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結(jié)構(gòu)力學(xué)
structuralMechanics結(jié)構(gòu)力學(xué)
structuralMechanic第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計(jì)算(12學(xué)時(shí))第5章虛功原理與結(jié)構(gòu)§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移§5-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式§5-3荷載作用下的位移計(jì)算§5-4荷載作用下的位移計(jì)算舉例§5-5圖乘法§5-6溫度作用時(shí)的位移計(jì)算§5-8變形體的虛功原理§5-9互等定理§5-10小結(jié)第5章
虛功原理與結(jié)構(gòu)位移計(jì)算§5-7用求解器進(jìn)行位移計(jì)算(略)§5-11思考與討論§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移§5-2結(jié)構(gòu)位移§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述1.計(jì)算位移的目的:(1)驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度;在工程上:吊車梁允許的撓度<1/600跨度;高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。(2)分析超靜定結(jié)構(gòu),動(dòng)力計(jì)算和穩(wěn)定計(jì)算。(3)施工要求為什么要計(jì)算位移?§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述為2、位移產(chǎn)生的主要原因(1)荷載作用(2)溫度變化和材料脹縮(3)支座沉降和制造誤差剛體體系位移,無(wú)應(yīng)變變形體體系位移,有應(yīng)變3、位移與變形由于上述三種因素均可使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移,但其內(nèi)部不一定有變形。2、位移產(chǎn)生的主要原因剛體體系位移,無(wú)應(yīng)變變形體體系位移,有A點(diǎn)線位移A點(diǎn)水平位移A點(diǎn)豎向位移A截面轉(zhuǎn)角位移角位移線位移APA點(diǎn)線位移A點(diǎn)水平位移A點(diǎn)豎向位移A截面轉(zhuǎn)角位移角位移線位移以上都是絕對(duì)位移以上都是相對(duì)位移以上都是絕對(duì)位移以上都是相對(duì)位移(3)理想連接(IdealConstraint)。疊加原理適用(principleofsuperposition)(1)線彈性(LinearElastic),(2)小變形(SmallDeformation),單位荷載法
(Dummy-UnitLoadMethod)本章位移計(jì)算的假定本章計(jì)算方法(3)理想連接(IdealConstraint)。疊加原理剛體體系位移的求解虛力原理—虛設(shè)力系求位移圖(a)中的靜定梁,支座A向上移動(dòng)已知距離c1,擬求B點(diǎn)的豎向位移△。虛設(shè)力系如圖(b)虛功方程為求得剛體體系位移的求解圖(a)中的靜定梁,支座A向上移動(dòng)已知距支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算已知A處的位移,求:(1)C點(diǎn)的豎向位移ΔC;(2)桿CD的轉(zhuǎn)角β。ABCDABCD1ABCD1真實(shí)位移虛設(shè)力系虛設(shè)力系支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算ABCDABCD1ABCD1真實(shí)設(shè)支座K有給定位移cK,靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算步驟為:(1)沿?cái)M求位移△方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載,求出相應(yīng)的(2)令虛設(shè)力系在實(shí)際位移上作虛功,寫(xiě)出虛功方程(3)由虛功方程解出擬求位移若△為正值,表示位移的實(shí)際方向與所設(shè)單位荷載方向一致。虛設(shè)K處的反力與位移方向一致。設(shè)支座K有給定位移cK,靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算步驟為:(1)沿?cái)M例1:求CBAP=1解:構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)CBAll例1:求CBAP=1解:構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)CBAll解:構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)()例2:已知l=12m,h=8m,,求解:構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)()例2:已知l=12制造誤差引起的位移計(jì)算每個(gè)上弦桿加長(zhǎng)8mm,求由此引起的A點(diǎn)豎向位移.制造誤差引起的位移計(jì)算每個(gè)上弦桿加長(zhǎng)8mm,求§5-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式
(變形體系的位移計(jì)算)BABA1AB
虛功方程:
例1、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)角,試求A點(diǎn)在i-i方向的位移Δm一、局部變形時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算力狀態(tài)位移狀態(tài)
§5-2結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式
(變形體系的位移計(jì)算)BA例2、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對(duì)剪位移,試求A點(diǎn)在i-i方向的位移ΔQ。BA
BA1
A力狀態(tài)位移狀態(tài)例2、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生BABA1A力狀態(tài)
當(dāng)截面B同時(shí)產(chǎn)生三種相對(duì)位移時(shí),在i-i方向所產(chǎn)生的位移,即是三者的疊加,有:ds
dsdsRds若B點(diǎn)附近的微段ds有局部變形當(dāng)截面B同時(shí)產(chǎn)生三種相對(duì)位移時(shí),在i-i方向所產(chǎn)生的位移
二、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式
一根桿件各個(gè)微段變形引起的位移總和:如果結(jié)構(gòu)由多個(gè)桿件組成,則整個(gè)結(jié)構(gòu)變形引起某點(diǎn)的位移為:若結(jié)構(gòu)的支座還有位移,則總的位移為:若B點(diǎn)附近的微段ds趨近于零,則變形體位移問(wèn)題轉(zhuǎn)化為剛體位移問(wèn)題二、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式一根桿件各個(gè)微段變形引起的位適用范圍與特點(diǎn):2)形式上是虛功方程,實(shí)質(zhì)是幾何方程。關(guān)于公式普遍性的討論:(1)變形類型:軸向變形、剪切變形、彎曲變形。(2)變形原因:荷載與非荷載。(3)結(jié)構(gòu)類型:各種桿件結(jié)構(gòu)。(4)材料種類:各種變形固體材料。1)適于小變形,可用疊加原理。適用范圍與特點(diǎn):2)形式上是虛功方程,實(shí)質(zhì)是幾何方程。關(guān)于§5-3
荷載作用下的位移計(jì)算研究對(duì)象:靜定結(jié)構(gòu)、線性彈性材料。重點(diǎn)在于解決荷載作用下應(yīng)變的表達(dá)式。一、計(jì)算步驟(1)在荷載作用下建立的方程,可經(jīng)由荷載內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)變過(guò)程推導(dǎo)應(yīng)變表達(dá)式。(2)由上面的內(nèi)力計(jì)算應(yīng)變,其表達(dá)式由材料力學(xué)知k--為截面形狀系數(shù)1.2(3)荷載作用下的位移計(jì)算公式§5-3荷載作用下的位移計(jì)算研究對(duì)象:靜定結(jié)構(gòu)、線性彈性二、各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式(1)梁與剛架(2)桁架(3)組合結(jié)構(gòu)(4)拱當(dāng)壓力線和拱軸線相近時(shí),則需要考慮彎矩和軸力當(dāng)壓力線和拱軸線相距較遠(yuǎn)時(shí),則只考慮彎矩二、各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式(1)梁與剛架(2)桁架(3)組合同一結(jié)構(gòu),兩種狀態(tài),力狀態(tài)和位移狀態(tài)第一狀態(tài)的外力(單位力狀態(tài))×第二狀態(tài)的位移(真實(shí)狀態(tài))=========第一狀態(tài)的內(nèi)力(單位力狀態(tài))×第二狀態(tài)的應(yīng)變(真實(shí)狀態(tài))參照5-8節(jié)來(lái)理解同一結(jié)構(gòu),兩種狀態(tài),力狀態(tài)和位移狀態(tài)第一狀態(tài)的外力(單位力狀例1:已知圖示梁的E、G,求A點(diǎn)的豎向位移。解:構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài).l
對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿,剪切變形對(duì)位移的貢獻(xiàn)與彎曲變形相比可略去不計(jì).位移方向是如何確定的?例1:已知圖示梁的E、G,解:構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài).l1)求A點(diǎn)水平位移所加單位廣義力與所求廣義位移相對(duì)應(yīng)單位力狀態(tài)的確定2)求A截面轉(zhuǎn)角3)求AB兩點(diǎn)相對(duì)水平位移4)求AB兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角1)求A點(diǎn)水平位移所加單位廣義力與所求廣義位移相AB1/l1/l單位荷載ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔAVΔBVABFP1AB求ΔAV-ΔBV1AB11求ΔAV+ΔBVΔAVΔBV(A、B截面豎向位移之和)(A、B截面相對(duì)豎向位移)原結(jié)構(gòu)AB1/l1/l單位荷載ABlΔAVΔBV求+)/l=(ΔA廣義位移的計(jì)算q求ΔφΔφ11單位荷載廣義位移的計(jì)算q求ΔφΔφ11單位荷載求ΔDVPPP4m×3=12m3mABDC5P-8PP=15/3-4/30000000000-1-3P5-4荷載作用下的位移計(jì)算舉例求ΔDVPPP4m×3=12m3mABDC5P-8PP=15PP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P計(jì)算屋架頂點(diǎn)的豎向位移,層高l/12。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGBPP1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51ADDCDE材料桿件lA鋼筋砼鋼CEAEEG1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ABCDEFGADDCDE材料桿件lA鋼筋砼鋼CEAEEG1111.51.例5-5圖(a)所示為一等截面圓弧形曲桿AB,截面為矩形,圓弧
AB的圓心角為α,半徑為R。試求B點(diǎn)的豎向位移△。解:虛設(shè)荷載如圖(b)圖(a)中圖(b)中設(shè)h/R=1/3,E/G=8/3,I/A=h2/12例5-5圖(a)所示為一等截面圓弧形曲桿AB,截面為矩形
5-5圖乘法剛架與梁的位移計(jì)算公式為:在桿件數(shù)量多、荷載復(fù)雜的情況下,用積分法計(jì)算位移不方便,可用圖乘法計(jì)算位移,簡(jiǎn)單方便。5-5圖乘法剛架與梁的位移計(jì)算公式為:在桿件一、圖乘法(對(duì)于等截面桿)(對(duì)于直桿)圖乘法求位移公式為:圖乘法的適用條件是什么?圖乘法是Vereshagin于1925年提出的,他當(dāng)時(shí)為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的學(xué)生。一、圖乘法(對(duì)于等(對(duì)于直桿)圖乘法求位移公式為:圖乘法的圖靜定結(jié)構(gòu)的受力分析課件幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心的位置:
labh
h
h
hh
h
頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)拋物線幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心的位置:
labh
h
h
圖(
)圖BAq
解:圖()圖BAq
解:應(yīng)用圖乘法時(shí)的幾個(gè)具體問(wèn)題①如果兩個(gè)圖形都是直線圖形,則y0可取自任一個(gè)圖形;②如果直線圖形是由幾段直線組成的折線,則應(yīng)分段圖乘;③當(dāng)同一桿件的各桿段EI不相等時(shí),也應(yīng)分段圖乘;④如果圖形復(fù)雜,需分解為簡(jiǎn)單圖形。應(yīng)用圖乘法時(shí)的幾個(gè)具體問(wèn)題PPaaa例:求圖示梁中點(diǎn)的撓度。
MPP=1
?1一個(gè)圖形為曲線,另一個(gè)圖形為幾條直線段組成,則應(yīng)分開(kāi)考慮,或兩個(gè)圖形均為直線段,也應(yīng)分開(kāi)PPaaa例:求圖示梁中點(diǎn)的撓度。
MPP=1
?1P
C例:求圖示梁C點(diǎn)的撓度。MPPlC
l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw
?2若兩個(gè)彎矩圖中有一個(gè)其一部分為零,則可分為兩段,分別圖乘后取其代數(shù)和P
C例:求圖示梁C點(diǎn)的撓度。MPPlC
l6EIPl3
若兩彎矩圖中某段都為梯形,圖乘時(shí)可不必求梯形的形心,而將梯形分為兩個(gè)三角形,分別相乘后取其代數(shù)和,若兩彎矩圖均有正負(fù)兩部分,則將b、c帶入負(fù)值abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdac
+++=226??dc?è?+323bl+2dc???è?+332
2MiMk3若兩彎矩圖中某段都為梯形,圖乘時(shí)可不必求梯形的形心,左圖也可分為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形,進(jìn)行圖乘運(yùn)算。ABCDabMPcdMlC1yC1yC2C2C1abC2MP1MP2⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2)yC2]其中:yC1=2c/3-d/3yC2=2d/3-c/3⊿=l6EI(2ac+2bd-ab-bc)左圖也可分為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形,進(jìn)行圖乘運(yùn)算。ABCDabMPc各種直線形乘直線形,都可以用該公式處理。如豎標(biāo)在基線同側(cè)乘積取正,否則取負(fù)。S=9/6×(2×6×2+2×4×3+6×3+4×2)=11132649=labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=一般形式的二次拋物線圖乘,均因均布荷載而引起,圖形的面積可分解各種直線形乘直線形,都可以用該公式處理。如豎標(biāo)在基線同側(cè)乘積例1:試求圖(a)所示剛架結(jié)點(diǎn)B的水平位移△。各桿截面為矩形bh,慣性矩相等,只考慮彎曲變形。解:作MP圖和圖,如圖(b)、(c)所示MP圖的面積分為A1、A2、A3三塊計(jì)算圖上相應(yīng)的標(biāo)矩為求得例1:試求圖(a)所示剛架結(jié)點(diǎn)B的水平位移△。各桿截面為矩形試分析例所示剛架軸向變形對(duì)B點(diǎn)水平位移的影響。解:作FNP圖和圖如圖(a)、(b)所示可得h/l=1/10時(shí)試分析例所示剛架軸向變形對(duì)B點(diǎn)水平位移的影響。解:作FNP圖例2:已知
E、I、A為常數(shù),求。ABCPaD例2:已知E、I、A為常數(shù),求解:作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖ABCPaDABC1aD若把二力桿換成彈簧,該如何計(jì)算?解:作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖ABCPaDABC1aD若把例3:B支座處為剛度k的彈簧,該如何計(jì)算C點(diǎn)豎向位移?ABCk=1PABCk有彈簧支座的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式為:兩點(diǎn)說(shuō)明:1、彈簧處的支座反力和彈簧位移方向相反;2、含有彈簧支座的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算,簡(jiǎn)單情況可以直接采用幾何關(guān)系疊加,復(fù)雜情況利用上述公式計(jì)算。例3:B支座處為剛度k的彈簧,該如何計(jì)算C點(diǎn)豎向位移?ABC解:作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖例4:求A點(diǎn)豎向位移,EI=常數(shù)。MPlllAkk解:作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖例4:求A點(diǎn)豎向位移,EI=例5.已知EI
為常數(shù),求C、D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移lqhqMP解:作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖例5.已知EI為常數(shù),求C、D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移
例6.已知EI
為常數(shù),求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角。解:作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqllqMP例6.已知EI為常數(shù),求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角例7.已知EI
為常數(shù),求A點(diǎn)豎向位移。解:作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖qlllqMP例7.已知EI為常數(shù),求A點(diǎn)豎向位移。作業(yè)題:求C處的豎向位移,已知:P,l,ql2,EI作業(yè)題:§5-6溫度改變時(shí)的位移計(jì)算溫度改變對(duì)靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力,變形和位移是材料自由膨脹、收縮的結(jié)果。圖示剛架的外側(cè)溫度升高t1,內(nèi)側(cè)溫度升高t2,且t2大于t1,設(shè)溫度沿截面高度方向線性分布?!?-6溫度改變時(shí)的位移計(jì)算溫度改變對(duì)靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力設(shè)溫度沿桿件截面厚度為線性分布,桿軸溫度t
0與上、下邊緣的溫差為:線膨脹系數(shù)t1t2t0hh1h2dsdθαt0dsαt1dsαt2ds距離形心軸的距離分別為h1,h2設(shè)溫度沿桿件截面厚度為線性分布,桿軸溫度t0與上、下邊緣的t1t2t0hh1h2dsdθαt0dsαt1dsαt2dst1t2t0hh1h2dsdθαt0dsαt1dsαt2ds上式中的正、負(fù)號(hào):溫度t0以升高為正,軸力以拉為正;若和使桿件向同一方向彎曲其乘積為正。上式中的正、負(fù)號(hào):溫度t0以升高為正,軸力以拉為正;若aa0
+10
+10
CP=1P=1-1aFN得則例1:試求圖(a)所示剛架C點(diǎn)的豎向位移△C。各桿截面為矩形,截面高度h=60cm,α=0.00001℃-1。aa0+10+10CP=1P=1-1aFN得則例1:試?yán)?:求圖示桁架溫度改變引起的AB桿轉(zhuǎn)角.解:構(gòu)造虛擬狀態(tài)Ni例2:求圖示桁架溫度改變引起的AB桿轉(zhuǎn)角.解:構(gòu)造虛擬狀態(tài)
§5-9互等定理1、應(yīng)用條件:
1)應(yīng)力與應(yīng)變成正比;
2)變形是微小的。即:線性小變形體系。2、分類A功的互等定理(是后三個(gè)定理的基礎(chǔ))B位移互等定理C反力互等定理D反力位移互等定理3、在同一體系,兩種狀態(tài)中,建立彼此力、位移等之間的關(guān)系§5-9互等定理1、應(yīng)用條件:線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理1.功的互等定理:方法一先加廣義力P1,后加廣義力P2。第I狀態(tài)2第Ⅱ狀態(tài)先加廣義力P2,后加廣義力P1。由W1=W2在線性變形體系中,I狀態(tài)的外力在II狀態(tài)位移上所做虛功,恒等于II狀態(tài)外力在I狀態(tài)位移上所做虛功。功的互等定理線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理1.功的互等定理:方法一先加廣義力P1方法二由虛功原理:2第II狀態(tài)第I狀態(tài)由虛功原理將和的表達(dá)式寫(xiě)出來(lái)方法二由虛功原理:2第II狀態(tài)第I狀態(tài)由虛功原理將1、若兩個(gè)力已知且相等,則得到位移互等定理;2、若力
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