2.2薛定諤繪景與海森堡繪景

一、量子動力學的兩種描述方法薛定諤繪景：i）態(tài)矢隨時間變化（通過作用于態(tài)矢的時間演化算符描述），ii）觀測量算符與時間無關(guān)。海森堡繪景:i)態(tài)矢與時間無關(guān),ii)觀測量算符隨時間變化海森堡繪景和薛定諤繪景是等價的。二、么正算符量子力學中么正算符有多種功用：1）一種表象的基矢與另一表象的基矢可由么正算符聯(lián)系，態(tài)矢本身不變，但其展開系數(shù)則因表象而變；2）作用于態(tài)矢的空間平移和時間演化算符。在這種么正算符作用下，態(tài)矢改變，但態(tài)矢的內(nèi)積不變：三、么正變換對態(tài)或算符作用的等價性由于可有兩種等價方法：1）態(tài)矢變（），算符不變；2）態(tài)矢不變，算符變例如對于無窮小平移算符，方法一：的期待值方法二：，兩者都得到相同的結(jié)果經(jīng)典物理并無態(tài)矢的概念，但有平移、時間演化等。平移和時間演化等作用于物理量如坐標，角動量等可觀測量而使其改變。因此，方法2）似乎與經(jīng)典力學的聯(lián)系更密切。四、薛定諤繪景與海森堡繪景中的態(tài)矢和觀測量在薛定諤繪景中態(tài)矢隨時間變化，這里，算符不變。在海森堡繪景，但在時，，在這兩種繪景中，算符的期待值是相同的，

五、海森堡運動方程對不是時間顯函數(shù)的情形（適于大部分物理問題），

（對）得Heisenberg運動方程：它是根據(jù)的定義和u的性質(zhì)推導出來的。五、海森堡運動方程（續(xù))經(jīng)典物理中，對不是時間顯函數(shù)的，有由此，根據(jù)Dirac的量子化規(guī)則便得海森堡運動方程。但在海森堡運動方程中可以無經(jīng)典對應，例如自旋算符也滿足（但不能寫成q和p的函數(shù)）

即經(jīng)典力學可由對應關(guān)系推出，反之卻不然六、量子力學與經(jīng)典力學觀察量的對應

時間演化算符的薛定諤方程和海森堡運動方程的使用都需要有合適的哈密頓算符H。對有經(jīng)典對應的物理體系，我們假定H與經(jīng)典物理有相同的形式而將經(jīng)典的和用量子力學的相應算符來代替。當對應規(guī)則牽涉不對易觀測量時，則要求H是厄米的。例如，經(jīng)典力學的乘積xp之量子力學對應為。物理體系無經(jīng)典對應時，需要猜想H算符的形式。猜想形式的正確性以所用H給出與實驗觀測結(jié)果相同來檢驗。在實際應用中經(jīng)常需要計算或與及的函數(shù)的對易關(guān)系。對此可使用公式：這里F及G分別是可以用和級數(shù)展開的函數(shù)，這兩式可通過級數(shù)展開及重復使用而得。七、自由粒子的運動

由經(jīng)典哈密頓的形式：并將觀測量和理解成Heisenberg繪景的算符，1）即對自由粒子，動量算符是運動常量，即。一般而言，若與H對易，則是運動常量。2）與勻速直線運動的經(jīng)典軌跡方程相似。由于不同時刻的坐標算符不對易根據(jù)測不準關(guān)系，表明粒子的位置會隨時間而變得越來越不確定(對應于波動力學的波包擴展)八、Ehrenfest定理考慮粒子在勢場中運動。是x，y，z算符的函數(shù)由于與對易，與自由粒子情形相同。

即，與牛頓第二定律相仿（海森堡繪景）取期望值，（適用于薛定諤和海森堡繪景）由于Ehrenfest定理里無(要求空間和時間平移算符中相關(guān)常數(shù)相等),波包中心的運動與經(jīng)典粒子受勢場作用的形式相同經(jīng)典粒子運動軌跡反映的是量子體系波包中心的位置變化！九、基矢在薛定諤繪景中，基矢滿足。因A與時間無關(guān)，故，基矢不隨時間變化，這與態(tài)矢隨時間變化是極不相同的。在海森堡繪景中，由時可推得基矢的本征方程為即基矢隨時間變化為?？梢姾ＩだL景的基矢與薛定諤繪景的態(tài)矢旋轉(zhuǎn)方向相反，前者滿足錯號的薛定諤方程：。注：基矢對應的本征值則由上可知不隨時間變化，與么正等價觀測量具有相同本征譜這點相一致。十、算符和態(tài)矢的展開算符的展開：與基矢隨時間按變化的情況一致態(tài)矢的展開：兩繪景中態(tài)矢的展開系數(shù)是相同的（薛定諤繪景）基矢態(tài)矢（海森堡繪景）基矢態(tài)矢基矢與態(tài)矢點積對i)基矢不變、態(tài)矢反時針旋轉(zhuǎn)，或ii)基矢順時針旋轉(zhuǎn)相同角度、態(tài)矢不變是相同的。注：原則上可以在海森堡繪景中堅持用不隨時間變化的基矢，這時展開系數(shù)也將不隨時間變化。只是這樣的話，基矢便不再是時的算符本征態(tài)了，理論上更復雜。十一、躍遷振幅初態(tài)為A的本征值為a’的本征態(tài)，在時間t被發(fā)現(xiàn)在B的本征值為b’的本征態(tài)的振幅，即躍遷振幅可計算為：薛定諤繪景,態(tài)矢為與時間無關(guān)，振幅海森堡繪景，態(tài)矢不變，基矢反方向演化，，振幅仍為。兩圖像完全等價兩繪景的差別可總結(jié)為薛定諤繪景海森堡繪景態(tài)矢變化（時間演化算符、薛定諤方程）不變觀測量不變變化（幺正變換、海森堡運動方程）基矢不變變化經(jīng)典力學與量子力學的比較基本假設(shè)經(jīng)典力學量子力學1粒子狀態(tài)由x(t)和p(t)表征，即是相空間{x,p}中的一個點粒子狀態(tài)由Hilbert空間中的矢量表征2力學量A是x和p的函數(shù)：A=A(x,p)力學量與厄米算符對應，A對應的算符為A(x,p)=A(x,p)3如粒子處于(x,p)狀態(tài)，測量A的結(jié)果為A(x,p)，粒子的狀態(tài)不變對處于態(tài)的粒子，測量A的結(jié)果是得到其本征值之一，ai,相應幾率為.由于測量，體系的狀態(tài)變?yōu)橄鄳?體系狀態(tài)隨時間的變化由Hamilton方程給出：態(tài)矢服從薛定諤方程

時間演化與薛定諤方程的導出：薛定諤方程的導出只需利用時間平移的基本性質(zhì)（但利用了經(jīng)典力學的哈密頓量是時間平移的生成元的概念）利用力學量算符與經(jīng)典物理量的對應或經(jīng)典力學的動量是空間平移生成元及空間平移的基本性質(zhì)，可導出Ehrenfest定理量子力學包含了經(jīng)典力學，即經(jīng)典力學只反映了一（?。┎糠至孔恿W描述的規(guī)律（力學量算符與經(jīng)典物理量的對應是可以由量子力學導出經(jīng)典力學的基礎(chǔ)。）海森堡運動方程量子力學與經(jīng)典力學觀測量的對應規(guī)則時間演化算符的形式解能量本征矢、定態(tài)回顧2.3簡諧振子

簡諧振子是量子力學中最重要的問題之一，可用于解釋量子力學的基本概念與方法，也在近代物理的許多分支包括分子光譜，固體物理，核結(jié)構(gòu)，量子場論，量子光學，量子統(tǒng)計等等領(lǐng)域有重要應用。歷史上正是Planck提出輻射振子的分立能量單位而導致了量子概念的產(chǎn)生。對諧振子量子性質(zhì)的深刻了解是近代物理學者所必需的。諧振子勢的基本重要性：可作為大量勢場的近似一、能量本征態(tài)和能量本征值諧振子的哈密頓量是ω是經(jīng)典振子的角頻率，與彈性常數(shù)k的關(guān)系是定義兩非厄米算符

根據(jù)x與p的對易關(guān)系，得定義故有，H與N對易而有共同本征態(tài)。設(shè)N的本征態(tài)滿足，則即能量能征值為二、產(chǎn)生、湮滅和粒子數(shù)算符由

得

即和也是N的本征態(tài),分別對應于本征值n+1和n-1由于把n加1或減1對應于產(chǎn)生或減少一個能量量子，故稱和分別為產(chǎn)生和湮滅算符。二、產(chǎn)生、湮滅和粒子數(shù)算符(續(xù))由于可寫出因，要避免出現(xiàn)要求n為整數(shù)，此時將在m>n時截斷為零矢量而不出現(xiàn)態(tài)。由于n為非負整數(shù)，N被稱為粒子數(shù)算符。最低能量狀態(tài)即基矢能量為，激發(fā)態(tài)即正n態(tài)的能量為.三、激發(fā)態(tài)、粒子數(shù)表象激發(fā)態(tài)可由及的性質(zhì)而寫出：

……

此外有：粒子數(shù)表象由可得在n表象中，x和p均非對角（x、p與N不對易）。四、本征波函數(shù)用算符的方法可得出坐標空間的能量本征函數(shù)。

這里表征振子長度。可以解得激發(fā)態(tài)可求出為 上式與厄米多項式

是等價的。五、本征態(tài)的一些性質(zhì)由波函數(shù)的對稱性得：基態(tài)時：,。

滿足最小測不準關(guān)系(基態(tài)波函數(shù)具有高斯形式)。由得 有六、振子的時間演化（解法一/海森堡繪景）

x，p的海森堡運動方程可表示為這對耦合方程等價于和的獨立微分方程：即六、振子的時間演化（續(xù)）或得解為與經(jīng)典x、p的運動形式相同。x、p算符