2021年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).

1.(4分)(2021?石景山區(qū)一模)已知集合4={1,3,5),B={X|X2-16<0},則Ap)B=(

)

A.{1,3)B.{3,5)C.{1,3,5)D.(0,4)

2.(4分)(2021?石景山區(qū)一模)下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期7=開的是()

A.f(x)=-B.f(x)=x3

x

C.f(x)=2sinxcosjcD.f(x)=sinx

3.(4分)(2021?石景山區(qū)一模)復(fù)數(shù)也在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的

i

取值范圍是()

A.(-oo,—l)B.(—oo,0)C.(0,+<x>)D.(1,4-00)

4.(4分)(2021?石景山區(qū)一模)一幾何體的直觀圖和主視圖如圖所示，下列給出的四個(gè)俯

直觀圖

正(主)視圖

C.------------------D.L

5.（4分）（2021?石景山區(qū)一模）“直線/垂直于平面a內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線/垂直于平

面a”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（4分）（2015?山東）已知菱形的邊長(zhǎng)為a,ZABC=60°.則8￡）.C￡>=（）

.3232廠3232

A.—一aBD.一一crC.—aD.-a

2442

7.（4分）（2021?石景山區(qū)一模）過拋物線/=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、3兩點(diǎn),

若尸是線段Afi的中點(diǎn)，貝l」|A8|=（）

A.1B.2C.3D.4

8.（4分）（2021?石景山區(qū)一模）“回文數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如

22,121,3443等.那么在四位數(shù)中，回文數(shù)共有（）

A.81個(gè)B.90個(gè)C.100個(gè)D.900個(gè)

9.（4分）（2021?石景山區(qū)一?模）已知/=~，"°,若在xe[-l,1].t

[3x-2,x>0

恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（y-l[J[（）,+8）B.[-1,0]C.[0,1]D.[-1,0）

10.（4分）（2021?石景山區(qū)一模）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外

心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角

坐標(biāo)系中作AA8C,AB=AC=4,點(diǎn)8（-1,3）,點(diǎn)C（4,-2）,且其“歐拉線”與圓

M:（x-4+（y-a+3）2=r2相切.則圓M上的點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離的最小值為（

）

A.2應(yīng)B.3&C.472D.6

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

22

11.（5分）（2013?陜西）雙曲線工—匕=1的離心率為.

169----

12.（5分）（2021?石景山區(qū)一模）已知函數(shù)/若“=/（"）,b=f（：）,c=f（2）,

則a,b,c從小到大排序?yàn)?

13.（5分）（2021?石景山區(qū)一模）如圖，如果每個(gè)橫行上兩數(shù)字之和相等，每個(gè)豎列上兩

個(gè)數(shù)字之和相等，請(qǐng)寫出一組滿足要求的不全相等的知,《2，%一物的值.%=一，

14.（5分）（2021?石景山區(qū)一模）在銳角AABC中，a=3jLc=5,a=?sinA,貝ij8=,

b=.

15.（5分）（2021?石景山區(qū)一模）海水受日月的引力，會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象.在通常情況下，

船在漲潮時(shí)駛?cè)牒降溃M(jìn)入港口，落潮時(shí)返回海洋.某興趣小組通過4技術(shù)模擬在一次潮

汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實(shí)驗(yàn)：首先，設(shè)定水深y（單位：米）隨時(shí)間x（單位：小時(shí)）的

變化規(guī)律為y=0.8sin5+2（。eR）,其中噴灰-；然后，假設(shè)某虛擬貨船空載時(shí)吃水深度

CD

（船底與水面的距離）為0.5米，滿載時(shí)吃水深度為2米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃

水深度以每小時(shí)0.4米的速度減小；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有0.4

米的安全間隙.

在此次模擬實(shí)驗(yàn)中，若貨船滿載進(jìn)入港口，那么以下結(jié)論正確的是—.

①若工，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；

6

②若3=工，該貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；

6

③若3=1,貨船于X=1時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則苫=工時(shí)，船底離海底的距

2

離最大；

④若G=l,貨船于X=1時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則戶型時(shí)，船底離海底的距

3

離最大.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.（13分）（2021?石景山區(qū)一模）如圖，在五面體ABCDE尸中，面A3CZ）為正方形，面

ABFEC面CDEF=EF,AD1.ED,CDLEA.

(I)求證：8//平面ABFE；

(11)若EF=ED,CD=2EF=2,求平面ADE與平面BC尸所成的銳二面角的大小.

17.(13分)(2021?石景山區(qū)一模)已知有限數(shù)列伍“｝共有30項(xiàng)｛q｝(〃eN*,%,30),其中

前20項(xiàng)成公差為d的等差數(shù)列，后11項(xiàng)成公比為q的等比數(shù)列，記數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S”.從

條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

(I)4,q的值；

(II)數(shù)列中的最大項(xiàng).

條件①：a,=4(S5=30,a2l=20；

條件②：S3=0>a20--36,a22=—9；

條件③：S,=48,%=20,a,4=160.

18.(14分)(2021?石景山區(qū)一模)某大型連鎖超市的市場(chǎng)部為了比較線下、線上這兩種模

式的銷售情況，從某地區(qū)眾多門店中隨機(jī)抽取8家門店，對(duì)其線下和線上這兩種銷售模式下

的日營(yíng)業(yè)額(單位：萬元)進(jìn)行調(diào)查.調(diào)查結(jié)果如下：

門店1門店2門店3門店4門店5門店6門店7門店8

線下96.5199.514.516.520.512.5

日營(yíng)業(yè)

額

線上11.591217192321.515

日營(yíng)業(yè)

額

若某門店一種銷售模式下的日營(yíng)業(yè)額不低于15萬元，則稱該門店在這種銷售模式下的日營(yíng)

業(yè)額達(dá)標(biāo)；否則就稱該門店在此種銷售模式下的日營(yíng)業(yè)額不達(dá)標(biāo).

若某門店的日營(yíng)業(yè)總額(線上和線下兩種銷售模式下的日營(yíng)業(yè)額之和)不低于30萬元，則

稱該門店的日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)；否則就稱該門店的日營(yíng)業(yè)總額不達(dá)標(biāo).

(各門店的營(yíng)業(yè)額之間互不影響)

(I)從8個(gè)樣本門店中隨機(jī)抽取3個(gè)，求抽取的3個(gè)門店的線下日營(yíng)業(yè)額均達(dá)標(biāo)的概率；

(II)若從該地區(qū)眾多門店中隨機(jī)抽取3個(gè)門店，記隨機(jī)變量X表示抽到的日營(yíng)業(yè)總額達(dá)

標(biāo)的門店個(gè)數(shù).以樣本門店的日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)的頻率作為一個(gè)門店的日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)的概

率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)線下日營(yíng)業(yè)額和線上日營(yíng)業(yè)額的樣本平均數(shù)分別記為從和〃2,線下日營(yíng)業(yè)額和線上

日營(yíng)業(yè)額的樣本方差分別記為S；和.試判斷必和用的大小，以及S；和的大小.(結(jié)

論不要求證明)

22

19.(15分)(2021?石景山區(qū)一模)已知橢圓C:=+與=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),

ab

且經(jīng)過點(diǎn)4-2,0)和點(diǎn)8(2,0).

(I)求橢圓C的方程；

(II)”和N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，四邊形408N是平行四邊形，直線AM、AN分

別交y軸于點(diǎn)尸和點(diǎn)Q,求四邊形APFQ面積的最小值.

20.(15分)(2021?石景山區(qū)一模)己知函數(shù)/(幻=匕絲(。6??).

ex

(I)當(dāng)a=-l時(shí)，求f(x)在x=0處的切線方程；

(II)已知f(x),,1對(duì)任意xeR恒成立，求a的值.

21.(15分)(2021?石景山區(qū)一模)由w個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集A/={“[,a2,a3,am}

(其中q2co3c…<勺)，記尸(M)=q+〃2+…+%,，特別規(guī)定尸(0)=0，若集合AZ滿

足：對(duì)任意的正整數(shù)人,,P(M),都存在集合M的兩個(gè)子集A,B,使得k=P(A)-P(B)

成立，則稱集合M為“滿集”.

(I)分別判斷集合必={1,2}與M?={2,3}是否為“滿集”，請(qǐng)說明理由；

(II)若集合M為“滿集”，求4的值；

(III)若a“火,…，a,,,是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列，判斷集合”是否為"滿

集”，并說明理由.

2021年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng).

1.(4分)(2021?石景山區(qū)一模)已知集合人={1,3,5},fi={x|x2-16<0},則A「)8=(

)

A.{1,3)B.{3,5}C.{1,3,5}D.(0,4)

【解答】解：因?yàn)锽={x|d-16<0}={x|-4<x<4},

又集合A={1,3,5},

所以限B={1,3}.

故選：A.

2.(4分)(2021?石景山區(qū)一模)下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期7=開的是()

A./(x)=-B.?

X

C./(x)=2sinxcosjcD./(x)=sinx

【解答】解：由于函數(shù)/?“)=■!■不是周期函數(shù)，故排除A；

X

由于/(幻=/不是周期函數(shù)，故排除5；

由于/(x)=2sinxcosx=sin2x為奇函數(shù)，且是周期函數(shù)，周期為彳=萬，故C滿足條件；

由于./Xx)=sinx是奇函數(shù)，且周期為2%，故D錯(cuò)誤，

故選：C.

3.(4分)(2021?石景山區(qū)一模)復(fù)數(shù)且匚在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)。的

i

取值范圍是()

A.B.(^o,0)C.(0,+oo)D.(l,+oo)

【解答】解：復(fù)數(shù)也=Ya>。=a+i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)31)位于第一象限,

i-i-i

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+oo),

故選：C.

4.（4分）（2021?石景山區(qū)一模）一幾何體的直觀圖和主視圖如圖所示，下列給出的四個(gè)俯

正（主）視圖

【解答】解：幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見線段，所以C、D

不正確；

幾何體的上部的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確.

故選：B.

5.（4分）（2021?石景山區(qū)一模）“直線/垂直于平面a內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線/垂直于平

面。”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：若直線/垂直于平面a,則直線/垂直于平面a內(nèi)無數(shù)條直線成立，即必要性

成立，

反之若直線/垂直于平面a內(nèi)無數(shù)條直線，則無法判斷直線/垂直于平面a,即充分性不成

立，

即“直線/垂直于平面a內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線/垂直于平面a”的必要不充分條件，

故選：B.

6.（4分）（2015?山東）已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為a,ZABC=60°,則8O,C￡>=（）

.3r>33p.3

A.—a2B>—a2C.-u2D.-a2

2442

【解答】解：,菱形98的邊長(zhǎng)為a,NABC=6O。，

BA=a1,BA-BC=fzxaxcos60°=—a2,

2

.23a之

則BD.CD=（BA+BQ.BA=BA+BA?BC=——

2

故選：D.

7.（4分）（2021?石景山區(qū)一模）過拋物線y?=4x的焦點(diǎn)尸的直線交拋物線于A、3兩點(diǎn)，

若尸是線段A3的中點(diǎn)，則|A3|=（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：P是線段/W的中點(diǎn)，由拋物線的對(duì)稱性，可知，軸，

拋物線V=4x,可得p=2,

所以|AB|=2p=4.

故選：D.

8.（4分）（2021?石景山區(qū)一模）“回文數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如

22,121,3443等.那么在四位數(shù)中，回文數(shù)共有（）

A.81個(gè)B.90個(gè)C.100個(gè)D.900個(gè)

【解答】解：4位回文數(shù)只需排列前兩位數(shù)字，后面數(shù)字即可確定，

又因?yàn)榈谝晃徊荒転?,因此第一位有9種排法，第二位有10種排法，

所以共有9x10=90種排法，

故選：B.

9.（4分）（2021?石景山區(qū)一模）已知/（x）=jA,若在1］上

3%-2,x>0

恒成立，則實(shí)數(shù)“的取值范圍是（）

A.(v-1]、J(),+8)B.[-1,0]C.

【解答】解：函數(shù)/(幻=卜2-2，%,°的圖象如圖:

[3x-2,x>0

"(x)|的圖象如圖:

因?yàn)镮f(x)|..flx在xe[T，1]上恒成立,

所以y=or的圖象應(yīng)在y="(x)|的圖象的下方,

故須斜率為負(fù)，或?yàn)?.

當(dāng)斜率為負(fù)時(shí)，排除答案A,C；

當(dāng)a=0,y=0滿足要求，排除。.

故選：B.

10.(4分)(2021?石景山區(qū)一模)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外

心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角

坐標(biāo)系中作AABC,AB=AC=4,點(diǎn)8(-1,3),點(diǎn)C(4,-2),且其“歐拉線”與圓

M:(x-a)2+(y-a+3)2=〃相切.則圓M上的點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離的最小值為(

)

A.2&B.3夜C.4夜D.6

【解答】解：AB-AC=4>

.?.3C邊上的高線、垂直平分線和中線合一,

即A4BC的“歐拉線”是8c的垂直平分線,

8（-1,3）,C（4,-2）,

???續(xù)=涓=一1，中點(diǎn)為（I，；），

BC垂直平分線所在的直線方程為y-；=lx（x-1）,即x-y-l=O,

“歐拉線”與直線x-y+3=0平行，

.?.圓M上的點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離的最小值為此平行線間的距離

J=|3-（-1）|=2^1

夜

故選：A.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

22u

11.（5分）（2013?陜西）雙曲線上一皂=1的離心率為--

169~4~

22_______

【解答】解：因?yàn)殡p曲線——=1,所以〃=4,b=3,所以c=JcL+b?=J16+9=5,

169

所以雙曲線的離心率為：€>=-=-.

a4

故答案為：—.

4

12.（5分）（2021?石景山區(qū)一模）已知函數(shù)/'（x）=|/nx|,若〃=/（3）,/?=/（；）,c=f（2）,

則b,c從小到大排序?yàn)開c<h<a_.

【解答】解：a=|//?^|=lnS,h=|In-^\=In4,c=|In21=ln2,

ln2<ln4<lr&,

:.c<b<a.

故答案為：cvbva、

13.（5分）（2021?石景山區(qū)一模）如圖，如果每個(gè)橫行上兩數(shù)字之和相等，每個(gè)豎列上兩

個(gè)數(shù)字之和相等，請(qǐng)寫出一組滿足要求的不全相等的卬，62,叫「〃22的值.丁=1，

【解答】解：由題意知小+&=%1+出2，卬+生1=。12+々22,

則兩式相減得/-。21=%1-。12'

即。12=。21，％I=。22，

則不妨取42=%|=2,=42=1，

故答案為：1，2,2,1.答案不唯一

14.（5分）（2021?石景山區(qū)一模）在銳角AABC中，a=3&,c=5,a=2Z?sinA,則3=

【解答】解：因?yàn)閍=2Z?sinA,

所以由正弦定理可得sinA=2sinAsinA,

因?yàn)閟inAw0,

所以sin3=,，

2

因?yàn)?為銳角，

所以B=生,

6

因?yàn)椤?36，c=5,

由余弦定理6=4z2+c2-2^ccos^=274-25-2x3x/3x5x—=7,

2

所以b=5.

故答案為：V7.

6

15.（5分）（2021?石景山區(qū)一模）海水受日月的引力，會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象.在通常情況下，

船在漲潮時(shí)駛?cè)牒降?，進(jìn)入港口，落潮時(shí)返回海洋.某興趣小組通過4技術(shù)模擬在一次潮

汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實(shí)驗(yàn)：首先，設(shè)定水深y（單位：米）隨時(shí)間x（單位：小時(shí)）的

變化規(guī)律為y=0.8sin3x+23eR）,其中噴收-；然后，假設(shè)某虛擬貨船空載時(shí)吃水深度

a）

（船底與水面的距離）為0.5米，滿載時(shí)吃水深度為2米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃

水深度以每小時(shí)0.4米的速度減小；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有0.4

米的安全間隙.

在此次模擬實(shí)驗(yàn)中，若貨船滿載進(jìn)入港口，那么以下結(jié)論正確的是①④.

①若。=工，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；

6

②若。=工，該貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)；

6

③若0=1,貨船于x=l時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則》=工時(shí)，船底離海底的距

2

離最大；

④若0=1,貨船于x=l時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，貝=二時(shí)，船底離海底的距

3

離最大.

【解答】解：對(duì)于①，貨船在港口全程不卸貨，則吃水恒為2米，

所以船離海底為y-2=0.8sin<yx=/(x),

當(dāng)/(x)..0.4時(shí)，si吟乂］,則/與xy-解得啜k5,

所以最多停留時(shí)間為5-1=4小時(shí)，故選項(xiàng)①正確；

對(duì)于②，貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，

則吃水深度為％=2-0.4%且2—0.4元.0.5,解得臉樂?，

此時(shí)船離海底f2M=y-h2=0.8sin—X+0.4JV,

6

所以f2(x)=~~cos-+0.4>0，

156

所以￡(x)在［0,?］上單調(diào)遞增，且當(dāng)x=l時(shí)，/2(1)=0.8>0.4,

15TCTC

由一<*,6,y=0.8sin—x+2-0.5=0.8sin—x+1.5..1.5-0.8=0.7>0.4,

466

此段時(shí)間都可以?？浚?/p>

又人(1)=0.8>0.4,所以6-1=5>4,故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；

對(duì)于③和④，貨船于x=l時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，

則吃水深度為=2-0.4(x-l),啜Jr7t,

27r

所以力(x)=0.8sinx+0.4(x-l),則&(x)=0.8cosx+0.4=0,解得工二7,

當(dāng)xe［l,爭(zhēng)時(shí),&(x)>0,則力(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(笄,捫時(shí)，方(x)<0,則力(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=笄時(shí)，/(x)取得最大值，

所以船底離海底的距離最大，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤，選項(xiàng)④正確.

故答案為：①④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.(13分)(2021?石景山區(qū)一模)如圖，在五面體"CDE尸中，面ABCD為正方形，面

ABFEC面CDEF=EF,AD1ED,CDA.EA.

(I)求證：8//平面ABFE；

(11)若EF=ED,CD=2EF=2,求平面ADE與平面8C尸所成的銳二面角的大小.

【解答】(I)證明：在五面體ABCOE產(chǎn)中，

因?yàn)槊鍭8C。是正方形，

所以C￡>///3.

又因?yàn)锳Bu平面ABEE,CD仁平面9石，

所以8//平面芯.

(II)解：因?yàn)槊鍭8CD是正方形，所以C￡>_LA￡>.

又因?yàn)镃DLAE.

又AO]AE=A,

所以CDL平面ADE

又因?yàn)镈Eu平面

所以C￡>_L￡>E.

因?yàn)槊?W8是正方形，

所以CD_L4).

又因?yàn)锳D工DE,

所以以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DE分別為x,y,z軸,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)镃D=2￡F=2,EF=ED,0(0,0,0),A(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),

E(0,0,1).

由(I)。。//平面M/石，Su平面CDE/L

平面CDEFC平面ABFE=EF,

所以C￡)//EF.

所以EF=」OC.

2

可得F(0,1,1).

由題意知平面ADE的法向量為DC=(0,2,0)

設(shè)平面BCF的法向量為n=(x,y,z).

由卜"=0,得卜2x=0,

n-FC=0,1y-z=0,

令y=l,得z=l,x=0,所以〃=(0,l,l)

設(shè)平面ADE與平面BCF所成銳二面角為。.cos?=」℃四=~^==~

\DC\-\n\2V22

所以平面ADE與平面BCF所成銳二面角為-

17.(13分)(2021?石景山區(qū)一模)已知有限數(shù)列｛”“｝共有30項(xiàng)｛%｝(“€N*,%,30),其中

前20項(xiàng)成公差為d的等差數(shù)列，后11項(xiàng)成公比為q的等比數(shù)列，記數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S”.從

條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

(I)d,q的值；

(II)數(shù)列中的最大項(xiàng).

條件①：%=4,S5=30,a2]=20；

條件②：S3=0,。2。=-36,%=-9

條件③：S,=48,a2i=20,%=160.

【解答】當(dāng)選擇條件①時(shí)：

解：（I）因?yàn)槲椤埃那?0項(xiàng)成等差數(shù)列，々=4,55=30,

q+d=4,

所以5x4

5a}+—J=30,

q=2,

解得

d=2

所以%>=2+19x2=40.

因?yàn)閿?shù)列｛q｝后11項(xiàng)成公比為q的等比數(shù)列,

所以g=&L=L

。202

綜上，d=2,q=3.

（H）｛6｝的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，d>0.

所以前20項(xiàng)為遞增數(shù)列.

即：前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為0=40.

數(shù)列｛a“｝的后11項(xiàng)成等比數(shù)列，q=g,

所以后11項(xiàng)是遞減數(shù)列.

即：后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為%o=4O

綜上，數(shù)列｛為｝的最大項(xiàng)為第20項(xiàng)，其值為40.

當(dāng)選擇條件②時(shí):

解：（I）因?yàn)樗埃那?0項(xiàng)成等差數(shù)列，$3=0,%)=—36?

3q+3d=0,

所以

q+19d=—36,

4=2,

所以

d=-2.

2

因?yàn)閿?shù)列｛為｝后11項(xiàng)成公比為q的等比數(shù)列，生。-36,又因?yàn)?=-9,q=^=-

%o4

所以q=±—.

綜上，d=-2,q=±—.

2

(II)｛4｝的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，d<0.

所以前20項(xiàng)為遞減數(shù)列.

前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為％=2.

因?yàn)閝=±g.

,,20

/.當(dāng)q時(shí)，an=-36(^)-(20^ih30且

所以當(dāng)20制j30時(shí)，??<0.

此時(shí)，數(shù)列｛為｝的最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，其值為2；

n-20

ii.當(dāng)0=時(shí)，an=-36(-^)(2(^ih30且

后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為%=18.

此時(shí)，數(shù)列｛〃,,｝的最大項(xiàng)為第21項(xiàng)，其值為18.

綜上，當(dāng)《時(shí)，數(shù)列｛q｝的最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，其值為2；

當(dāng)q=-g時(shí)，數(shù)列他“｝的最大項(xiàng)為第21項(xiàng)，其值為18.

當(dāng)選擇條件③時(shí)：

解：(I)因?yàn)閿?shù)列｛叫后11項(xiàng)成公比為q的等比數(shù)列，的=20，%=1&)，

所以d=01=8,

沏

解得夕=2.

所以劭)=9=10.

q

又因?yàn)椋玻那?0項(xiàng)成等差數(shù)列，5,=^=48,

所以［=&1二4二_2.

20-1

綜上，d=—2,q=2.

(II)｛2｝的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，d<0.

所以前20項(xiàng)為遞減數(shù)列.

前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為4=48.他“｝的后II項(xiàng)成等比數(shù)列，而%=10，4=2，

%=10?2"20（2藤米30曲wM）,

所以后11項(xiàng)為遞增數(shù)列.

后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為%>=10240,

綜上，數(shù)列｛a,,｝的最大項(xiàng)為第30項(xiàng)，其值為10240.

18.（14分）（2021?石景山區(qū)一模）某大型連鎖超市的市場(chǎng)部為了比較線下、線上這兩種模

式的銷售情況，從某地區(qū)眾多門店中隨機(jī)抽取8家門店，對(duì)其線下和線上這兩種銷售模式下

的日營(yíng)業(yè)額（單位：萬元）進(jìn)行調(diào)查.調(diào)查結(jié)果如下：

門店1門店2門店3門店4門店5門店6門店7門店8

線下96.5199.514.516.520.512.5

日營(yíng)業(yè)

額

線上11.591217192321.515

日營(yíng)業(yè)

額

若某門店一種銷售模式下的日營(yíng)業(yè)額不低于15萬元，則稱該門店在這種銷售模式下的日營(yíng)

業(yè)額達(dá)標(biāo)：否則就稱該門店在此種銷售模式下的日營(yíng)業(yè)額不達(dá)標(biāo).

若某門店的日營(yíng)業(yè)總額（線上和線下兩種銷售模式下的日營(yíng)業(yè)額之和）不低于30萬元，則

稱該門店的日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)；否則就稱該門店的日營(yíng)業(yè)總額不達(dá)標(biāo).

（各門店的營(yíng)業(yè)額之間互不影響）

（I）從8個(gè)樣本門店中隨機(jī)抽取3個(gè)，求抽取的3個(gè)門店的線下日營(yíng)業(yè)額均達(dá)標(biāo)的概率；

（II）若從該地區(qū)眾多門店中隨機(jī)抽取3個(gè)門店，記隨機(jī)變量X表示抽到的日營(yíng)業(yè)總額達(dá)

標(biāo)的門店個(gè)數(shù).以樣本門店的日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)的頻率作為一個(gè)門店的日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)的概

率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（III）線下日營(yíng)業(yè)額和線上日營(yíng)業(yè)額的樣本平均數(shù)分別記為從和〃2,線下日營(yíng)業(yè)額和線上

日營(yíng)業(yè)額的樣本方差分別記為S：和試判斷小和〃2的大小，以及5：和5；的大小.（結(jié)

論不要求證明）

【解答】解：（I）設(shè)“抽取的3個(gè)門店的線下日營(yíng)業(yè)額均達(dá)標(biāo)”為事件A,

由題意知，8個(gè)樣本門店中線下日營(yíng)業(yè)額達(dá)標(biāo)的有3家，

G=_L

所以P(A)=

C；56

所以抽取的3個(gè)門店的線下日營(yíng)業(yè)額均達(dá)標(biāo)的概率為.

56

（II）由題意，8個(gè)樣本門店中線下日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)的有4家，

所以從該地區(qū)眾多門店中任選1個(gè)門店，日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)的概率為工.

2

依題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P（X=O）=C；d）°（l-2）3=1；

228

P（X=1）=C；d）?（1-《）2=3；P（x=2）=C^（l）2（l-i）=|；P（X=3）=C；（g）3（l_：）°=J.

所以隨機(jī)變量X的分布列為:

X0123

P331

8888

其數(shù)學(xué)期望EX=0「+lx±+2x±+3xL=j

88882

(III)必<〃2，S；=S；.

19.（15分）（2021?石景山區(qū)一模）已知橢圓C:=13＞方＞0）的右焦點(diǎn)為尸。,0）,

且經(jīng)過點(diǎn)4-2,0）和點(diǎn)8（2,0）.

（I）求橢圓C的方程；

（II）M和N是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，四邊形AM8N是平行四邊形，直線AM、AN分

別交），軸于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，求四邊形APFQ面積的最小值.

【解答】解：（I）由已知“=2,c=l,

所以=/-c?=3.

所以橢圓C的方程為三+二=1.

43

（II）因?yàn)樗倪呅?W8V是平行四邊形，

所以43與MN的中點(diǎn)重合，所以用、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

設(shè)M（Xi，%）,則N（-X1,-yj.（x產(chǎn)±2且丫產(chǎn)0）怎加="4;

直線AM的方程為了=一匚（x+2）,

%+2

令X=0,得y=22L,即尸（0,_Z2L）,

X+2%1+2

X1-2

直線AV的方程為y=—J—（x+2）,

X）一2

令X=O,得＞=衛(wèi)」，即Q（o,22匚）.

Xj_2%-2

13

四邊形APPQ面積為51A尸

IPQR杏

X|+2X|-2Xj—4

因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，

所以*+去=1,-疑也小且%#0.

所以犬一4=一城.

所以|PQI=|9|-

y

所以當(dāng)X=±J5時(shí)，|PQ|,“M=2JL

所以四邊形APFQ面積的最小值為3G.

20.（15分）（2021?石景山區(qū)一模）己知函數(shù)/（x）=上山（aeR）.

ex

（I）當(dāng)。=一1時(shí)，求/（工）在x=0處的切線方程；

（II）已知/（戲,1對(duì)任意xcR恒成立，求。的值.

【解答】解：（I）當(dāng)。=一1時(shí)，/（%）=—,/\x）=—,

exex

所以/（o）=i,r（o）=-2

切線/的斜率為A=尸（0）=-2.

所以/（x）在x=0處的切線方程為y=-2x+l.

（II）依題意，/（戲,1對(duì)任意xeR恒成立，/&）=（1+◎）--（；+3（上）=ar+al

（e'ye'

當(dāng)a=0時(shí)，f\x）=,由于，＞0,則/'（x）＜0恒成立，

ex

所以/（x）在R內(nèi)單調(diào)遞減，

因?yàn)?（0）=1,

故當(dāng)x<0時(shí)、/(x)>1,不符合題意.

當(dāng)awO時(shí)，令/'(x)=O,#x=l--

a

當(dāng)a<0時(shí)，%=1-1>0,因?yàn)?(0)=1,那么無，((x),/(x)的變化情況如下表:

a

X1-1(1」,田)

(-00,1--)

aaa

廣㈤—0