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【中考沖刺】2023年江蘇省揚州市中考數(shù)學(xué)模擬試卷(附答案)試卷第=page11頁,共=sectionpages33頁試卷第=page11頁,共=sectionpages66頁2023年江蘇省揚州市中考數(shù)學(xué)模擬試題學(xué)校:___________姓名:___________班級:___________考號:___________一、單選題1.的倒數(shù)是(
)A.﹣2 B. C. D.2.如圖,下列圖形中,軸對稱圖形的個數(shù)是(
)A.1 B.2 C.3 D.43.滿足-2<x≤1的數(shù)在數(shù)軸上表示為(
)A. B. C. D.4.下列說法中正確的是(
)A.一個抽獎活動的中獎率是,則抽100次獎一定會中獎10次B.了解某批燈泡的使用壽命,采取普查方式C.一組數(shù)據(jù)1、2、3、4的中位數(shù)是2.5D.若甲組數(shù)據(jù)的方差是,乙組數(shù)據(jù)的方差是,若則甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定5.將一副直角三角尺如圖放置,已知AE∥BC,則∠AFD的度數(shù)是()A.45°B.50°C.60°D.75°6.如圖,點A,B,C,D在上,∠CAD=30°,∠ACD=50°,則∠ACB=(
)A. B. C. D.7.如果圓錐的母線長為5,底面半徑為2,那么這個圓錐的側(cè)面積為(
)A. B. C. D.8.如圖,已知點是一次函數(shù)圖像上一點,過點作軸的垂線是上一點(在上方),在的右側(cè)以為斜邊作等腰直角三角形,反比例函數(shù)的圖像過點,若的面積為6,則的面積是(
)A. B.4 C.3 D.二、填空題9.函數(shù)y=–1的自變量x的取值范圍是_____.10.據(jù)霧霾天氣影響著我國北方中東部地區(qū),給人們的健康帶來嚴(yán)重的危害.為了讓人們對霧霾有所了解.?dāng)z影師張超通過顯微鏡,將空氣中細(xì)小的霾顆粒放大1000倍,發(fā)現(xiàn)這些霾顆粒平均直徑為10微米~20微米,其中20微米(1米微米)用科學(xué)記數(shù)法可表示為______米.11.因式分解:________.12.正六邊形的內(nèi)角和為___度.13.一個不透明的袋子中裝有8個大小、形狀、都一樣的小球,其中有3個紅球與5個黃球,從這8個球中任取一個球是紅球的概率是:_____.14.如圖是一個正三棱柱的三視圖,則這個正三棱柱的側(cè)面積是________.15.已知是方程的一個根,則方程的另一個根是_________.16.如圖,正方形和正方形中,點在上,,,是的中點,那么的長是________________.17.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y=x2﹣3x+2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,點D是對稱軸右側(cè)拋物線上一點,且tan∠DCB=3,則點D的坐標(biāo)為_____.18.正方形、、…按如圖放置,其中點、、…在軸正半軸上,點、、…在直線上,依此類推,點的坐標(biāo)是______.三、解答題19.計算:(1);(2).20.先化簡,再求值,其中.21.如圖,平行四邊形的對角線、,相交于點,過點且與、分別相交于點、,求證:.22.2021年,天府新區(qū)積極響應(yīng)教育部關(guān)于開展課后服務(wù)的號召,各校給學(xué)生提供了豐富多彩的課后活動.其中,某校開展了以下體育項目:足球、乒乓球、籃球和羽毛球.學(xué)生都選擇參加了其中一項活動.某調(diào)查組為了解該校選擇各項體育活動的學(xué)生人數(shù),隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并將獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,繪制出以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)統(tǒng)計圖回答問題:(1)這次活動一共調(diào)查了______名學(xué)生;(2)補全條形統(tǒng)計圖,并求選擇籃球項目的人數(shù)在扇形統(tǒng)計圖中對應(yīng)的圓心角度數(shù);(3)若學(xué)校有900人,請你估計學(xué)校選擇羽毛球項目的學(xué)生人數(shù)約是多少人?23.為積極響應(yīng)新舊動能轉(zhuǎn)換.提高公司經(jīng)濟效益.某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備,每臺設(shè)備成本價為30萬元,經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),每臺售價為40萬元時,年銷售量為600臺;每臺售價為45萬元時,年銷售量為550臺.假定該設(shè)備的年銷售量y(單位:臺)和銷售單價(單位:萬元)成一次函數(shù)關(guān)系.(1)求年銷售量與銷售單價的函數(shù)關(guān)系式;(2)根據(jù)相關(guān)規(guī)定,此設(shè)備的銷售單價不得高于70萬元,如果該公司想獲得10000萬元的年利潤.則該設(shè)備的銷售單價應(yīng)是多少萬元?24.如圖,是等腰直角三角形,,點是的中點,點是上的一個動點(點與點、不重合),矩形的頂點,分別在,上.(1)探究與的關(guān)系,并給出證明;(2)當(dāng)點滿足什么條件時,線段的長最短?(直接給出結(jié)論,不必說明理由)25.如圖,某種路燈燈柱垂直于地面,與燈桿相連.已知直線與直線的夾角是.在地面點處測得點的仰角是,點仰角是,點與點之間的距離為米.求:(1)點到地面的距離;(2)的長度.(精確到米)(參考數(shù)據(jù):)26.如圖,AB為⊙O的直徑,以AB為直角邊作RtΔABC,∠CAB=90°,斜邊BC與⊙O交于點D,過點D作⊙O的切線DE交AC于點E,DG⊥AB于點F,交⊙O于點G.(1)求證:是的中點;(2)若,,求弦的長.27.閱讀下列材料:我們定義:若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,則這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形.如正方形就是和諧四邊形.結(jié)合閱讀材料,完成下列問題:(1)下列哪個四邊形一定是和諧四邊形.A.平行四邊形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形(2)命題:“和諧四邊形一定是軸對稱圖形”是命題(填“真”或“假”).(3)如圖,等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°.若點C為平面上一點,AC為凸四邊形ABCD的和諧線,且AB=BC,請求出∠ABC的度數(shù).28.如圖,直線與x軸交于A,與y軸交于B,拋物線經(jīng)過點A,且與y軸交于點C(0,4),P為x軸上一動點,按逆時針方向作?CPE,使?CPE∽?AOB.(1)求拋物線解析式.(2)若點E落在拋物線上,求出點P的坐標(biāo).(3)若?ABE是直角三角形,直接寫出點P的坐標(biāo).答案第=page11頁,共=sectionpages22頁答案第=page2525頁,共=sectionpages2525頁參考答案:1.A【解析】【分析】直接利用倒數(shù)的定義得出答案.【詳解】解:的倒數(shù)是:-2.故選:A.【點睛】本題主要考查了倒數(shù),正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.2.B【解析】【分析】如果一個圖形沿著某條直線對折,直線兩旁的部分能夠重合,則稱這個圖形是軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸;根據(jù)軸對稱圖形的概念逐一分析即可判斷.【詳解】第一、三個圖形是軸對稱圖形,第二、四個圖形不是軸對稱圖形,故符合題意的有兩個;故選:B【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念,掌握概念是關(guān)鍵.3.B【解析】【分析】-2<x≤1表示不等式x>﹣2和不等式x≤1的公共部分。實心圓點包括該點,空心圓圈不包括該點,大于向右小于向左.即可求解.【詳解】∵x>﹣2,∴表示﹣2的點是空心點折線的方向是向右的.又∵x≤1,∴表示1的點是實心點折線的方向是向左的.∴數(shù)軸表示的解集為:;故答案為B.【點睛】此題主要考查了在數(shù)軸上表示不等式組的解集.解題的關(guān)鍵是掌握在數(shù)軸上表示不等式組的解集的方法.4.C【解析】【分析】根據(jù)概率、普查、中位數(shù)、方差的概念,即可解答.【詳解】解:A、一個抽獎活動的中獎率是10%,則抽100次獎可能中獎10次,故不合題意;B、了解某批燈泡的使用壽命,采取抽樣調(diào)查方式,故不合題意;C、一組數(shù)據(jù)1、2、3、4的中位數(shù)是2.5,故符合題意;D、若甲組數(shù)據(jù)的方差是S甲2,乙組數(shù)據(jù)的方差是S乙2,若S甲2>S乙2則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定,故不合題意;故選:C.【點睛】本題考查了概率、普查、中位數(shù)、方差,解決本題的關(guān)鍵是熟記概率、普查、中位數(shù)、方差的定義.5.D【解析】【詳解】本題主要根據(jù)直角尺各角的度數(shù)及三角形內(nèi)角和定理解答.解:∵∠C=30°,∠DAE=45°,AE∥BC,∴∠EAC=∠C=30°,∠FAD=45﹣30=15°,在△ADF中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到:∠AFD=180﹣90﹣15=75°.故選D.6.C【解析】【分析】直接利用圓周角定理以及結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC,進(jìn)而得出答案.【詳解】∵,∠CAD=30°,∴∠CAB=∠CAD=30°,∴∠DBC=∠DAC=30°,∵∠ACD=50°,∴∠ABD=50°,∴∠ADB=∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-50°-30°-30°=70°.故選:C.【點睛】此題主要考查了圓周角定理以及三角形內(nèi)角和定理,正確得出∠ABD度數(shù)是解題關(guān)鍵.7.B【解析】【分析】圓錐的側(cè)面積=底面周長×母線長÷2,據(jù)此求解即可.【詳解】解:底面圓的半徑為2,則底面周長=4π,圓錐的側(cè)面積=×4π×5=10π.故選:B.【點睛】本題考查了圓錐的計算,利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解.8.C【解析】【分析】過C作CD⊥y軸于D,交AB于E,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE=AE=CE,設(shè)AB=2a,則BE=AE=CE=a,再根據(jù)B、C在雙曲線上列出方程組并求解,最后根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】如圖,過C作CD⊥y軸于D,交AB于E,∵AB⊥x軸,∴CD⊥AB,∵△ABC是等腰直角三角形,∴BE=AE=CE,設(shè)AB=2a,則BE=AE=CE=a,設(shè)則由①得:ax=6,由②得:2k=4ax+x2,由③得:2k=2a(a+x)+x(a+x),2a2+2ax+ax+x2=4ax+x2,2a2=ax=6,a2=3,∴S△ABC=AB?CE=?2a?a=a2=3,故選C.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積,熟練掌握反比例函數(shù)上的點符合反比例函數(shù)的關(guān)系式是關(guān)鍵.9.x≥0【解析】【詳解】解:根據(jù)二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0,可知x≥0,故答案為:x≥0.10.【解析】【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示,一般形式為a×10-n,與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪,指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.【詳解】解:20微米=20÷1000000米=0.00002米=2×10-5米,故答案為:.【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù),一般形式為a×10-n,其中1≤|a|<10,n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定.11.【解析】【分析】先提取公因式7,然后再使用平方差公式求解即可.【詳解】解:原式,故答案為:.【點睛】本題考查了因式分解的方法,先提公因式,再看能否套平方差公式或完全平方式.12.720【解析】【詳解】解:因為多邊形的內(nèi)角和公式:180°(n﹣2),所以正六邊形的內(nèi)角和:180°×(6﹣2)=180°×4=720°.故答案為:72013.【解析】【分析】讓紅球的個數(shù)除以球的總數(shù)即為摸到紅球的概率.【詳解】解:在口袋中放有3個紅球與5個黃球,共8個,這兩種球除顏色外完全相同,隨機從口袋中任取一個球,從這8個球中任取一個球是紅球的概率是:.故答案為:.【點睛】本題考查隨機事件概率的求法:如果一個事件有n種可能,而且這些事件的可能性相同,其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果,那么事件A的概率P(A)=.14.cm2【解析】【分析】由已知中的三視圖,判斷出三棱柱的底面上的邊長和棱柱的高,求出側(cè)面積,即可得到答案.【詳解】解:由已知中三視圖,可得這是一個正三棱柱,底面的高為:2cm,則底面邊長為:2÷=cm,棱柱的高為3cm,則正三棱柱的側(cè)面積為:3××3=cm2,故答案為:cm2.【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求側(cè)面積,其中根據(jù)已知中的三視圖判斷出幾何的形狀,并分析出棱長,高等關(guān)鍵幾何量是解答本題的關(guān)鍵.15.x=【解析】【分析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系定理中的兩根之積,計算即可.【詳解】解:設(shè)方程的另一個根為x,∵是方程的一個根,∴根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得,,故答案為:.【點睛】本題考查了已知一元二次方程的一個根求另一個根,熟練運用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理,選擇合適的計算方式是解題的關(guān)鍵.16.【解析】【分析】連接AC、CF,根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF,∠ACD=∠GCF=45°,再求出∠ACF=90°,然后利用勾股定理列式求出AF,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.【詳解】解:如圖,連接AC、CF,∵正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,∴AC=,CF=3,∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,由勾股定理得,AF=∵H是AF的中點,∴CH=AF=×2=.故答案為:.【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),正方形的性質(zhì),勾股定理,解題關(guān)鍵是熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形.17.()【解析】【分析】根據(jù)拋物線y=x2﹣3x+2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,得A(1,0),B(2,0),C(0,2),過點B作BM⊥BC交CD延長線于點M,過點M作MG⊥x軸于點G,易證等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM,可得M(8,6),再求得直線CM的解析式為y=+2,聯(lián)立直線和拋物線,解方程組即可得點D的坐標(biāo).【詳解】解:∵拋物線y=x2﹣3x+2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,∴解得A(1,0),B(2,0),C(0,2),∴OB=OC∴∠OBC=45°,如圖,過點B作BM⊥BC交CD延長線于點M,過點M作MG⊥x軸于點G,∴∠COB=∠MGB=90°∴∠CBO+∠MBG=90°∴∠MBG=45°∴MG=BG∴等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM∴=∵tan∠DCB==3∴∴BG=6∴MG=6∴M(8,6)設(shè)直線CM解析式為y=kx+b,把C(0,2),M(8,6)代入,解得k=,b=2所以直線CM的解析式為y=+2聯(lián)立
解得,∴D()故答案為().【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、解直角三角形,解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).18.【解析】【分析】先根據(jù)直線的解析式,分別求得B1,B2,B3…的坐標(biāo),可以得到一定的規(guī)律,據(jù)此即可求解.【詳解】解:∵四邊形OA1B1C1是正方形,∴A1B1=B1C1,∴設(shè)B1的坐標(biāo)是(x,-x+2),∴x=-x+2,x=1.∴B1的坐標(biāo)是(1,1).∴點A1的坐標(biāo)為(1,0).∵A1A2B2C2是正方形,∴B2C2=A1C2,∵點B2在直線y=-x+2上,∴B2C2=B1C2,∴B2C2=A1B1=,∴點B2的坐標(biāo)為(1+,),同理,可得到點B3的坐標(biāo)為(1++,).依此類推,可得到點Bn的坐標(biāo)為(1++…
,),即Bn的坐標(biāo)為.故答案為:.【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)和坐標(biāo)的變化規(guī)律,正確得到點的坐標(biāo)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.19.(1);(2)4ab+b2.【解析】【分析】(1)根據(jù)根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪以及絕對值的性質(zhì)即可求出答案;(2)根據(jù)完全平方公式以及單項式乘多項式即可求出答案.(1)解:=(2)解:=a2+2ab+b2-a2+2ab=4ab+b2【點睛】本題考查了零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、完全平方公式以及單項式乘多項式.解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的運算運算法則,本題屬于基礎(chǔ)題型.20.;【解析】【分析】先因式分解、通分,然后進(jìn)行乘除運算把原式進(jìn)行化簡,再把a的值代入,進(jìn)行計算即可.【詳解】解:當(dāng)時,原式∴化簡結(jié)果為,值為.【點睛】本題考查了分式的化簡求值,分母有理化.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握因式分解進(jìn)行分式的化簡.21.見解析【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),證明△AOE≌△COF,即可得到.【詳解】證明:∵平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,∴AO=CO,AB∥CD,∴∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中.∴△AOE≌△COF(ASA).∴【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的全等證明,掌握平行四邊形的性質(zhì)得到全等三角形是解題的關(guān)鍵.22.(1)150(2)見解析,(3)240人【解析】【分析】(1)根據(jù)選擇乒乓球的人數(shù)和所占的百分比可以求得本次調(diào)查的人數(shù);(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果和條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可以計算出選擇籃球的人數(shù),從而可以將條形統(tǒng)計圖補充完整;(3)用900乘羽毛球項目的學(xué)生人數(shù)所占比例即可.(1)解:這次活動一共調(diào)查了:60÷40%=150(名)學(xué)生,故答案為:150;(2)選擇籃球的有:150-60-40-20=30(人),補全的條形統(tǒng)計圖如右圖所示:喜歡籃球項目的扇形的圓心角為:(3)估計學(xué)校選擇羽毛球項目的學(xué)生人數(shù)約是:900×=240(人).【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.23.(1);(2)該公可若想獲得10000萬元的年利潤,此設(shè)備的銷售單價應(yīng)是50萬元.【解析】【詳解】分析:(1)根據(jù)點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)此設(shè)備的銷售單價為x萬元/臺,則每臺設(shè)備的利潤為(x﹣30)萬元,銷售數(shù)量為(﹣10x+1000)臺,根據(jù)總利潤=單臺利潤×銷售數(shù)量,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,解之取其小于70的值即可得出結(jié)論.詳解:(1)設(shè)年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k≠0),將(40,600)、(45,550)代入y=kx+b,得:
,解得:,∴年銷售量y與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣10x+1000.
(2)設(shè)此設(shè)備的銷售單價為x萬元/臺,則每臺設(shè)備的利潤為(x﹣30)萬元,銷售數(shù)量為(﹣10x+1000)臺,根據(jù)題意得:(x﹣30)(﹣10x+1000)=10000,整理,得:x2﹣130x+4000=0,解得:x1=50,x2=80.
∵此設(shè)備的銷售單價不得高于70萬元,∴x=50.
答:該設(shè)備的銷售單價應(yīng)是50萬元/臺.點睛:本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一元二次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)根據(jù)點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式;(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程.24.(1)DE=DF,DE⊥DF,證明過程見詳解;(2)點P與點D重合時,EF最小=.【解析】【分析】(1)連接CD,首先根據(jù)△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,點D是AB的中點得到CD=AD,CD⊥AD,然后根據(jù)四邊形PECF是矩形得到△APF是等腰直角三角形,從而得到△DCE≌△DAF,證得DE=DF,DE⊥DF;(2)根據(jù)DE=DF,DE⊥DF,得到,從而得到當(dāng)DE和DF同時最短時,EF最短得到此時點P與點D重合線段EF最短.(1)DE=DF,DE⊥DF,證明:連接CD,∵△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,點D是AB的中點,∴CD=AD,CD⊥AD,∵四邊形PECF是矩形,∴CE=FP,F(xiàn)P∥CB,∴△APF是等腰直角三角形,∴AF=PF=EC,∴∠DCE=∠A=45°,在△DCE和△DAF中,,∴△DCE≌△DAF(SAS),∴DE=DF,∠ADF=∠CDE,∵∠CDA=90°,∴∠EDF=90°,∴DE=DF,DE⊥DF;(2)∵DE=DF,DE⊥DF,∴,∴當(dāng)DE和DF同時最短時,EF最短,∴當(dāng)DF⊥AC,DE⊥AB時,二者最短,∵∠FCE=90°∴四邊形DECF為矩形,∵DE=DF,∴四邊形DECF為正方形,∴EF最短=CD=.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形及矩形的性質(zhì),正方形判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是能夠證得兩個三角形全等,難度不大.25.(1)2.8米;(2)AB的長度為0.6米【解析】【分析】(1)過點A作交于點F,則,在中,用三角函數(shù)即可得;(2)過點A作交于點H,根據(jù),證明四邊形AFCH是矩形,則,,設(shè)BC=x,則米,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得,即,根據(jù)三角函數(shù)得DF=2.1米,米,在中,根據(jù)三角函數(shù)得,則,即可得,則,根據(jù)三角函數(shù)即可得米.【詳解】解:(1)過點A作交于點F,則,在中,(米),即點A到地面的距離為2.8米;(2)過點A作交于點H,在四邊形AFCH中,,∴四邊形AFCH是矩形,∴,,設(shè)BC=x,則米,∵,,∴,∴,∴(米),∴(米),∴米,∵在中,,∴,∴,∴(米),∵,∴(米).【點睛】本題考查了三角函數(shù),矩形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運用這些知識點.26.(1)見解析(2)弦DG的長為.【解析】【分析】(1)連AD,由AB為直徑,根據(jù)圓周角定理得推論得到∠ADB=90°,從而有∠C+∠EAD=90°,∠EDA+∠CDE=90°,而∠CAB=90°,根據(jù)切線的判定定理得到AC是⊙O的切線,而DE與⊙O相切,根據(jù)切線長定理得ED=EA,則∠EDA=∠EAD,利用等角的余角相等可得到∠C=∠CDE,則ED=EC,即可得到EA=EC;(2)由(1)可得AC=2AE=6,結(jié)合cos∠ACB=推知sin∠ACB=,然后利用圓周角定理、垂徑定理,解直角三角形即可求得DG的長度.(1)證明:連接AD,如圖,∵AB為⊙O的直徑,∠CAB=90°,∴AC是⊙O的切線,又∵DE與⊙O相切,∴ED=EA,∴∠EAD=∠EDA,而∠C=90°-∠EAD,∠CDE=90°-∠EDA,∴∠C=∠CDE,∴ED=EC,∴EA=EC,即E為AC的中點;(2)解:由(1)知,E為AC的中點,則AC=2AE=6.∵cos∠ACB=,設(shè)AC=2x,BC=3x,根據(jù)勾股定理,得AB=,∴sin∠ACB=.連接AD,則∠ADC=90°,∴∠ACB+∠CAD=90°,∵∠CAD+∠DAF=90°,∴∠DAF=∠ACB,在Rt△ACD中,AD=AC?sin∠ACB=6×=2.在Rt△ADF中,DF=AD?sin∠DAF=AD?sin∠ACB=2×=,∴DG=2DF=.【點睛】本題考查了圓的切線性質(zhì),及解直角三角形的知識.運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點,利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題.27.(1)C;(2)假;(3)∠ABC的度數(shù)為60°或90°或150°.【解析】【分析】(1)由和諧四邊形的定義,即可得到菱形是和諧四邊形;(2)和諧四邊形不一定是軸對稱圖形,舉出反例即可;(3)首先根據(jù)題意畫出圖形,然后由AC是四邊形ABCD的和諧線,可以得出△ACD是等腰三角形,從圖1,圖2,圖3三種情況運用等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì),即可求出∠ABC的度數(shù).【詳解】(1)根據(jù)和諧四邊形定義,平行四邊形,矩形,等腰梯形的對角線不能把四邊形分成兩個等腰三角形,菱形的一條對角線能把四邊形分成兩個等腰三角形夠.故選C.(2)和諧四邊形不一定是軸對稱圖形,如圖所示:∠C=45°,直角梯形ABCD是和諧四邊形,但不是軸對稱圖形,故答案為:假;(3)∵AC是四邊形ABCD的和諧線,且AB=BC,∴△ACD是等腰三角形,∵在等腰Rt△ABD中,AB=AD,∴AB=AD=BC,①如圖1,當(dāng)AD=AC時,∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC∴△ABC是正三角形,∴∠ABC=60°;②如圖2,當(dāng)DA=DC時,∴AB=AD=BC=CD.∵∠BAD=90°,∴四邊形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°;
③如圖3,當(dāng)CA=CD時,過點C作CE⊥AD于E,過點B作BF⊥CE于F,∵AC=CD,CE⊥AD,∴AE=ED,∠ACE=∠DCE.∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,∴四邊形ABFE是矩形,∴BF=AE.∵AB=AD=BC,∴BF=BC,∴∠BCF=30°.∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC.∵AB∥CE,∴∠BAC=∠ACE,∴∠ACB=∠BAC=∠BCF=15°,∴∠ABC=150°.【點睛
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