正多邊形和圓(原卷)正多邊形的概念

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．注意：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).題型1：正多邊形的相關(guān)概念1.下列關(guān)于正多邊形的敘述，正確的是（）A．正九邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形B．存在一個正多邊形，它的外角和為720°C．任何正多邊形都有一個外接圓D．不存在每個外角都是對應(yīng)每個內(nèi)角兩倍的正多邊形【變式1-1】已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P是劣弧上不同于點C的任意一點，則∠BPC的度數(shù)是（）A．45°B．60°C．75°D．90°【變式1-2】如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，點P在⊙O上，則∠APB等于（）A．30°B．45°C．55°D．60°正多邊形的有關(guān)計算

(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.注意：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形題型2：正多邊形與圓有關(guān)的計算-角度2.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接AC，則∠BAC的度數(shù)是（）A．45° B．38° C．36° D．30°【變式2-1】如圖，⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，點P在⊙O上（P不與A，B重合），則∠APB的度數(shù)為（）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°【變式2-2】如圖，以正六邊形ABCDEF的邊AB為邊，在形內(nèi)作正方形ABMN，連接MC．求∠BCM的大小．題型3：正多邊形與圓有關(guān)的計算-長度3.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于圓O，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距OM為（）A．2 B．23 C．3 D．【變式3-1】如圖，正六邊形與正方形有兩個頂點重合，且中心都是點O．若∠AOB是某正n邊形的一個外角，則n的值為（）A．16 B．12 C．10 D．8【變式3-2】如圖，⊙O與正六邊形OABCDE的邊OA、OE分別交于點F、G，點M為劣弧FG的中點．若FM＝22，則⊙O的半徑為（）A．2 B．6 C．22 D．2【變式3-3】如圖，正方形ABCD的外接圓為⊙O，點P在劣弧CD上（不與C點重合）．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為8，求正方形ABCD的邊長．題型4：正多邊形與圓有關(guān)的計算-面積4.如圖，已知圓O內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的邊心距n，面積S．【變式4-1】已知在正六邊形ABCDEF中，P是EF的中點，若陰影部分四邊形ABPE的面積為9，則五邊形BCDEP的面積是（）A．12 B．123 C．18 D．【變式4-2】如圖，內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH，若ΔADE的面積為10，則正八邊形ABCDEFGH的面積為.正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形.

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形.再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形.

②正六、三、十二邊形的作法.

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點.

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點.

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分…….

注意：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.題型5：作圓的正三角形、正方形、正六邊形5.尺規(guī)作圖：如圖，AD為⊙O的直徑。（1）求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF.(要求：不寫作法,保留作圖痕跡)；（2）已知連接DF，⊙O的半徑為4，求DF的長。【變式5-1】尺規(guī)作圖：如圖，AC為⊙O的直徑．（1）求作：⊙O的內(nèi)接正方形ABCD．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）當(dāng)直徑AC=4時，求這個正方形的邊長．題型6：規(guī)律性問題6.如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過第2022次旋轉(zhuǎn)后，頂點D的坐標(biāo)為．【變式6-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正六邊形OABCDE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)i個45°，得到正六邊形OAiBi?iDiEi，則正六邊形OAiBi?iDiEi（i＝4）的頂點?i的坐標(biāo)是（）A．（1，-3） B．（1，3） C．（1，﹣2） D．（2，1【變式6-2】如圖，邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點O重合，AF∥x軸，將正六邊形ABCDEF繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)n次，每次旋轉(zhuǎn)60°，當(dāng)n＝2020時，頂點A的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，23） B．（﹣2，﹣23） C．（2，﹣23） D．（2，23）題型7：正多邊形的旋轉(zhuǎn)問題7.一個適當(dāng)大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為定值的小正六邊形ABCDEF的中心O重合，且與邊AB、CD相交于G、H（如圖）.圖中陰影部分的面積記為S，三條線段GB、BC、CH的長度之和記為l，大正六邊形在繞點O旋轉(zhuǎn)過程中，下列說法正確的是（）A．S變化，l不變 B．S不變，l變化C．S變化，l變化 D．S與l均不變【變式7-1】五角星可以看成由一個四邊形旋轉(zhuǎn)若干次而生成的，則每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可以是（）A．36° B．60° C．72° D．90°【變式7-2】下列正多邊形中，繞其中心旋轉(zhuǎn)72°后，能和自身重合的是（）A．正方形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正八邊形【變式7-3】如圖，邊長為1的正五邊形ABCDE，頂點A、B在半徑為1的圓上，其它各點在圓內(nèi)，將正五邊形ABCDE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E第一次落在圓上時，則點C轉(zhuǎn)過的度數(shù)為．一、單選題1．如圖，ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形，若∠D=85°，則∠B=（）

A．85° B．95° C．105° D．115°2．半徑為a的圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是（）A．a(chǎn)2 B．2a2 C．3a3．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于于⊙O,連接BD，則∠CBD的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若它的一個外角∠DCE=70°，則∠BOD=()

A．35° B．70° C．110° D．140°5．若一個圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為r1，r2，r3，則r1：r2：r3等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：2：3 D．3：2：1二、填空題6．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點，∠C=100°，則∠BOD=7．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于點C．連接OA，OB，BC．若AB是⊙O的內(nèi)接正六邊形的一邊，則∠ABC的度數(shù)為8．一個正多邊形的每個內(nèi)角都等于140°，則它是正邊形．9．平面內(nèi)有四個點A、O、B、C，其中∠AOB=1200，∠ACB=600，AO=BO=2，則滿足題意的OC長度為整數(shù)的值可以是．三、作圖題10．如圖，已知⊙O，點A在圓上，請以A為一頂點作圓內(nèi)接正方形ABCD.（保留作圖痕跡，不寫作法）四、解答題11．一個正多邊形的每一個外角都等于36°，求這個多邊形的邊數(shù).12．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，CB=CD，∠A=100°，點E在AD上，求∠E的度數(shù).13．如圖，已知A、B、C、D是⊙O上的四點，延長DC、AB相交于點E．若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．14．如圖，有一個圓O和兩個正六邊形T1，T2．T1的6個頂點都在圓周上，T2的6條邊都和圓O相切（我們稱T1，T2分別為圓O的內(nèi)接正六邊形和外切正六邊形）．（1）設(shè)T1，T2的邊長分別為a，b，圓O的半徑為r，求r：a及r：b的值；（2）求正六邊形T1，T2的面積比S1：S2的值．15．如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠