考點(diǎn)47帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界極值和多解問題(核心考點(diǎn)精講分層精練)_第1頁
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文檔簡介

考點(diǎn)47帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值和多解問題1.3年真題考點(diǎn)分布題型選擇題(壓軸)、解答題(壓軸題)高考考點(diǎn)有界磁場中的臨界問題;帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)的多解問題;新高考2023浙江卷23題、2022湖北8題、浙江卷23題、廣東卷7題、2021海南卷13題、湖南卷13題、湖北卷14題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】近3年新高考卷對于本節(jié)內(nèi)容考查共計(jì)7次,主要考查:有界磁場中的臨界問題;帶電粒子電性不確定的多解問題;臨界狀態(tài)不唯一形成的多解問題;帶電粒子運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成的多解問題。【備考策略】熟練掌握四種處理有界磁場的臨界問題;理解并掌握帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的多解問題?!久}預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容的難度角度,在高考題中往往以選擇題或解答題的壓軸題的形式出現(xiàn),對物理成績要求較高的考生,務(wù)必掌握好本節(jié)內(nèi)容??挤?有界磁場中的臨界問題角度1:“放縮放”解決有界磁場中的臨界問題適用條件速度方向一定,大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定,大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí),這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景),速度v越大,運(yùn)動(dòng)半徑也越大。可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后,它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上界定方法以入射點(diǎn)P為定點(diǎn),圓心位于PP′直線上,將半徑放縮作軌跡圓,從而探索出臨界條件,這種方法稱為“放縮圓”法【典例1】(2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)??既#┤鐖D所示,空間中有一個(gè)底角均為的梯形,上底與腰長相等為L,梯形處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場中,現(xiàn)c點(diǎn)存在一個(gè)粒子源,可以源源不斷射出速度方向沿cd,大小可變的電子,電子的比荷為k,為使電子能從ab邊射出,速度大小可能為()A. B. C. D.【答案】BC【詳解】能夠從ab邊射出的電子,半徑最小為從b點(diǎn)射出,如圖所示由幾何關(guān)系可知,半徑最大為從a點(diǎn)射出,如圖所示由幾何關(guān)系可知,由牛頓第二定律有,解得,則有為使粒子從ab邊射出磁場區(qū)域,粒子的速度范圍為故選BC?!咀兪健浚?022·廣東·模擬預(yù)測)如圖所示,在一等腰直角三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場,磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(重力不計(jì))以速度v從AC邊的中點(diǎn)O垂直AC邊射入磁場區(qū)域.若三角形的兩直角邊長均為2L,要使粒子從CD邊射出,則v的取值范圍為A. B.C. D.【答案】C【詳解】根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力可知,,因此半徑越大,速度越大;根據(jù)幾何關(guān)系可知,使粒子與AD邊相切時(shí)速度最大,如圖由幾何關(guān)系可知:R=(R+L)sin45o,解得最大半徑為,故最大速度為;當(dāng)粒子從C點(diǎn)出射時(shí)半徑最小,為,故最小速度應(yīng)為,故v的取值范圍為,故C正確,ABD錯(cuò)誤,故選C.【點(diǎn)睛】根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力可求得速度與半徑間的關(guān)系,根據(jù)幾何關(guān)系分析粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡;從而明確可能的速度大小;再根據(jù)周期公式以及轉(zhuǎn)過的圓心角可求得最長時(shí)間.角度2:“旋轉(zhuǎn)法”解決有界磁場中的臨界問題模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用適用條件速度大小一定,方向不同粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí),它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同,若射入初速度為v0,則圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R=eq\f(mv0,qB)。如圖所示軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R=eq\f(mv0,qB)的圓上界定方法將一半徑為R=eq\f(mv0,qB)的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn),從而探索粒子的臨界條件,這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法【典例2】如圖所示,真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直于底面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,磁場內(nèi)有一塊較大的平面感光板,板面與磁場方向平行,在距的距離處,有一個(gè)點(diǎn)狀的粒子放射源,它向各個(gè)方向發(fā)射粒子,粒子的速度都是,已知粒子的電荷量與質(zhì)量之比,現(xiàn)只考慮在圖紙平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的粒子,則感光板上被粒子打中區(qū)域的長度()A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm【答案】B【詳解】粒子帶正電,故在磁場中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng),用R表示軌道半徑,有解得,由于,因此,向不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過S,由此可知,某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與相切,則此切點(diǎn)就是粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn);再考慮N的右側(cè)。任何粒子在運(yùn)動(dòng)中離的距離不可能超過,以為半徑、為圓心作圓,交于右側(cè)的點(diǎn),此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系可得,,,則感光板上被粒子打中區(qū)域的長度,故選B?!咀兪健咳鐖D所示,在等腰直角三角形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為,邊長。大量相同的帶負(fù)電的粒子以不同的速率,在紙面內(nèi)沿不同的方向從點(diǎn)射入磁場。已知粒子質(zhì)量為,電荷量為,粒子間的相互作用和重力可忽略,則在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子中,速度的最大值是()A. B. C. D.【答案】C【詳解】當(dāng)沿ab方向進(jìn)入磁場,軌跡與ac相切時(shí)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長,且粒子速度最大,軌跡如圖由幾何關(guān)系得,,即,解得,由公式,得則,故選C。角度3:“平移圓”模型的應(yīng)用適用條件速度大小一定,方向一定,但入射點(diǎn)在同一直線上粒子源發(fā)射速度大小、方向一定,入射點(diǎn)不同,但在同一直線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí),它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同,若入射速度大小為v0,則半徑R=eq\f(mv0,qB),如圖所示軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上,該直線與入射點(diǎn)的連線平行界定方法將半徑為R=eq\f(mv0,qB)的圓進(jìn)行平移,從而探索粒子的臨界條件,這種方法叫“平移圓”法【典例2】(2022·山東省青島市高三下二模)如圖所示,豎直放置的半環(huán)狀A(yù)BCD區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5T.外環(huán)的半徑R1=16cm,內(nèi)環(huán)的半徑R2=4cm,外環(huán)和內(nèi)環(huán)的圓心為O,沿OD放置有照相底片.有一線狀粒子源放在AB正下方(圖中未畫出),不斷放出初速度大小均為v0=1.6×106m/s,方向垂直AB和磁場的相同粒子,粒子經(jīng)磁場中運(yùn)動(dòng),最后打到照相底片上,經(jīng)檢驗(yàn)底片上僅有CD區(qū)域均被粒子打到.不考慮粒子間的相互作用,粒子重力忽略不計(jì),假設(shè)打到磁場邊界的粒子被吸收.(1)粒子的電性;(2)求粒子的比荷eq\f(q,m);(3)若照相底片沿OP放置,求底片上被粒子打到的區(qū)域的長度.[解析](1)由左手定則可知,粒子帶正電.(2)如圖所示,設(shè)粒子的質(zhì)量為m,帶電荷量為q,在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,依題意有2R=R1+R2,R=10cm由牛頓第二定律qv0B=eq\f(mveq\o\al(2,0),R),代入數(shù)據(jù)解得eq\f(q,m)=3.2×107C/kg(3)若照相底片沿OP放置,則底片上被粒子打到的區(qū)域長度為MN的長度,如圖所示,在△O1OM中,由幾何關(guān)系有OM2=R2-(R-R2)2,解得OM=8cmMN=R-OM,聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得MN=2cm角度4:“磁聚焦”模型1.帶電粒子的會聚如圖半徑與磁場圓半徑相等(R=r),則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出.(會聚)證明:四邊形OAO′B為菱形,必是平行四邊形,對邊平行,OB必平行于AO′(即豎直方向),可知從A點(diǎn)發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過B點(diǎn).2.帶電粒子的發(fā)散如圖乙所示,有界圓形磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,圓心為O,從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子,以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場,不計(jì)粒子的重力,如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場半徑相等,則所有粒子射出磁場的方向平行.(發(fā)散)證明:所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心與有界圓圓心O、入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的連線為菱形,也是平行四邊形,O1A(O2B、O3C)均平行于PO,即出射速度方向相同(即水平方向).【典例4】(2022陜西西安八校聯(lián)考)如圖所示,半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,磁場邊界上A點(diǎn)有一粒子源,源源不斷地向磁場發(fā)射各種方向(均平行于紙面)且速度大小相等的帶正電的粒子(重力及粒子間的相互作用不計(jì)),已知粒子的比荷為k,速度大小為2kBr,則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為()A.eq\f(π,kB) B.eq\f(π,2kB)C.eq\f(π,3kB) D.eq\f(π,4kB)【答案】C【解析】粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑為R=eq\f(mv,qB)=eq\f(2kBr,Bk)=2r,周期為T=eq\f(2πm,Bq)=eq\f(2π,kB),當(dāng)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長時(shí),其軌跡對應(yīng)的圓心角最大,此時(shí)弦長最大,弦長最大值為磁場區(qū)域圓的直徑2r,根據(jù)幾何關(guān)系可得軌跡所對圓心角為60°,故tmax=eq\f(T,6)=eq\f(π,3kB),選項(xiàng)C正確.【變式】(多選)(2022·山東省日照市高三下二模)如圖所示,紙面內(nèi)半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,一束質(zhì)子在紙面內(nèi)以相同的速度射向磁場區(qū)域,質(zhì)子的電荷量為q,質(zhì)量為m,速度為v=eq\f(qBR,m),則以下說法正確的是()A.對著圓心入射的質(zhì)子,其出射方向的反向延長線一定過圓心B.對著圓心入射的質(zhì)子,其在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短C.所有質(zhì)子都在磁場邊緣同一點(diǎn)射出磁場D.所有質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都相同【答案】ACD【解析】首先可以確定朝著圓心射入的質(zhì)子,其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供:Bqv=meq\f(v2,r),將速度代入,解得:r=R,那么由幾何關(guān)系知道該質(zhì)子最后沿著OC方向從O點(diǎn)的正下方C點(diǎn)射出磁場,故A正確;再假設(shè)從任意點(diǎn)E水平射入的質(zhì)子,其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為D,由幾何知識可知四邊形DEOC是菱形,所以DC=OE=R,所以從任意點(diǎn)水平入射的質(zhì)子也從O點(diǎn)的正下方C點(diǎn)射出,故C正確;質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的速率v相同,質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡越長,質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長,對著圓心入射的質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌跡不是最短,因此對著圓心入射的質(zhì)子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不是最短的,故B錯(cuò)誤;根據(jù)以上分析可知,所有質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都相同,故D正確.考法2帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題角度1:帶電粒子電性不確定形成的多解如果粒子的電性不確定,帶電粒子可能帶正電荷,也可能帶負(fù)電荷,在相同的初速度下,正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡不同,形成多解。如圖所示,帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場,若帶正電,其軌跡為a;若帶負(fù)電,其軌跡為b?!镜淅?】如圖所示,垂直紙面向內(nèi)的磁場寬度為L,足夠長,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,一電性未知的帶電粒子,質(zhì)量為m、電荷量為q,以與邊界成角的速度射入磁場,為不讓其從右邊界飛出,求該帶電粒子的速度的大小范圍。(不計(jì)粒子重力)【答案】或者【詳解】當(dāng)粒子帶負(fù)電時(shí),為不讓其從右邊界飛出,則軌跡與右邊界相切,從射入點(diǎn)下邊界射出,此時(shí)有最大速度,軌跡如下圖由幾何關(guān)系得,由洛倫茲力提供向心力,得聯(lián)立解得,則,該帶電粒子的速度的大小范圍為,當(dāng)粒子帶正電時(shí),為不讓其從右邊界飛出,則軌跡與右邊界相切,從射入點(diǎn)上邊界射出,此時(shí)有最大速度,軌跡圖如下由幾何關(guān)系得,由洛倫茲力提供向心力,得聯(lián)立解得,則,該帶電粒子的速度的大小范圍為,【變式】如圖所示,L1和L2為兩條平行的虛線,L1上方和L2下方都是范圍足夠大,且磁感應(yīng)強(qiáng)度相同的勻強(qiáng)磁場,A、B兩點(diǎn)都在L2上。帶電粒子從A點(diǎn)以初速度v0與L2成角斜向右上方射出,經(jīng)過偏轉(zhuǎn)后正好過B點(diǎn),經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)速度方向也斜向上,不計(jì)重力,下列說法正確的是()A.若將帶電粒子在A點(diǎn)時(shí)的初速度變大(方向不變),它仍能經(jīng)過B點(diǎn)B.帶電粒子經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度一定跟在A點(diǎn)時(shí)的速度大小相同C.若將帶電粒子在A點(diǎn)時(shí)的初速度方向改為與L2成角斜向右上方,它將不能經(jīng)過B點(diǎn)D.此帶電粒子既可以是正電荷,也可以是負(fù)電荷【答案】ABD【詳解】畫出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的可能軌跡,B點(diǎn)的位置可能有如圖四種A.根據(jù)軌跡,粒子經(jīng)過邊界L1時(shí)入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間的距離與經(jīng)過邊界L2時(shí)入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間的距離相同,與速度無關(guān).所以當(dāng)初速度大小稍微增大一點(diǎn),但保持方向不變,它仍有可能經(jīng)過B點(diǎn),故A錯(cuò)誤;B.如圖,粒子B的位置在B1、B4,由于洛倫茲力對粒子不做功,則速度跟在A點(diǎn)時(shí)的速度大小相等,但方向不同,故B正確;C.如圖,設(shè)L1與L2之間的距離為d,則A到B2的距離為,x=所以,若將帶電粒子在A點(diǎn)時(shí)初速度方向改為與L2成角斜向上,則每次經(jīng)過一個(gè)周期前進(jìn)的距離為則經(jīng)過三個(gè)周期后經(jīng)過B點(diǎn)。故C錯(cuò)誤;D.由圖可知,分別是正負(fù)電荷的軌跡,正負(fù)電荷都可能,故D正確。故選ABD。角度2:磁場方向不確定形成的多解有些題目只知磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,而不知其方向,此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成的多解。如圖所示,帶正電粒子以速率v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場,若B垂直紙面向里,其軌跡為a;若B垂直紙面向外,其軌跡為b?!镜淅?】真空中有如圖所示的周期性交變磁場,設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B垂直紙面向里為正方向,B0=1T,t0=π×10-5s,k為正整數(shù)。某直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O處有一粒子源,在t=0時(shí)刻沿x軸正方向發(fā)射速度為v0=103m/s的正點(diǎn)電荷,比荷=1×106C/kg,不計(jì)粒子重力。(1)若k=1,求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和粒子第3次(從O點(diǎn)出發(fā)記為第1次)經(jīng)過y軸時(shí)的時(shí)刻;(2)若k=2,求粒子在運(yùn)動(dòng)過程中與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的最大值和最小值;(3)若t0=10-5s,則k取何值時(shí),粒子可做周期性循環(huán)運(yùn)動(dòng)回到出發(fā)點(diǎn)?并求出循環(huán)周期的最小值Tmin和相應(yīng)的k值?!敬鸢浮?1)0.001m;;(2);;(3)當(dāng)取非的正整數(shù)時(shí),均可以回到出發(fā)點(diǎn);當(dāng)時(shí),最小循環(huán)周期為【詳解】(1)粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由,,解得,當(dāng)時(shí),因?yàn)椋W拥?次經(jīng)過軸時(shí)恰好向上經(jīng)歷兩個(gè)半圓(如圖)則時(shí)間(2)當(dāng)時(shí),,粒子一個(gè)循環(huán)周期中運(yùn)動(dòng)分別為半圓→整圓→半圓→整圓,因此由幾何關(guān)系得:與軸交點(diǎn)坐標(biāo)的最大值為與軸交點(diǎn)坐標(biāo)的最小值為(3)因?yàn)椋粤W酉茸鰣A弧運(yùn)動(dòng),之后對的不同值進(jìn)行分類討論:如圖可見1、2、3、4時(shí)可能的分段情況.①,粒子做圓弧交替運(yùn)動(dòng),向右上45°方向無限延伸,不會循環(huán)運(yùn)動(dòng)②,粒子做圓弧與圓弧交替運(yùn)動(dòng),經(jīng)過4個(gè)周期回到出發(fā)點(diǎn),循環(huán)周期③,粒子做圓弧與圓弧交替運(yùn)動(dòng),經(jīng)過2個(gè)周期回到出發(fā)點(diǎn),循環(huán)周期④,粒子做圓弧與圓弧交替運(yùn)動(dòng),經(jīng)過4個(gè)周期回到出發(fā)點(diǎn),循環(huán)周期當(dāng)時(shí),運(yùn)動(dòng)過程相似,每個(gè)周期中均增加(正整數(shù))個(gè)圓周,能循環(huán)的運(yùn)動(dòng)其循環(huán)周期均延長.綜上可得:(1)當(dāng)取非的正整數(shù)時(shí),均可以回到出發(fā)點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí),最小循環(huán)周期為.【變式】(2023·廣東·模擬預(yù)測)如圖所示的xOy坐標(biāo)系中,y軸的左側(cè)存在垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知的勻強(qiáng)磁場,y軸右側(cè)的勻強(qiáng)磁場垂直紙面方向且大小未知,一帶正電的粒子由y軸上(0,)處沿與y軸正方向成30°角的方向以速度v射入磁場,已知粒子的比荷為k,粒子在y軸右側(cè)的軌道半徑為L,最終粒子經(jīng)過O點(diǎn),粒子重力不計(jì)。下列說法正確的是()A.若y軸右側(cè)的磁場垂直紙面向里,則y軸右側(cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.若y軸右側(cè)的磁場垂直紙面向里,則粒子從射入到運(yùn)動(dòng)至O點(diǎn)的時(shí)間為C.若y軸右側(cè)的磁場垂直紙面向外,則粒子從射入到運(yùn)動(dòng)至O點(diǎn)的時(shí)間可能為D.若y軸右側(cè)的磁場垂直紙面向外,則粒子從射入到運(yùn)動(dòng)至O點(diǎn)的時(shí)間可能為【答案】AD【詳解】A.若y軸右側(cè)的磁場垂直紙面向里,由題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖甲所示根據(jù)解得由幾何關(guān)系可知,則有,A正確;B.由幾何關(guān)系可知粒子在y軸右側(cè)偏轉(zhuǎn)的角度為60°,則粒子從射入到運(yùn)動(dòng)至O點(diǎn)的時(shí)間,由于,解得,B錯(cuò)誤;CD.若y軸右側(cè)的磁場垂直紙面向外,粒子可能在y軸左右兩側(cè)各偏轉(zhuǎn)一次經(jīng)過O點(diǎn),如圖乙所示,由幾何關(guān)系可知粒子在y軸左側(cè)的軌道半徑則y軸左側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間由于,解得,若y軸右側(cè)的磁場垂直紙面向外,粒子可能在y軸的左側(cè)偏轉(zhuǎn)一次、在y軸的右側(cè)偏轉(zhuǎn)兩次經(jīng)過O點(diǎn),如圖丙所示由幾何關(guān)系可知粒子在y軸左側(cè)的軌道半徑,則y軸左側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小,粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,由于,解得,,C錯(cuò)誤,D正確。故選AD。角度3:臨界狀態(tài)不唯一形成的多解帶電粒子在洛倫茲力作用下在有界磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí),由于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧狀,因此,它可能穿過去,也可能轉(zhuǎn)過180°從入射界面這邊反向飛出,從而形成多解,如圖所示。【典例7】(2021·海南·高考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi),存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。大量質(zhì)量為m、電量為q的相同粒子從y軸上的點(diǎn),以相同的速率在紙面內(nèi)沿不同方向先后射入磁場,設(shè)入射速度方向與y軸正方向的夾角為。當(dāng)時(shí),粒子垂直x軸離開磁場。不計(jì)粒子的重力。則()A.粒子一定帶正電B.當(dāng)時(shí),粒子也垂直x軸離開磁場C.粒子入射速率為D.粒子離開磁場的位置到O點(diǎn)的最大距離為【答案】ACD【詳解】A.根據(jù)題意可知粒子垂直軸離開磁場,根據(jù)左手定則可知粒子帶正電,A正確;BC.當(dāng)時(shí),粒子垂直軸離開磁場,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為洛倫茲力提供向心力解得粒子入射速率若,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖,根據(jù)幾何關(guān)系可知粒子離開磁場時(shí)與軸不垂直,B錯(cuò)誤,C正確;D.粒子離開磁場距離點(diǎn)距離最遠(yuǎn)時(shí),粒子在磁場中的軌跡為半圓,如圖根據(jù)幾何關(guān)系可知,,解得,D正確。故選ACD?!咀兪健浚?023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測)如圖甲所示,邊長為L的正方形abcd區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場,磁感強(qiáng)度大小為,方向垂直于abed所在平面,且周期性變化(周期T可根據(jù)需要調(diào)整),如圖乙所示,設(shè)垂直abcd平面向里為磁感強(qiáng)度的正方向?,F(xiàn)有一電子在時(shí)刻由a點(diǎn)沿ab方向射入磁場區(qū),已知電子的質(zhì)量為m,電荷量大小為e,圖中邊界上有兩點(diǎn)f、g,且,關(guān)于電子在磁場中的運(yùn)動(dòng),以下說法中正確的是()A.調(diào)整磁場變化周期T,讓電子沿bc方向經(jīng)過c點(diǎn),電子的速度大小一定是B.調(diào)整磁場變化周期T,讓電子經(jīng)過d點(diǎn),電子的速度大小一定是C.要想讓電子經(jīng)過點(diǎn)f點(diǎn),則磁場變化周期一定是D.要想讓電子垂直bc邊過g點(diǎn),則磁場變化周期一定是【答案】D【詳解】A.要想讓電子沿bc方向經(jīng)過c點(diǎn),可能的軌跡如圖所示也可以轉(zhuǎn)奇數(shù)個(gè)圓弧后到c,根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力,有,可得根據(jù)以上分析則有,(n=0,1,2…)解得,(n=0,1,2…),故A錯(cuò)誤;B.要想讓經(jīng)過d點(diǎn),可能的軌跡如圖所示可知,,解得,或者先順時(shí)針轉(zhuǎn)磁場的半個(gè)周期,之后逆時(shí)針轉(zhuǎn),從ad方向經(jīng)過d這種情況下,,解得,故B錯(cuò)誤;C.要想讓電子經(jīng)過f點(diǎn),軌跡可能如圖所示由幾何關(guān)系可得,,解得,只要滿足運(yùn)動(dòng)時(shí)間即可;或者如圖所示圓周周期,每一次轉(zhuǎn)過120°圓心角,,解得,故C錯(cuò)誤;D.要想讓電子垂直bc邊過g點(diǎn),經(jīng)過偶數(shù)次偏轉(zhuǎn),每一次轉(zhuǎn)過60°圓心角,圓周周期,則有,解得,故D正確。故選D。角度4:帶電粒子運(yùn)動(dòng)的往復(fù)性形成的多解帶電粒子在組合場或交變場中運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)動(dòng)往往具有周期性,從而形成多解,如圖所示?!镜淅?】(2023·山東·統(tǒng)考高考真題)如圖所示,在,的區(qū)域中,存在沿y軸正方向、場強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場,電場的周圍分布著垂直紙面向外的恒定勻強(qiáng)磁場。一個(gè)質(zhì)量為m,電量為q的帶正電粒子從OP中點(diǎn)A進(jìn)入電場(不計(jì)粒子重力)。(1)若粒子初速度為零,粒子從上邊界垂直QN第二次離開電場后,垂直NP再次進(jìn)入電場,求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??;(2)若改變電場強(qiáng)度大小,粒子以一定的初速度從A點(diǎn)沿y軸正方向第一次進(jìn)入電場、離開電場后從P點(diǎn)第二次進(jìn)入電場,在電場的作用下從Q點(diǎn)離開。(i)求改變后電場強(qiáng)度的大小和粒子的初速度;(ii)通過計(jì)算判斷粒子能否從P點(diǎn)第三次進(jìn)入電場?!敬鸢浮浚?);(2)(i),;(ii)不會【詳解】(1)由題意粒子在電場中做勻加速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)動(dòng)能定理有粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),有,粒子從上邊界垂直QN第二次離開電場后,垂直NP再次進(jìn)入電場,軌跡如圖根據(jù)幾何關(guān)系可知,,聯(lián)立可得,(2)(i)由題意可知,做出粒子在電場和磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)幾何關(guān)系可知解得,,所以有,洛倫茲力提供向心力,帶電粒子從A點(diǎn)開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)動(dòng)能定理有,再一次進(jìn)入電場后做類似斜拋運(yùn)動(dòng),沿x方向有,沿y方向上有,其中根據(jù)牛頓第二定律有,聯(lián)立以上各式解得,,,(ii)粒子從P到Q根據(jù)動(dòng)能定理有,可得從Q射出時(shí)的速度為,此時(shí)粒子在磁場中的半徑,根據(jù)其幾何關(guān)系可知對應(yīng)的圓心坐標(biāo)為,而圓心與P的距離為,故不會再從P點(diǎn)進(jìn)入電場?!咀兪健咳鐖D所示,在xOy坐標(biāo)系的第Ⅰ象限內(nèi)充滿了沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場,第Ⅳ象限內(nèi)充滿了垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子,從y軸上的P點(diǎn)以垂直于y軸和電場的初速度進(jìn)入勻強(qiáng)電場,一段時(shí)間后經(jīng)過x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場,進(jìn)入磁場時(shí)的速度方向與x軸正方向成角,已知,若粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后恰好能再回到電場,不計(jì)粒子重力。求:(1)帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)的速度;(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大?。唬?)粒子從離開P點(diǎn)到第三次經(jīng)過x軸所需的時(shí)間。【答案】(1);(2);(3)【詳解】(1)粒子在Q點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)速度為,沿x方向的分速度,vx=v0=vcos30°,得,(2)粒子恰好能回到電場,即粒子在磁場中軌跡的左側(cè)恰好與y軸相切,設(shè)半徑為R,根據(jù)幾何關(guān)系可得R(1+sin30°)=3L,解得,R=2L根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得,聯(lián)立可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,(3)粒子在電場和磁場中做周期性運(yùn)動(dòng),軌跡如圖粒子從P到Q的時(shí)間為,在磁場中做一次圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,粒子從離開P點(diǎn)到第三次經(jīng)過x軸所需的時(shí)間,【基礎(chǔ)過關(guān)】1.質(zhì)量和電荷量都相等的帶電粒子M和N,以不同的速率經(jīng)小孔S垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場,運(yùn)行的半圓軌跡如圖中虛線所示,下列表述正確的是()A.N帶負(fù)電,M帶正電B.N的速率大于M的速率C.N的運(yùn)行時(shí)間小于M的運(yùn)行時(shí)間D.N的運(yùn)行時(shí)間等于M的運(yùn)行時(shí)間【答案】D【詳解】A.由左手定則判斷出M帶負(fù)電荷,N帶正電荷,故A錯(cuò)誤;B.帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由洛倫茲力提供向心力,,得由圖可知N的半徑小于M的半徑,所以M的速率大于N的速率,故B錯(cuò)誤;CD.粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)半周,即時(shí)間為其周期的一半,而周期為與粒子運(yùn)動(dòng)的速度無關(guān),所以M的運(yùn)行時(shí)間等于N的運(yùn)行時(shí)間,故C錯(cuò)誤,D正確。故選D。2.(2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)??既#┤鐖D所示,邊長為正方形區(qū)域內(nèi)無磁場,正方形中線將區(qū)域外左右兩側(cè)分成兩個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度均為的勻強(qiáng)磁場區(qū)域,右側(cè)磁場方向垂直于紙面向外,左側(cè)磁場方向垂直于紙面向里?,F(xiàn)將一質(zhì)量為,電荷量為的正粒子從中點(diǎn)以某一速率垂直于射入磁場,不計(jì)粒子的重力,則關(guān)于粒子的運(yùn)動(dòng),下列說法正確的是()A.若粒子能垂直于射入正方形區(qū)域內(nèi),則粒子的最大速度為B.若粒子能垂直于射入正方形區(qū)域內(nèi),則粒子的速度可能為C.若粒子能垂直于射入正方形區(qū)域內(nèi),則粒子的速度可能為D.若粒子能垂直于射入正方形區(qū)域內(nèi),則粒子的速度可能為【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知,粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)由洛倫茲力提供向心力有,,解得若粒子能垂直于射入正方形區(qū)域內(nèi),則粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示由幾何關(guān)系可得,解得當(dāng)時(shí),速度最大為當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則粒子的速度不可能為。故選C。3.(2022春·四川成都·高三四川省成都市第四十九中學(xué)校校考階段練習(xí))如圖所示,在直角坐標(biāo)系I象限內(nèi)(包含x、y坐標(biāo)軸)有方向垂直xOy平面向外、大小為B的勻強(qiáng)磁場。點(diǎn)P(2a,a)處有一個(gè)粒子源,在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子,它們的速度方向均在xoy平面內(nèi),速度大小均為,不計(jì)粒子間的相互作用。下列關(guān)于粒子在坐標(biāo)軸上射出的范圍,判斷正確的是()A.x軸上[0,4a]范圍有粒子射出B.x軸上(a,(2+)a]范圍有粒子射出C.y軸上[0,a]可范圍有粒子射出D.y軸上[a,2a]范圍有粒子射出【答案】B【詳解】粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為由幾何關(guān)系可知,打到x軸上距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的粒子到O點(diǎn)的距離垂直x軸向下射出的粒子到達(dá)x軸時(shí)軌跡與x軸相切,切點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)的距離最近即x軸上(a,(2+)a]范圍有粒子射出;垂直x軸向下射出的粒子軌跡與y軸相切,剛能到達(dá)y軸,其它的粒子都不能到達(dá)y軸,則選項(xiàng)B正確,ACD錯(cuò)誤。故選B。4.(多選)(2023春·云南臨滄·高二??计谀┤鐖D所示,三角形OCA存在磁場,C點(diǎn)坐標(biāo)為(4L,3L),M點(diǎn)為OC的中點(diǎn),質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子從C點(diǎn)以沿y軸負(fù)方向射入磁場中,速度大小為,不計(jì)粒子所受重力,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場區(qū)域相切時(shí)認(rèn)為粒子能再次進(jìn)入磁場,則()A.粒子能到達(dá)M點(diǎn),三角形OCA中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B.粒子能到達(dá)M點(diǎn),三角形OCA中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小C.粒子不會到達(dá)x軸下方,三角形OCA中磁感應(yīng)強(qiáng)度可能為D.粒子不會到達(dá)x軸下方,三角形OCA中磁感應(yīng)強(qiáng)度可能為【答案】AD【詳解】AB.如圖所示,若粒子由區(qū)域Ⅱ能到達(dá)點(diǎn),則,得由幾何關(guān)系可得解得,選項(xiàng)A正確、B錯(cuò)誤.CD.粒子速度一定的情況下,磁場強(qiáng)度越小,軌跡半徑越大,當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與軸相切時(shí),恰好能進(jìn)入Ⅰ區(qū)域,此時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)半徑粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng),洛倫茲力提供向心力,由牛頓第二定律得,已知,解得,若粒子不會到達(dá)軸下方,則取,選項(xiàng)C錯(cuò)誤、D正確.故選AD。5.(多選)一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外,其邊界如圖中虛線所示,其中ab=l,射線bc足夠長,abc=135°,其他方向磁場的范圍足夠大。一束質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子,在紙面內(nèi)從a點(diǎn)垂直于ab射入磁場,這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用,以下說法正確的是(

)A.從ab邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都相等B.從bc邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都相等C.所有粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間都相等D.粒子在磁場中最長運(yùn)動(dòng)時(shí)間約為【答案】AD【詳解】A.畫出帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)分析圖,如圖1所示。當(dāng)粒子都從ab邊射出,則都是半周,時(shí)間都相等,A正確;BC.當(dāng)粒子都從bc邊射出,則速度越大,軌道半徑越大,圓心角越大,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長,BC錯(cuò)誤;D.當(dāng)粒子的速度足夠大,半徑足夠大時(shí),l遠(yuǎn)小于r,運(yùn)動(dòng)情況可簡化為如圖2所示情況,這時(shí)圓心角大小為,可得,,D正確。故選AD。6.(多選)如圖所示,兩方向相反,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場被邊長為L的等邊三角形ABC邊界分開,三角形內(nèi)磁場方向垂直紙面向里,三角形頂點(diǎn)A處由一質(zhì)子源,能沿∠BAC的角平分線發(fā)射速度不同的質(zhì)子(質(zhì)子重力不計(jì)),所有質(zhì)子均能通過C點(diǎn),質(zhì)子比荷,則質(zhì)子的速度可能為()A. B. C. D.【答案】ABD【詳解】質(zhì)子帶正電,且經(jīng)過點(diǎn),其可能的軌跡如圖所示所有圓弧所對圓心角均為,所以質(zhì)子運(yùn)行半徑為,2,3,…)質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得解得,2,3,…),故ABD正確,C錯(cuò)誤。故選ABD。7.如圖所示,半徑為r的圓形空間內(nèi),存在著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,一個(gè)帶電粒子(不計(jì)重力),從A點(diǎn)以速度v0垂直磁場方向射入磁場中,并從B點(diǎn)射出,。(1)在圖中作出該帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心O1的位置;(2)求該粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑;(3)求該粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。【答案】(1)見解析;(2);(3)【詳解】(1)(2)由圖可知,粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為,則粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為(3)轉(zhuǎn)過的弧長為,則運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間8.真空中有一勻強(qiáng)磁場,磁場邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面,磁場的方向與圓柱軸線平行,其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場。已知電子質(zhì)量為m,電荷量為e,忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi),磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為多少?!敬鸢浮俊驹斀狻侩娮釉诖艌鲋凶鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng),由洛倫茲力提供心力,則磁感應(yīng)強(qiáng)度與圓周運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)系為即運(yùn)動(dòng)軌跡半徑越大,磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度越小。令電子運(yùn)動(dòng)軌跡最大的半徑為,為了使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi),其最大半徑的運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)線圓相切,如圖所示A點(diǎn)為電子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心,電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場,由左手定則可得,,為直角三角形,則由幾何關(guān)系可得解得,,解得磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值9.(2021秋·江蘇無錫·高二統(tǒng)考期末)如圖所示,平行的N、M、P為兩勻強(qiáng)磁場區(qū)域的邊界,N與M、M與P間距分別為l1、l2,兩磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1和B2,磁場方向均垂直紙面向里?,F(xiàn)有電荷量為+q、質(zhì)量為m的帶電粒子射入磁場,不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用。(1)若有大量該種粒子以大小為v1、方向沿紙面各個(gè)方向的速度從Q點(diǎn)射入磁場,粒子恰好不進(jìn)入Ⅱ區(qū)域,求粒子速度v1的大??;(2)用陰影畫出(1)中粒子在磁場Ⅰ中所能到達(dá)的區(qū)域,并求出該區(qū)域的面積;(3)若有一個(gè)粒子從Q點(diǎn)以速度v2垂直于邊界N及磁場方向射入磁場,粒子能穿過兩個(gè)磁場區(qū)域,求v2的最小值。【答案】(1)(2)見解析;(3)【詳解】(1)設(shè)粒子速度大小為v0時(shí)恰好能進(jìn)入Ⅱ磁場,則進(jìn)入Ⅱ磁場時(shí)速度恰好沿M邊界,若有大量該種粒子以大小為v1、方向沿紙面各個(gè)方向的速度從Q點(diǎn)射入磁場,粒子恰好不進(jìn)入Ⅱ區(qū)域,根據(jù)幾何關(guān)系可知,半徑,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有,解得(2)粒子在磁場中所能到達(dá)的區(qū)域如下圖所示的陰影部分面積(3)粒子速度為v2時(shí)在磁場II中的軌跡恰好與邊界P相切,軌跡如下圖所示根據(jù)洛倫茲力提供向心力有可得,由幾何關(guān)系,則有,粒子在磁場II中運(yùn)動(dòng),則有R2-R2sinθ=l2,解得10.如圖甲所示,M、N為豎直放置彼此平行的兩塊平板,板間距離為d,兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′正對,在兩板間有垂直于紙面方向的磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示。有一群正離子在t=0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場。已知正離子質(zhì)量為m、帶電荷量為q,正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T0,不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響,不計(jì)離子所受重力。求:(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大??;(2)要使正離子從O′垂直于N板射出磁場,正離子射入磁場時(shí)的速度v0的可能值。【答案】(1);(2)(n=1,2,3,…)【詳解】(1)設(shè)垂直于紙面向里的磁場方向?yàn)檎较颉Ux子射入磁場,洛倫茲力提供向心力,則正離子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期聯(lián)立以上可得磁感應(yīng)強(qiáng)度(2)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場,正離子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示兩板之間正離子只運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期T0時(shí),有當(dāng)兩板之間正離子運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期nT0時(shí),有(n=1,2,3,…)聯(lián)立解得正離子的速度的可能值為(n=1,2,3,…)【能力提升】1.1.(2023·重慶·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)如圖所示,平面的一、二、三象限內(nèi)存在垂直紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的勻強(qiáng)磁場,ON為處于y軸負(fù)方向的彈性絕緣薄擋板,長度為9m,M點(diǎn)為x軸正方向上一點(diǎn),現(xiàn)有一個(gè)比荷大小為,可視為質(zhì)點(diǎn)帶負(fù)電的微粒(重力不計(jì))從擋板下端N處小孔以不同的速度沿x軸負(fù)方向射入磁場,若與擋板相碰就以原速率彈回,且碰撞時(shí)間不計(jì),碰撞時(shí)電荷量不變,微粒最后都能經(jīng)過M點(diǎn),則微粒射入的速度大小可能是()A. B.C. D.【答案】C【詳解】由題意,粒子運(yùn)動(dòng)的圓心的位置一定在y軸上,所以粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r一定要大于等于3m,而,ON=9m<3r所以粒子最多與擋板ON碰撞一次,碰撞后,第二個(gè)圓心的位置在O點(diǎn)的上方,也可能粒子與擋板ON沒有碰撞,直接過M點(diǎn)。由洛倫茲力提供向心力,解得若小球與擋板ON碰撞一次,則軌跡可能如圖1設(shè)OO1=s,由幾何關(guān)系得,r2=OM2+s2=9+s2,3r-9=s,聯(lián)立解得r1=3m,r2代入可解的速度分別為v1=3m/s,v2若小球沒有與擋板ON碰撞,則軌跡如圖2,設(shè)OO2=x,由幾何關(guān)系得r32=OM2+x2=9+x2,x=9-r3聯(lián)立解得r3=5m,代入可解的速度分別為v3=5m/s,故選C。2.(2021·湖北·模擬預(yù)測)如圖所示,邊長為L的等邊三角形區(qū)域ACD內(nèi)、外的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向分別垂直紙面向里、向外。三角形頂點(diǎn)A處有一質(zhì)子源,能沿∠A的角平分線發(fā)射速度大小不等、方向相同的質(zhì)子(質(zhì)子重力不計(jì)、質(zhì)子間的相互作用可忽略),所有質(zhì)子均能通過D點(diǎn),已知質(zhì)子的比荷,則質(zhì)子的速度不可能為()A. B. C. D.【答案】C【詳解】質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,由幾何關(guān)系可得由洛倫茲力提供向心力,則有聯(lián)立解得,所以ABD正確,不符合題意;C錯(cuò)誤,符合題意;故選C。3.(多選)(2022·安徽宣城·安徽省宣城市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測)如圖所示,等腰梯形abcd區(qū)域(包含邊界)存在勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直紙面向里,邊長,一質(zhì)量為m、帶電量為-q(q>0)的粒子從a點(diǎn)沿著ad方向射入磁場中,粒子僅在洛倫茲力作用下運(yùn)動(dòng),為使粒子不能經(jīng)過bc邊,粒子的速度可能為(??)A. B. C. D.【答案】AC【分析】找到臨界條件,根據(jù)幾何關(guān)系求解臨界半徑,在根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解臨界速度?!驹斀狻繛槭沽W硬荒芙?jīng)過邊,則粒子可以從ab邊或cd邊出磁場,其臨界點(diǎn)為b、c,其幾何關(guān)系如圖所示當(dāng)粒子過b點(diǎn)時(shí),起做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在O1點(diǎn),根據(jù)幾何關(guān)系可知?jiǎng)t為使粒子從ab邊出磁場,其運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)小于r1,根據(jù)牛頓第二定律可知,解得,當(dāng)粒子過c點(diǎn)時(shí),起做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在O2點(diǎn),根據(jù)幾何關(guān)系可知?jiǎng)t為使粒子從cd邊出磁場,其運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)大于r2,根據(jù)牛頓第二定律可知,解得故選AC。4.(多選)(2021·陜西西安·??寄M預(yù)測)邊長為a的等邊三角形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,一束質(zhì)量為m電荷量為的帶電粒子(不計(jì)重力)從邊的中點(diǎn)沿平行邊的方向以不同的速率射入磁場區(qū)域,則()A.從邊射出的粒子的最大速率為B.從邊射出的粒子的最大速率為C.能從邊射出的粒子最小速率為D.能從邊射出的粒子最小速率為【答案】AD【詳解】AB.如圖所示,當(dāng)粒子恰好從C點(diǎn)射出時(shí),軌道半徑最大,速率最大,圓心為O1,由幾何關(guān)系可知,軌道半徑,由牛頓第二定律可得聯(lián)立解得,,A正確,B錯(cuò)誤;CD.當(dāng)粒子的軌跡恰好與BC相切時(shí),半徑最小,速率最小,圓心為O2,由幾何關(guān)系可知,軌道半徑由牛頓第二定律可得,,聯(lián)立解得,,C錯(cuò)誤,D正確。故選AD。5.(多選)(2020·山西太原·太原五中??级#┤鐖D所示,在直角三角形ABC內(nèi)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(圖中未畫出),AB邊長度為d,?,F(xiàn)垂直AB邊射入一束質(zhì)量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v的帶正電粒子。已知垂直AC邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t0,而運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(不計(jì)重力),則下列說法中正確的是()A.粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為4t0B.該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為C.粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為D.粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度大小為【答案】ABC【詳解】A.根據(jù)題意垂直邊進(jìn)入,垂直邊飛出,經(jīng)過四分之一個(gè)周期,即,解得,A正確;B.洛倫茲力提供向心力,解得粒子運(yùn)動(dòng)的周期,,解得磁感應(yīng)強(qiáng)度,,B正確;C.粒子與邊相切,運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長,滿足,在磁場中轉(zhuǎn)過圓心角,如圖根據(jù)幾何關(guān)系可知,,解得,C正確;D.根據(jù)可知,,D錯(cuò)誤。故選ABC。6.(多選)(2022·全國·模擬預(yù)測)據(jù)有關(guān)資料介紹,受控核聚變裝置中有極高的溫度,因而帶電粒子將沒有通常意義上的“容器”可裝,而是由磁場約束帶電粒子運(yùn)動(dòng),使之束縛在某個(gè)區(qū)域內(nèi)。如圖所示,環(huán)狀磁場的內(nèi)半徑為R1,外半徑為R2,被束縛的帶電粒子的比荷為k,中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度,速度大小為v。中空區(qū)域中的帶電粒子都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在半徑為R2的區(qū)域內(nèi),則環(huán)狀區(qū)域內(nèi)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可能是()A. B. C. D.【答案】AC【詳解】由題意可知,粒子的比荷為k,要使所有的粒子都不能穿出磁場,與內(nèi)圓相切的方向進(jìn)入磁場的粒子在磁場運(yùn)動(dòng)的軌跡剛好與外圓相切,運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,由幾何知識可知,粒子最大軌道半徑粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng),洛倫茲力提供向心力,由牛頓第二定律得,解得,要使粒子不離開磁場,由于R1<R2,則,,故AC正確,BD錯(cuò)誤。故選AC。7.(多選)(2023·湖北荊州·荊州中學(xué)校考一模)如圖所示,一粒子源S可向外發(fā)射質(zhì)量為m,電荷量為q帶正電的粒子,不計(jì)粒子重力,空間充滿一水平方向的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度方向如圖所示,S與M在同一水平線上,某時(shí)刻,從粒子源發(fā)射一束粒子,速度大小為v,方向與水平方向夾角為θ,SM與v方向在同一豎直面內(nèi),經(jīng)時(shí)間t,粒子到達(dá)N處,已知N與S、M在同一水平面上,且SM長度為L,NM與SM垂直,勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可能是(

)A. B. C. D.【答案】AC【詳解】帶電粒子與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向成一定角度進(jìn)入磁場,它的運(yùn)動(dòng)是沿磁場方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)與垂直于磁場方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng),由等時(shí)性有而,T圓=,聯(lián)立兩式得,B=,顯然當(dāng)n=2時(shí),B=;或者,當(dāng)n=1時(shí),,所以選項(xiàng)AC正確,選項(xiàng)BD錯(cuò)誤.故選AC.點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵點(diǎn)是帶電粒子速度方向與磁場方向不垂直而是成一定夾角,所以帶電粒子的運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng),根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性和等時(shí)性,以及粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式(與粒子本身和磁場有關(guān)),聯(lián)立就能求得磁感應(yīng)強(qiáng)度大小,當(dāng)然要考慮多解情況.8.(2023·吉林松原·松原市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)??既#┤鐖D所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一直角三角形,其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0),(0,d),(d,0),三角形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,x軸下方有沿著y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場,電場強(qiáng)度大小為E。一質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子從y軸上的某點(diǎn)M由靜止釋放,粒子第一次進(jìn)入磁場后恰好不能從直角三角形的斜邊射出,不計(jì)粒子重力。(1)求M點(diǎn)到O點(diǎn)的距離;(2)改變粒子在y軸上的釋放點(diǎn),使粒子由N點(diǎn)靜止釋放后能沿垂直于直角三角形斜邊的方向射出磁場,求N點(diǎn)到O點(diǎn)的距離;(3)在(2)過程中,求粒子從N點(diǎn)由靜止釋放到射出磁場的運(yùn)動(dòng)時(shí)間?!敬鸢浮浚?);(2)(n=0,1,2…);(3)(n=0,1,2,…)【詳解】(1)設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R0,由幾何關(guān)系可知,解得由牛頓第二定律得,設(shè)M點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為y0,由動(dòng)能定理得,,解得(2)要使粒子由N點(diǎn)靜止釋放后能沿垂直于斜邊的方向射出磁場,則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑R滿足:由牛頓第二定律得,設(shè)N點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為y,由動(dòng)能定理有,,解得(n=0,1,2…)(3)設(shè)粒子在電場中的加速度為a,則,qE=ma設(shè)粒子在電場中每單程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t0,則粒子在電場中總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1=(2n+1)t0(n=0,1,2,…)解得,粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期粒子在磁場中總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間(n=0,1,2,……)解得(n=0,1,2,…)粒子從N點(diǎn)由靜止釋放到射出磁場運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間(n=0,1,2,……)9.(2023·全國·模擬預(yù)測)如圖所示直角坐標(biāo)系中,在y軸和之間以x軸為邊界存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ、Ⅱ,磁場寬度為d,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向垂直于紙面。一粒子加速器放置在y軸上,其出射口坐標(biāo)為且,其加速電壓可調(diào)。初速度為0、質(zhì)量為m、電荷量為的粒子經(jīng)加速器加速后平行于x軸射入?yún)^(qū)域I,不計(jì)粒子重力。(1)若,調(diào)節(jié)加速電壓,粒子恰好從O點(diǎn)射出磁場,求加速電壓的大小U;(2)若,粒子僅經(jīng)過x軸一次,然后垂直于從區(qū)域Ⅱ射出,求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t;(3)若粒子以速度射入磁場,最終垂直于射出,求y滿足的條件?!敬鸢浮?1);(2);(3)或【詳解】(1)粒子恰好從O點(diǎn)射出磁場,故在磁場Ⅰ中的軌跡為半圓,又故半徑,粒子在加速過程滿足在磁場Ⅰ中偏轉(zhuǎn)過程滿足,聯(lián)立可解得。(2)粒子僅經(jīng)過x軸一次,然后垂直于從區(qū)域Ⅱ射出,軌跡如圖所示粒子圓周運(yùn)動(dòng)半徑,兩個(gè)90°圓弧,故在磁場中的總時(shí)間(3)若粒子以速度射入磁場,由可得,軌跡如圖所示由幾何關(guān)系可得,代入數(shù)據(jù)可解得或,考慮到當(dāng)y<d時(shí),粒子可能多次穿過x軸,故y應(yīng)滿足的條件為或。10.(2023·陜西西安·統(tǒng)考三模)如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,第一象限內(nèi)有沿y軸負(fù)向的勻強(qiáng)電場,場強(qiáng)大小為E,第四象限內(nèi)有垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.現(xiàn)有一正粒子從y軸上坐標(biāo)為(0,h)的P點(diǎn),沿x軸正向射入第一象限,能通過x軸上坐標(biāo)為(7h,0)的Q點(diǎn).已知粒子的比荷滿足關(guān)系:,不計(jì)粒子重力,求粒子在P點(diǎn)入射速度的所有可能值(用E,B表示).【答案】【詳解】設(shè)粒子入射的速度為v0,粒子從P點(diǎn)到達(dá)x軸上a點(diǎn),歷時(shí)t,水平位移x1,由粒子做平拋運(yùn)動(dòng),有,,x1=v0t到達(dá)a點(diǎn)時(shí)豎直速度大小為到達(dá)a點(diǎn)速度大小為v,到達(dá)a點(diǎn)時(shí)速度v與x軸正向夾角為θ;從a點(diǎn)經(jīng)磁場做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng),回到x軸上b點(diǎn),b、a間的水平距離為x2,如圖,有

,要粒子通過x軸上坐標(biāo)為(7h,0)的Q點(diǎn),需滿足,,解得①若通過Q點(diǎn)速度方向?yàn)橛蚁?,則需滿足,n=1,2,3,……解得當(dāng)n=1時(shí),當(dāng)n=2時(shí),②若通過Q點(diǎn)速度方向?yàn)橛疑?,則需滿足:n=1,2,3,……解得當(dāng)n=1時(shí),當(dāng)n=2時(shí),綜上所述,粒子入射速度有4個(gè)值,分別為:,,,點(diǎn)睛:帶電粒子在組合場中運(yùn)動(dòng)的問題,關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖,結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和圓周運(yùn)動(dòng)的知識解答.【真題感知】1.(全國·高考真題)直線OM和直線ON之間的夾角為30°,如圖所示,直線OM上方存在勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外。一帶電粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)。粒子沿紙面以大小為v的速度從OM上的某點(diǎn)向左上方射入磁場,速度與OM成30°角。已知該粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn),并從OM上另一點(diǎn)射出磁場。不計(jì)重力。粒子離開磁場的出射點(diǎn)到兩直線交點(diǎn)O的距離為()A. B. C. D.【答案】D【詳解】帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為軌跡與ON相切,畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示,由幾何知識得CO′D為一直線,解得故選D。2.(2020·全國·統(tǒng)考高考真題)一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外,其邊界如圖中虛線所示,為半圓,ac、bd與直徑ab共線,ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子,在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場,這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子,其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()A. B. C. D.【答案】C【詳解】粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),可得粒子在磁場中的周期粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度無關(guān),軌跡對應(yīng)的圓心角越大,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長;過點(diǎn)做半圓的切線交于點(diǎn),如圖所示由圖可知,粒子從點(diǎn)離開時(shí),軌跡對應(yīng)的

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