究成果表明,物理意義下憶阻器的特性曲線將具有多樣性.因此,隨著半導(dǎo)體納米技術(shù)的高速發(fā)展,完全有可能根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需要制作出具有特定特性曲線的憶阻器.本文將提出一個(gè)具有光滑連續(xù)的三次單調(diào)上升的非線性函數(shù)f(φ,q)=0的歸一化磁控憶阻器,基于該憶阻器設(shè)計(jì)出一個(gè)憶阻混沌電路,并利用常規(guī)的元器件給出有源磁控憶阻器的等效電路實(shí)現(xiàn),由此驗(yàn)證憶阻器所對(duì)應(yīng)的初始狀態(tài)與憶阻混沌電路動(dòng)力學(xué)特性之間的關(guān)系.2.磁控憶阻器的非線性特性憶阻器是一個(gè)基本的無(wú)源二端元件,它的磁鏈φ與累積的電荷q之間的關(guān)系可以用φ-q或q-φ平面上的一條曲線f(φ,q)=0來(lái)確定.憶阻器分為荷控憶阻器和磁控憶阻器兩種,如圖1所示.圖1(a)中的荷控憶阻器可以用q-φ平面上一條通過(guò)原點(diǎn)的特性曲線φ=φ(q)來(lái)表征,其斜率即磁鏈隨電荷的變化率M稱為憶阻,流過(guò)的電流與兩端的電壓之間的伏安特性可以描述為v=M(q)i.圖1(b)中的磁控憶阻器可以用φ-q平面上一條通過(guò)原點(diǎn)的特性曲線q=q(φ)來(lái)表征,其斜率即電荷隨磁鏈的變化率稱為憶導(dǎo),流過(guò)的電流和兩端的電壓之間的伏安特性可以描述為i=W(φ)v.這里M(q)和W(φ)均是非線性函數(shù),且取決于憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量q或φ.定義一個(gè)磁控憶阻元件具有光滑的三次單調(diào)上升的非線性特性曲線[11—13],即可得到它的憶導(dǎo)W(φ)為這里a>0,b>0.(1)式描述的磁控憶阻器在φ-q平面上的特性曲線如圖2(a)所示;(2)式表述的憶導(dǎo)曲線如圖2(b)所示,它是隨內(nèi)部狀態(tài)變量φ變化的正值函數(shù).上述憶阻器所消耗的即時(shí)功率從時(shí)刻t0至t,對(duì)所有t≥t0,流入此憶阻器的能量滿足因此,具有圖2(a)所示特性曲線的磁控憶阻器是無(wú)源的.進(jìn)一步,當(dāng)a=1和b=1時(shí),(1)式描述的是一個(gè)歸一化磁控憶阻器.在如圖1(a)所示的歸一化磁控憶阻器的兩端施加一個(gè)單位幅度的正弦電壓sin(2πft)激勵(lì),設(shè)憶阻器端電壓為v,流過(guò)的電流為i,于是有利用ODE45算法,可得到歸一化磁控憶阻器在v-i平面上的伏安特性曲線如圖2(c)所示,激勵(lì)頻率f=0.5Hz時(shí)對(duì)應(yīng)的電壓和電流的時(shí)域波形如圖2(d)所示.圖2(c)給出了兩個(gè)不同的頻率激勵(lì)時(shí)歸一化磁控憶阻器的伏安特性曲線,表明憶阻器的性能受激勵(lì)頻率的影響很大.另外,磁控憶阻器的伏安特性具有一個(gè)斜“8”字形的類緊磁滯回線的形狀,除原點(diǎn)外,電壓和電流互為彼此的雙值函數(shù),該特性與惠普憶阻器和蔡氏憶阻器所描述的一致.3.基于三次特征根的追蹤一個(gè)包含有源憶阻器的混沌電路如圖3所示.該電路是通過(guò)采用無(wú)源二端口光滑磁控憶阻和一個(gè)負(fù)電導(dǎo)構(gòu)成的有源憶阻器[9—13]代替蔡氏混沌電路中的蔡氏二極管來(lái)實(shí)現(xiàn)的.圖3電路由四個(gè)動(dòng)態(tài)元件組成,分別是兩個(gè)電容、一個(gè)電感和一個(gè)憶阻,它們所對(duì)應(yīng)的四個(gè)狀態(tài)變量分別是v1,v2,i3和φ,這里φ是憶阻內(nèi)部狀態(tài)變量.圖3中AA'端的右邊電路構(gòu)成了一個(gè)有源憶阻器,從端口A流進(jìn)的電流im與AA'端的電壓v之間的伏安關(guān)系為由基爾霍夫定律和元件的伏安特性可得,圖3所示電路的狀態(tài)方程為四個(gè)聯(lián)立的一階微分方程組設(shè)并定義非線性函數(shù)W(w)為(6)式的狀態(tài)方程可以重寫(xiě)為因此,磁控憶阻混沌電路是一個(gè)四維系統(tǒng),它的動(dòng)力學(xué)特性由(8)式描述,基于該式的代數(shù)方程可以進(jìn)行相應(yīng)的理論分析和數(shù)值仿真.令可得(8)式的平衡點(diǎn)為集合E={(x,y,z,w)x=y=z=0,w=c},即w坐標(biāo)上的點(diǎn)集均是平衡點(diǎn),這里c是一個(gè)實(shí)常數(shù).選擇電路參數(shù)使得α=10,β=14,γ=0.1,ξ=2.2,a=1和b=1,(8)式在平衡點(diǎn)處的Jacobi矩陣JE為其中W(c)=1+3c2.平衡點(diǎn)集E的特征根方程為(10)式方括號(hào)中的三次多項(xiàng)式方程的系數(shù)均為非零實(shí)常數(shù).根據(jù)Routh-Hurwitz穩(wěn)定條件,該三次多項(xiàng)式方程的根的實(shí)部為負(fù)的充分必要條件是當(dāng)三次多項(xiàng)式方程中的常數(shù)c滿足條件平衡點(diǎn)集E是不穩(wěn)定的.需要說(shuō)明的是,憶阻混沌電路的穩(wěn)定性不能簡(jiǎn)單地由平衡點(diǎn)集E的三個(gè)非零特征根λi(i=1,2,3)的穩(wěn)定性來(lái)確定,在一定的電路參數(shù)下零特征根(λ4=0)對(duì)憶阻混沌電路的穩(wěn)定性也有很大的影響.對(duì)于初始條件(0,10-10,0,0),光滑憶阻混沌電路生成的吸引子在相平面上的投影及其時(shí)域波形如圖4所示.圖4(a)和(b)分別給出了混沌吸引子在x-y和x-w平面上的投影,圖4(a)是一個(gè)單渦卷混沌吸引子,而圖4(b)是一個(gè)雙渦卷混沌吸引子;圖4(c)是電路中憶阻器的端電壓與流過(guò)的電流在v-i平面上的相軌,它反映了憶阻器的非線性動(dòng)力學(xué)特性.變量x和w的時(shí)域波形如圖4(d)所示,它們是非周期性的,貌似隨機(jī)的.光滑憶阻混沌電路的Lyapunov指數(shù)L1=0.2567,L2=0,L3=0,L4=-4.6638,Lyapunov維數(shù)dL=2.055.因此,從相軌圖、時(shí)域波形以及Lyapunov指數(shù)和維數(shù)可知該電路是混沌振蕩的.一般的混沌系統(tǒng)都對(duì)初始條件具有敏感依賴性,在不同的初始條件下系統(tǒng)軌線隨時(shí)間的演化是不可預(yù)測(cè)的,但它的運(yùn)動(dòng)軌跡始終局限于一個(gè)確定的混沌吸引域內(nèi),無(wú)論混沌系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)多么不穩(wěn)定,它的軌跡都不會(huì)離開(kāi)混沌吸引域,即混沌是有界的[14—16].但對(duì)于憶阻混沌電路,由于其平衡點(diǎn)為分布于某一坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集,不同位置的平衡點(diǎn)具有不同的穩(wěn)定性,因此在不同的初始狀態(tài)下其運(yùn)行軌道會(huì)在混沌行為、周期行為或穩(wěn)定的匯之間發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移,這是由于憶阻器對(duì)內(nèi)部狀態(tài)具有獨(dú)特的記憶性所決定的.圖5示出了在憶阻器具有不同初始狀態(tài)時(shí)光滑憶阻混沌電路的運(yùn)行軌道在x-y平面上的投影.圖5(a)和(b)顯示了w(0)位于正負(fù)值區(qū)間內(nèi)兩個(gè)典型的混沌吸引子,它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有復(fù)合結(jié)構(gòu),并且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)形成中心對(duì)稱.圖5(c)顯示了一個(gè)周期極限環(huán),圖5(d)則顯示了光滑憶阻混沌電路的運(yùn)行軌道為一個(gè)位于原點(diǎn)的有界點(diǎn)(圖中用叉號(hào)標(biāo)注的點(diǎn)).由此說(shuō)明了光滑憶阻混沌電路在不同初始狀態(tài)時(shí)存在著完全不同的運(yùn)行軌道.另外,大量的數(shù)值仿真結(jié)果表明,(10)式中的零特征根對(duì)憶阻混沌電路的穩(wěn)定性能有著一定的影響.關(guān)于憶阻混沌電路的詳細(xì)動(dòng)力學(xué)分析可參見(jiàn)文獻(xiàn).4.r3電路設(shè)計(jì)借助于具有三次非線性特性曲線的蔡氏二極管等效電路實(shí)現(xiàn)方法,可以給出圖3電路中AA'端右邊的有源憶阻器的等效電路實(shí)現(xiàn),如圖6所示.圖中運(yùn)算放大器U1的反向輸入端與輸出端相連組成了電壓跟隨器電路,起到了有源憶阻器與圖3左邊電路的隔離作用;U2與R1C構(gòu)成了一個(gè)積分電路,其輸出經(jīng)過(guò)后面兩級(jí)模擬乘法器實(shí)現(xiàn)了有源憶阻器的非線性運(yùn)算;U3與R3,R4一起組成的電路使得R2的阻值變成了負(fù)阻值.選擇R3=R4,對(duì)于AA'端,其流入的電流im與電壓v之間有如下關(guān)系:式中且有這里vC(0)為U2積分電路中電容C兩端的初始電壓.比較(5)式與(13)式,并考慮到ξ=G,則有當(dāng)ξ=2.2,a=1,b=1,且選擇C=1時(shí),可得到R1=0.6325,R2=0.833.設(shè)定三個(gè)運(yùn)算放大器為理想運(yùn)算放大器,并設(shè)定C1,C2和L的初始狀態(tài)為(0,-10-10,0),在上述典型電路參數(shù)條件下,利用PSpice電路仿真軟件對(duì)圖3所示電路的瞬態(tài)特性進(jìn)行仿真分析.依次選擇數(shù)值仿真時(shí)憶阻器的初始狀態(tài)w(0),即φ(0)為0,0.4,-0.4和0.2,由(14)式可確定圖6等效電路中電容C的初始值分別對(duì)應(yīng)為0,-0.6324,0.6324和-0.3162,PSpice電路仿真輸出的電容C1和C2的端電壓的相軌圖如圖7所示.從圖7可觀察到,利用圖6所示的等效電路替換圖3中的有源憶阻器,可以獲得與數(shù)值仿真結(jié)果完全一致的電路仿真結(jié)果,并且電路仿真結(jié)果因等效電路中電容C的初始值不同而有著完全不同的動(dòng)力學(xué)行為.5.低次協(xié)同中夢(mèng)的憶阻混沌電路動(dòng)力學(xué)特性本文提出了由φ-q平面上光滑三次單調(diào)上升的非線性特性曲線描述的磁控憶阻器,該磁控憶阻器是一個(gè)二端無(wú)源元件,具有由元件內(nèi)部狀態(tài)變量決定的斜“8”字形的類緊磁滯回線的伏安特性.利用光滑磁控憶阻器和負(fù)電導(dǎo)構(gòu)成的有源憶阻器替換蔡氏電路中的蔡氏二極管,導(dǎo)出了一個(gè)基于憶阻器的混沌電路.此電路具有一個(gè)平衡點(diǎn)集,其穩(wěn)定性隨憶阻器內(nèi)部狀態(tài)初始值的不同而不同.因此從理論分析結(jié)果可知,本文提出的憶阻混沌電路不同于一般的混沌系統(tǒng),其動(dòng)