不可思議的分形圖形講數(shù)學(xué)之美，分形圖形是不可不講的。如果說(shuō)有什么東西能夠讓數(shù)學(xué)和藝術(shù)直接聯(lián)系在一起，答案毫無(wú)疑問(wèn)就是分形圖形。讓我們先來(lái)看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。首先畫一個(gè)線段，然后把它平分成三段，去掉中間那一段并用兩條等長(zhǎng)的線段代替。這樣，原來(lái)的一條線段就變成了四條小的線段。用相同的方法把每一條小的線段的中間三分之一替換成一座小山，得到了16條更小的線段。然后繼續(xù)對(duì)這16條線段進(jìn)行類似的操作，并無(wú)限地迭代下去。圖1是這個(gè)圖形前五次迭代的過(guò)程，可以看到第五次迭代后圖形已經(jīng)相當(dāng)復(fù)雜，我們已經(jīng)無(wú)法看清它的全部細(xì)節(jié)了。圖1你可能注意到一個(gè)有趣的事實(shí)：整個(gè)線條的長(zhǎng)度每一次都變成了原來(lái)的?：如果最初的線段長(zhǎng)度為一個(gè)單位，那么第一次操作后總長(zhǎng)度變成了?第二次操作后總長(zhǎng)度增加到G第n次操作后總長(zhǎng)度為G廣毫無(wú)疑問(wèn)，操作無(wú)限進(jìn)行下去，這條曲線將達(dá)到無(wú)限長(zhǎng)。難以置信的是這條無(wú)限長(zhǎng)的曲線卻“始終只有那么大”?，F(xiàn)在，我們像圖2那樣，把3條這樣的曲線首尾相接組成一個(gè)封閉圖形。這時(shí)，有趣的事情發(fā)生了，這個(gè)雪花狀的圖形有著無(wú)限長(zhǎng)的邊界，但是它的總面積卻是有限的。有人可能會(huì)說(shuō)，為什么面積是有限的呢？雖然從圖2看結(jié)論很顯然，但這里我們還是要給出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明。3條曲線中每一條在第n次迭代前都有4n-1條長(zhǎng)為;的線段，迭代后多出的面積為4n-1個(gè)邊長(zhǎng)為.三的等邊三角形。把4n-L擴(kuò)大到4n,再把所有邊長(zhǎng)為⑴的等邊三角形擴(kuò)大為同樣邊長(zhǎng)的正44J4"方形，總面積仍是有限的，因?yàn)闊o(wú)窮級(jí)數(shù)？是收斂的。很難相信，這一塊有限的面積，竟然是用無(wú)限長(zhǎng)的曲線圍成的。圖2這讓我們開(kāi)始質(zhì)疑“周長(zhǎng)〃的概念了：剪下一個(gè)直徑為1厘米的圓形紙片，它的周長(zhǎng)真的就是n厘米嗎？拿放大鏡看看，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)紙片邊緣并不是平整的，上面充滿了小鋸齒。再用顯微鏡觀察，說(shuō)不定每個(gè)小鋸齒上也長(zhǎng)有很多小鋸齒。然后，鋸齒上有鋸齒，鋸齒上又有鋸齒，周長(zhǎng)永遠(yuǎn)也測(cè)不完。分形領(lǐng)域中有一個(gè)經(jīng)典的說(shuō)法，“英國(guó)的海岸線有無(wú)限長(zhǎng)〃，其實(shí)就是這個(gè)意思。上面這個(gè)神奇的雪花圖形叫做科赫雪花，那條無(wú)限長(zhǎng)的曲線就叫做科赫曲線。他是由瑞典數(shù)學(xué)家馮?科赫(HelgevonKoch)最先提出來(lái)的。分形這一課題提出的時(shí)間比較晚。科赫曲線于1904年提出，是最早提出的分形圖形之一。我們仔細(xì)觀察一下這條特別的曲線。它有一個(gè)很強(qiáng)的特點(diǎn)：你可以把它分成若干部分，每一個(gè)部分都和原來(lái)一樣(只是大小不同)。這樣的圖形叫做“自相似〃(self-similar)圖形。自相似是分形圖形最主要的特征，它往往都和遞歸、無(wú)窮之類的東西聯(lián)系在一起。比如，自相似圖形往往是用遞歸法構(gòu)造出來(lái)的，可以無(wú)限地分解下去。一條科赫曲線包含有無(wú)數(shù)大小不同的科赫曲線。你可以對(duì)這條曲線的尖端部分不斷放大，但你所看到的始終和最開(kāi)始一樣。它的復(fù)雜性不隨尺度減小而消失。另外值得一提的是，它是一條連續(xù)的，但處處不光滑(不可微)的曲線。曲線上的任何一個(gè)點(diǎn)都是尖點(diǎn)。分形圖形有一種特殊的計(jì)算維度的方法。我們可以看到，在有限空間內(nèi)就可以達(dá)到無(wú)限長(zhǎng)的分形曲線似乎已經(jīng)超越了一維的境界，但說(shuō)它是二維圖形又還不夠。1918年，數(shù)學(xué)家費(fèi)利克斯?豪斯道夫行6版由四而出)提出了豪斯道夫維度，它就是專門用來(lái)對(duì)付這種情況的。簡(jiǎn)單地說(shuō)，豪斯道夫維度描述了對(duì)分形圖形進(jìn)行縮放后，圖形所占空間大小的變化與相似比的關(guān)系。例如，把正方形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍后，正方形的面積就將變成原來(lái)的4倍；若把正方形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，則其面積就將變成原來(lái)的9倍。事實(shí)上，兩個(gè)正方形的相似比為1：a，它們的面積比就應(yīng)該是1：a2,那個(gè)指數(shù)2就是正方形的豪斯道夫維度。類似地，兩個(gè)立方體的相似比為1：a，它們的體積比就是1：a3,這就告訴了我們，立方體的豪斯道夫維度是3。然而，一條大科赫曲線包含了4條小科赫曲線，但大小科赫曲線的相似比卻只有1：3。也就是說(shuō)，把小科赫曲線放大到原來(lái)的3倍，所占空間會(huì)變成原來(lái)的4倍！因此科赫曲線的豪斯道夫維度為10g34。它約等于1.26,是一個(gè)介于1和2之間的實(shí)數(shù)。直觀地說(shuō)，科赫曲線既是曲線，又非曲線，它介于線與面之間。很多分形圖形的維度都介于1和2之間。比如說(shuō)謝爾賓斯基(Sierpinski)三角形：像圖3那樣，把一個(gè)三角形分成4等份，挖掉中間那一份，然后繼續(xù)對(duì)另外3個(gè)三角形進(jìn)行這樣的操作，并且無(wú)限地遞歸下去。每一次迭代后整個(gè)圖形的面積都會(huì)減小到原來(lái)的;‘因此最終得到的圖形面積顯然為0。因而和科赫曲線正好相反，它已經(jīng)不能算二維圖形了，但說(shuō)它是一維的似乎也有些過(guò)了。事實(shí)上，它的豪斯道夫維度是10g23,也是一個(gè)介于1和2之間的圖形。AAA▲▲▲▲▲▲A皂包圖3

謝爾賓斯基三角形的另一種構(gòu)造方法如圖4所示。把正方形分成四等份，去掉右下角的那一份，并且對(duì)另外3個(gè)正方形遞歸地操作下去。挖幾次后把腦袋一歪，你就可以看到一個(gè)等腰直角的謝爾賓斯基三角形了。圖4謝爾賓斯基三角形還有一些非遞歸的構(gòu)造。1983年，斯蒂芬?沃爾夫勒姆（StephenWolfram）發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)網(wǎng)格中，從一個(gè)黑色格子開(kāi)始，不斷按規(guī)則生成下一行的圖形（見(jiàn)圖5），也能得到謝爾賓斯基三角形。這種圖形生成方法有一個(gè)很酷的名字，叫做“細(xì)胞自動(dòng)機(jī)”。圖5謝爾賓斯基三角形有一個(gè)神奇的性質(zhì)：如果某一個(gè)位置上有點(diǎn)（沒(méi)被挖去），那么它與原三角形頂點(diǎn)的連線上的中點(diǎn)處也有點(diǎn)。這給出了一個(gè)更為詭異的謝爾賓斯基三角形構(gòu)造方法：給出三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，然后從其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，J每次隨機(jī)向任意一個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)?的距離（走到與那個(gè)頂點(diǎn)的連線的中點(diǎn)上），并在該位置作一個(gè)標(biāo)記；無(wú)限次操作后所有的標(biāo)記就組成了謝爾賓斯基三角形。楊輝三角與謝爾賓斯基三角形之間也有不可思議的關(guān)系。如圖6,把楊輝三角中的奇數(shù)和偶數(shù)用不同的顏色區(qū)別開(kāi)來(lái)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)由此得到的正是謝爾賓斯基三角形。也就是說(shuō)，二項(xiàng)式系數(shù)(或者說(shuō)組合數(shù))的奇偶性竟然可以表現(xiàn)為一個(gè)分形圖形！這相當(dāng)于給出了謝爾賓斯基三角形的第五種構(gòu)造方法。利用簡(jiǎn)單的代數(shù)方法生成如此優(yōu)雅的圖形，實(shí)在是令人嘆為觀止。請(qǐng)記住謝爾賓斯基三角形這個(gè)最經(jīng)典的分形圖形，因?yàn)樵谖磥?lái)的某個(gè)時(shí)刻，我們將會(huì)在某個(gè)出人意料的地方用到它。大家或許已經(jīng)看到了數(shù)學(xué)的奇妙之處：一個(gè)如此簡(jiǎn)單的公式，竟能形成如此美觀精細(xì)的圖形。說(shuō)到這里，我們不得不提另一個(gè)奇跡般的分形圖形。圖6考慮函數(shù)f(z)=z2—0.75。固定z0的值后，我們可以通過(guò)不斷地迭代算出一系列的z值：z1=f(z0),z2=f(z1),z3=f(z2)，…。比如，當(dāng)z0=1時(shí)，我們可以依次迭代出：-0.75-0.254=/(0.25)=0.232-0.75=-0.6^757=/i-0.6875)=(-O.6875)2-0.75=-02773=/(-02773)=(^0.2773)--0.75=-0.6731%=/(-O.S731)=(-0.6731-0.75--0,2970可以看出，z值始終在某一范圍內(nèi)，并將最終收斂到某一個(gè)值上。但當(dāng)z0=2時(shí)，情況就不一樣了。幾次迭代后我們將立即發(fā)現(xiàn)z值最終會(huì)趨于無(wú)窮大：-0.753.25馬=，⑶25)=325,—0.75=9.8125年二『(9.3125)產(chǎn)曳凱密-0.75=951535^=7(95,535)=95,535--075=9126.2q=/(9I262)=9126.22-0.75=K3287K19.2經(jīng)過(guò)計(jì)算，我們可以得到如下結(jié)論：當(dāng)z0屬于［-1.5,1.5］時(shí)，Z值始終不會(huì)超出某個(gè)范圍；而當(dāng)z0小于-1.5或大于1.5后，Z值最終將趨于無(wú)窮?，F(xiàn)在，我們把這個(gè)函數(shù)擴(kuò)展到整個(gè)復(fù)數(shù)范圍。對(duì)于復(fù)數(shù)z0=a+bi,取不同的a值和b值，函數(shù)迭代的結(jié)果不一樣：對(duì)于有些z0,函數(shù)值始終約束在某一范圍內(nèi)；而對(duì)于另一些z0,函數(shù)值則將發(fā)散到無(wú)窮。我們把滿足前一種情況的所有初始值z(mì)0所組成的集合稱為朱利亞集，它是以法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯頓?朱利亞(GastonJulia)的名字命名的。由于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)了平面上的點(diǎn)，因此我們可以用一個(gè)平面圖形直觀地展現(xiàn)出朱利亞集。我們用黑色表示所有屬于朱利亞集的z0；對(duì)于其他的z0,我們用不同的顏色來(lái)區(qū)別不同的發(fā)散速度，顏色越淺表示發(fā)散速度越慢，顏色越深表示發(fā)散速度越快。難以置信，由此得到的圖形竟然是一個(gè)看上去非常復(fù)雜的分形圖形(見(jiàn)圖7)。圖7這個(gè)美麗的分形圖形就是f(z)=z2—0.75時(shí)的朱利亞集。如果我們把-0.75換成別的數(shù)，比如-0.8+0.15i呢？這將會(huì)帶來(lái)另一個(gè)完全不同的分形圖形，圖8就是f(z)=z2—0.8+0.15i所對(duì)應(yīng)的朱利亞集。

事實(shí)上，對(duì)于復(fù)數(shù)函數(shù)f(Z)=Z2+C,每取一個(gè)不同的復(fù)數(shù)C,我們都能得到一個(gè)不同的朱利亞集分形圖形，并且令人吃驚的是，每一個(gè)分形圖形都是那么美麗，其中有些經(jīng)典的朱利亞集甚至有它自己的名字。圖9就是c=-1.755時(shí)的朱利亞集，俗稱“飛機(jī)”。圖9圖10則是c=-0.123+0.745i所對(duì)應(yīng)的朱利亞集。它也有一個(gè)形象的名字——杜瓦地兔子。這是以法國(guó)數(shù)學(xué)家阿德里安?杜瓦地(AdrienDouady)的名字命名的。圖10你甚至?xí)幌嘈牛@種簡(jiǎn)單而機(jī)械的過(guò)程可以生成如此美麗的圖形。不過(guò)，并不是所有的復(fù)數(shù)c都對(duì)應(yīng)了一個(gè)連通的朱利亞集。圖11所示的就是c=0.3時(shí)的朱利亞集。這仍然是一個(gè)漂亮的分形圖，但它和前面的圖像有一個(gè)很大的區(qū)別一一圖像里不再有連通的黑色區(qū)域了。這是因?yàn)椋嬲龑儆谥炖麃喖狞c(diǎn)都是一個(gè)個(gè)離散的點(diǎn)(分布在圖中的各個(gè)白色亮斑中)，我們已經(jīng)無(wú)法從圖像上直接觀察到了。我們能看到的，都是那些將會(huì)導(dǎo)致函數(shù)值發(fā)散到無(wú)窮的點(diǎn)，只是它們的發(fā)散速度有所不同。圖11于是，我們自然想到了一個(gè)問(wèn)題：哪些復(fù)數(shù)c對(duì)應(yīng)著連通的朱利亞集呢？數(shù)學(xué)家貝努瓦?曼德?tīng)柌剂_特(BenoitMandelbrot)是最早對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)研究的人之一，因此我們通常把所有使得朱利亞集形成一塊連通區(qū)域的復(fù)數(shù)c所組成的集合叫做曼德?tīng)柌剂_特集。注意，曼德?tīng)柌剂_特集也是一個(gè)由復(fù)數(shù)構(gòu)成的集

合，它也能表現(xiàn)在一個(gè)平面上。神奇的是，曼德?tīng)柌剂_特集本身竟然又是一個(gè)漂亮的分形圖形(見(jiàn)圖12)！圖12有一個(gè)重要的定理指出，一個(gè)朱利亞集是連通的，當(dāng)且僅當(dāng)zo=0在這個(gè)朱利亞集里。換句話說(shuō)，為了判斷一個(gè)朱利亞集是否連通，我們只需要測(cè)試一下z0=0時(shí)的迭代結(jié)果即可。因此，我們有了曼德?tīng)柌剂_特集的一個(gè)等價(jià)的定義，也就是所有不會(huì)讓零點(diǎn)發(fā)散的復(fù)數(shù)c組成的集合。圖12其實(shí)就是依據(jù)這個(gè)原理制作的，其中黑色的區(qū)域表示曼德?tīng)柌剂_特集，即那些不會(huì)讓零點(diǎn)發(fā)散的復(fù)數(shù)c；其他的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)c都將會(huì)讓零點(diǎn)發(fā)散，淺色代表發(fā)散慢，深色代表發(fā)散快。前面說(shuō)過(guò)，分形圖形是可以無(wú)限遞歸下去的，它的復(fù)雜度不隨尺度減小而消失。曼德?tīng)柌剂_特集中大小兩個(gè)主要圓盤相接處所產(chǎn)生的深溝叫做“海馬谷”(seahorsevalley)。圖13展示了它的一個(gè)局部大圖。它的細(xì)節(jié)非常豐富，你會(huì)看到很多像海馬尾巴一樣的鉤子以一種分形的方式排列開(kāi)來(lái)。

圖13圖14則展現(xiàn)了曼德?tīng)柌剂_特集最右邊那個(gè)深溝的景觀，它也有一個(gè)名字，叫做"大象谷"(elephantvalley)。圖14曼德?tīng)柌剂_特集里值得放大的地方太多了。仔細(xì)看看曼德?tīng)柌剂_特集最上方的白色觸須里，是不是有一些小黑點(diǎn)？讓