引言矩陣秩的概念是由J.Sylvester于1861年引進的，它是矩陣的最重要數(shù)字特征之一。這里，我們結合“矩陣與線性方程組”的教學討論以下內(nèi)容：矩陣秩描述的線性方程組解的判定定理在解析幾何中的一個應用；矩陣秩的Sylvester不等式和Frobenius不等式中等號成立的充分必要條件。引言矩陣秩的概念是由J.Sylvester于1861年引進的1一.線性方程組解的判定定理在解析幾何中的一個應用m個方程n個未知元的線性方程組一般表示為：一.線性方程組解的判定定理在解析幾何中的一個應用m個方程n個2線性方程組(1)的矩陣表示為：其中，線性方程組(1)的矩陣表示為：其中，3線性方程組有解的判定定理

線性方程組(1)有解的充分必要條件是

這里，表示矩陣的秩。特別地，若，則線性方程組(1)有唯一解；若，則線性方程組(1)有無窮多解。線性方程組有解的判定定理線性方程組(1)有解的充分4

利用上述定理，可以簡潔刻畫一般方程表示的幾何空間中直線及平面的位置關系。

1.直線與直線的位置關系

設幾何空間中兩條直線的方程分別為利用上述定理，可以簡潔刻畫一般方程表示的幾何空間中直5

這樣，與的位置關系取決于線性方程組

解的情況。記這樣，與的位置關系取決于線性方程組解的情況。6則有如下結論：

（i）與相交

（ii）與重合

（iii）與平行

（iv）與異面則有如下結論：（i）與相交（7

2.

直線與平面的位置關系

設幾何空間中直線和平面的方程分別為

記2.直線與平面的位置關系設幾何空間中直線和平8則有如下結論：

（i）與相交

（ii）在上

（iii）與平行則有如下結論：（i）與相交（9

3.

三個平面的位置關系

設幾何空間中三個平面的方程分別為

記3.三個平面的位置關系設幾何空間中三個平面10則有如下結論：

（i）三個平面有一個公共點

（ii）三個平面有一條公共直線

（iii）三個平面平行

（iv）三個平面構成三棱柱

則有如下結論：（i）三個平面有一個公共點（i11二.矩陣秩不等式中的一些問題關于矩陣的秩,有兩個重要的不等式.

Sylvester不等式：設、、分別是、、矩陣.

Frobenius不等式：二.矩陣秩不等式中的一些問題關于矩陣的秩,有兩個重要的不等12

問題：

在這兩個不等式中等號成立的條件是什么？

即以下等式成立的條件分別是什么？

問題：

在這兩個不等式中等號成立的條件是什么？13

許多教材以習題方式給出等式①成立的充分必要條件：當且僅當齊次線性方程組與齊次線性方程組同解.

利用這一結果，可以得到等式②成立的充分必要條件：

當且僅當齊次線性方程組與齊次線性方程組同解.許多教材以習題方式給出等式①成立的充分必要條件：當且僅14對于等式③和等式④，文獻[3]、文獻[4]均做了研究，給出等式成立的充分必要條件.

文獻[3]的結論：的充分必要條件是存在矩陣和，使得.的充分必要條件是存在矩陣和，使得.其中，是的任意取定的一個滿秩分解.對于等式③和等式④，文獻[3]、文獻[4]均做了研究15

文獻[4]的結論：的充分必要條件是,對于齊次線性方程組的任一解,都存在使得.或的充分必要條件是,對于齊次方程組的任一形如的解,都存在,使得.者說,的零空間包含于的象空間,即.文獻[4]的結論：的充分必要條件是,對于齊次線性方程16

文獻[5]利用矩陣的廣義逆，分別給出等式①~等式④成立的充分必要條件.

引理1對于任意適維矩陣、、，有這里列出其主要結果：文獻[5]利用矩陣的廣義逆，分別給出等式①~等17

引理2對于任意、，有引理2對于任意、，有18

引理3設有n列，有n行，則對任意、，有引理3設有n列，有n行，則19

定理1在Sylvester不等式中，對任意、，

有為列滿秩；為行滿秩；定理1在Sylvester不等式中，對任意20

引理4對任意、，有引理4對任意、，21

定理2在Frobenius不等式中，對任意、

，有定理2在Frobenius不等式中，22參考文獻[1]陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何[M].北京:高等教育出版社,2000.[2]丘維聲.高等代數(shù)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2002.[3]胡付高.關于一類矩陣秩的恒等式注記[J].武漢科技大學學報,2004,27(3):322-323.[4]呂登峰,劉瓊等.矩陣秩的Sylvester