根本極限定理第五章切比雪夫不等式與大數(shù)定律中心極限定理第五章切比雪夫不等式與大數(shù)定律第一節(jié)一、切比雪夫不等式二、大數(shù)定律①②×即引言頻率的穩(wěn)定性,用頻率代替概率的科學(xué)性.1.背景:2.內(nèi)容:用來說明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理稱為大數(shù)定律.3.刻畫:定理1:設(shè)X的數(shù)學(xué)期望方差則有或注:切比雪夫不等式常用來在E(X)和D(X)時(shí),對事件發(fā)生的概率進(jìn)行估計(jì).一、切比雪夫不等式切比雪夫例1.我校有1萬盞電燈,夜晚每一盞燈開燈的概率均為0.8,且它們開關(guān)與否相互獨(dú)立,試用切比雪夫不等式估計(jì)夜晚同時(shí)開燈7800-8200盞之間的概率.解:設(shè)X表示夜晚開燈數(shù),則又因?yàn)镋(X)=8000,D(X)=1600,那么由切比雪夫不這說明只需供給8200盞燈的電力就能以相當(dāng)大的概率保證這1萬盞燈的正常使用.等式知1.切比雪夫大數(shù)定律二、大數(shù)定律定理2:設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量具有有限的期望和方差,若存在常數(shù)C使則有即3.辛欽大數(shù)定律定理4:注:辛欽大數(shù)定律要求同分布但并不要求方差存在.設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量服從相同的分布,且那么有辛欽第五章中心極限定理第二節(jié)一、獨(dú)立同分布中心極限定理二、棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列那么當(dāng)n很大時(shí),和方差都存在,2.內(nèi)容:3.刻劃:的期望1.背景:假設(shè)一個(gè)量受到大量獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響,而每一因素在總影響中所起的作用并不大,那么這個(gè)量通常近似服從正態(tài)分布.引言設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定理1:(Levy-Lindeberg中心極限定理)一、獨(dú)立同分布的中心極限定理服從相同的分布,且則有即例2.設(shè)某食品用機(jī)器裝袋,每袋凈重的期望為100g,標(biāo)準(zhǔn)差為4g,一箱裝100袋,求一箱凈重大于10100g的概率.解:設(shè)表示第i袋食品的凈重,則獨(dú)立同分布,且而一箱凈重由獨(dú)立同分布的中心極限定理可知:所以(獨(dú)立同分布的中心極限定理的特殊形式)二、DeMoivre-Laplace中心極限定理定理2:設(shè)是n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生且那么有注:設(shè)當(dāng)n比較大時(shí),對任意的a<b有的次數(shù),拉普拉斯例3.保險(xiǎn)公司多年統(tǒng)計(jì)資料說明,因被盜理賠的用戶占20%,以X表示100個(gè)理賠用戶中因被盜理賠的個(gè)數(shù),試寫出X的概率分布,并利用拉普拉斯中心極限定理,求被盜理賠用戶大于14且不多于30戶的概率近似值.解:(1)易知那么X的分(2)n=100,p=0.2,由拉普拉斯中心極限定理得布列為內(nèi)容小結(jié)1.利用切比雪夫不等式進(jìn)行近似計(jì)算；2.切比雪夫大數(shù)定律；3.伯努利大數(shù)定律；4.辛欽大數(shù)定律；6.獨(dú)立同分布的中心極限定理；7.德莫夫-拉普拉斯中心極限定理.5.利用中心極限定理進(jìn)行近似計(jì)算；切比雪夫(1821–1894)切比雪夫,俄羅斯數(shù)學(xué)家.1821年5月生于俄國卡盧加,1894年12月卒于彼得堡.他出身于貴族家庭,左腳生來有殘疾,因而童年時(shí)代的他經(jīng)常獨(dú)坐家中,養(yǎng)成了在孤寂中思索的習(xí)慣.16歲進(jìn)莫斯科大學(xué),1841年因?方程根的計(jì)算?一文獲銀質(zhì)獎?wù)?1847年進(jìn)彼得堡大學(xué),兩年后獲博士學(xué)位,1859年中選為彼得堡科學(xué)院院士.切比雪夫一生發(fā)表了70多篇科學(xué)論文,論、概率論、函數(shù)逼近論、積分學(xué)等方面.內(nèi)容涉及數(shù)辛欽(1894–1959)辛欽,現(xiàn)代概率論的奠蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家,基者之一,1894年7月生于莫斯科,1959年11月去世.1916年畢業(yè)于莫斯科大學(xué),先后在莫斯科大學(xué)和蘇聯(lián)科學(xué)院斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所等處工作.1939年中選為蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院士,他還是俄羅斯教育科學(xué)院院士.辛欽在函數(shù)的度量理論、數(shù)論、概率論、信息論等方面都有重要的研究成果.在分析學(xué)、數(shù)論及概率論對統(tǒng)計(jì)力學(xué)的應(yīng)用方面也有重要奉獻(xiàn).拉普拉斯(1749–1827)拉普拉斯,法國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家,1749年3月生于博蒙昂諾日,1827年3月卒于巴黎.他一生在科學(xué)上的奉獻(xiàn)僅次于牛頓而居第二.拉普拉斯是天體力學(xué)的主要奠基人,是天體演化學(xué)的創(chuàng)立者之一,是分析概率論的創(chuàng)始人,是應(yīng)用數(shù)學(xué)的先軀.他發(fā)表