幾類不同增長的函數(shù)模型3.2.1第三章函數(shù)的應(yīng)用課件

1859年，當(dāng)澳大利亞的一個農(nóng)夫?yàn)榱舜颢C而從外國弄來幾只兔子后，一場可怕的生態(tài)災(zāi)難爆發(fā)了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亞它沒有天敵，數(shù)量不斷翻番。1950年，澳大利亞的兔子的數(shù)量從最初的五只增加到了75億只，這個國家絕大部分地區(qū)的莊稼或草地都遭到了極大損失。絕望之中，人們從巴西引入了多發(fā)黏液瘤病，以對付迅速繁殖的兔子。整個20世紀(jì)中期，澳大利亞的滅兔行動從未停止過。“指數(shù)爆炸”模型生態(tài)故事：“一群兔子引發(fā)的危機(jī)”函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)模型來描述的，我們學(xué)過的函數(shù)模型有哪些呢？對于實(shí)際問題，我們?nèi)绾芜x擇一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？找出模型后又是如何去研究它的性質(zhì)呢？例題：例1、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多 回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前 一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案呢？

例1

假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。請問，你會選擇哪種投資方案呢？則方案一可以用函數(shù)________________進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)__________________描述；方案三可以用______________________描述。設(shè)第x天的回報是y元，y=40(x∈N*)y=10x(x∈N*)y=0.4×2x-1(x∈N*)分析：1、依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來選取投資方案？日回報效益還是累計回報效益？2、如何建立日回報效益與天數(shù)的函數(shù)模型？x/天方案一方案二方案三y/元增長量/元y/元增長量/元y/元增長量/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.4…………3040300214748364.8通過表格比較三種方案所得日回報的增長情況：1010101010101010…1000000000…00.40.81.63.26.412.825.651.2…107374182.412346578910200406080100120140yx方案一:y=4012345678910…40404040404040404040…x方案二y=10x12345678910…102030405060708090100…xy=0.4*2x-112345678910…0.40.81.63.26.412.825.651.2102.4204.8y=40y=10xy=0.4×2x-1x…下面利用圖象從整體上把握不同函數(shù)模型的增長指數(shù)爆炸12346578910200406080100120140yy=40y=10xy=0.4×2x-1x下面利用圖象從整體上把握不同函數(shù)模型的增長從每天的回報量來看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；有人認(rèn)為投資1~4天選擇方案一；5~8天選擇方案二；9天以后選擇方案三？天數(shù)方案1234567891011一二三40801201602002402803203604004401030601001502102803604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8投資__________應(yīng)選擇第一種投資方案；投資___________應(yīng)選擇第二種投資方案；投資____________________應(yīng)選擇第三種投資方案。11天（含11天）以上，8~10天，

1~7天，累計回報表結(jié)論除了要考慮每天的回報量之外，還得考慮回報的累積值.你能把前11天回報的累積值算出來嗎?常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)型函數(shù)幾種常見函數(shù)的增長情況：增長量為0增長量相同直線上升指數(shù)爆炸增長量迅速增加沒有增長

某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售部門的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但資金數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x，y=log7x+1，，其中哪個模型能符合公司的要求呢？例2一次函數(shù)，對數(shù)型函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。思考①例2涉及了哪幾類函數(shù)模型？②本題中符合公司要求的模型有什么條件嗎2004006008001000234567810可以看到：在區(qū)間[10,1000]上只有模型y=log7x+1的圖象始終在y=5的下方▲通過觀察圖象，你認(rèn)為哪個模型符合公司的獎勵方案？對數(shù)函數(shù)的增長情況：緩慢增長，增長量減少2004006008001000234567810①對于模型y=0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，當(dāng)x=20時，y=5

，因此x∈(20,1000)時，y>5，因此該模型不符合要求?！ㄟ^觀察圖象，你認(rèn)為哪個模型符合公司的獎勵方案？2004006008001000234567810▲通過觀察圖象，你認(rèn)為哪個模型符合公司的獎勵方案？②對于模型y=1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個點(diǎn)x0滿足1.002x0

=5，由于它在[10,1000]上遞增，因此當(dāng)x>x0時，y>5，因此該模型也不符合要求。2004006008001000234567810▲通過觀察圖象，你認(rèn)為哪個模型符合公司的獎勵方案？③由函數(shù)圖象可以看出，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x=1000時，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎金不超過5萬元的要求。對于模型y=log7x+1

令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用計算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)≤f(10)≈-0.3167<0,即log7x+1<0.25x所以，當(dāng)x∈[10,1000]，時說明按模型y=log7x+1獎勵，獎金不會超過利潤的25%.綜上所述，模型y=log7x+1確實(shí)能符合公司要求.第二課時問題提出

1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)，對數(shù)函數(shù)

y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性如何？

2.利用這三類函數(shù)模型解決實(shí)際問題，其增長速度是有差異的，我們怎樣認(rèn)識這種差異呢？

探究（一）：特殊冪、指、對函數(shù)模型的差異對于函數(shù)模型：y=2x,y=x2,y=log2x（其中x>0.）思考1:觀察三個函數(shù)的自變量與函數(shù)值對應(yīng)表,

這三個函數(shù)增長的快慢情況如何？

…1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x…11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x2…10.55686.0634.5953.4822.63921.5161.149y=2x…3.43.02.62.21.81.410.60.2xx012345678y=2x1248163264128256y=x201491625364964思考2:對于函數(shù)模型y=2x和y=x2，觀察下列自變量與函數(shù)值對應(yīng)表：

當(dāng)x>0時，你估計函數(shù)y=2x和y=x2的圖象共有幾個交點(diǎn)？

思考3:在同一坐標(biāo)系中這三個函數(shù)圖象的相對位置關(guān)系如何？請畫出其大致圖象.xyo1124y=2xy=x2y=log2xy=log2x結(jié)論1：一般地，對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就會有ax>xn.結(jié)論2：一般地，對于指數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn

(n>0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，隨著x的增大，logax增大得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣。盡管在x的一定范圍內(nèi)，logax可能會小于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就會有l(wèi)ogax<xn.綜上所述：(1)在區(qū)間(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)。(2)隨著x的增大，y=ax(a>1)的增長速度越來越快，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長速度。(3)隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長速度越來越慢，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y=xn(n>0)的增長速度。總存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就有:

logax<xn<ax幾種常見函數(shù)的增長情況：常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)沒有增長直線上升指數(shù)爆炸“慢速”增長解決實(shí)際問題的步驟：實(shí)際問題讀懂問題抽象概括數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題的解還原說明實(shí)際問題的解演算推理如果等式1告訴我們，積跬步以致千里，積怠惰以致深淵。那么等式2則告訴我們，只比你努力一點(diǎn)的人，其實(shí)已經(jīng)甩你太遠(yuǎn)。1.當(dāng)x越來越大時，增長速度最快的是()D