高考解析幾何題的推廣及背景溯源年高考理科第22題，是一道以橢圓為背景考查定值問題、最值問題和存在性問題一般化推廣，并對其背景作深度挖掘和溯源解析，與讀者交流。題目已知直線與橢圓交于兩不同點，且面積，其中為坐標(biāo)原點。(Ⅰ)證明和均為定值；(Ⅱ)設(shè)線段的中點為，求的最大值；(Ⅲ)橢圓上是否存在三點，使得若存在判斷的形狀；若不存在，請說明理由。一、推廣與簡解可求得，的最大值為，筆者對此結(jié)論作一般化推廣可得橢圓有如下性質(zhì):性質(zhì)已知直線與中心為的橢圓相交于，兩點，則(1)的面積最大值為，且當(dāng)時，有；(2)若線段的中點為，則的最大值為。簡解(1)設(shè)是直線上任意一點，則，又，因三點共線，所以，所以，此即為直線的方程。故點到直線的距離為。點評常規(guī)解法是先對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)件算的面積，顯然運算量小達(dá)到了以簡馭繁的效果。法1(用不等式性質(zhì))因，兩式相加并利用重要不等式和絕對值三角不等式得，故。當(dāng)且僅當(dāng)滿足①，且②，且異號③時等號成立。所以，故的面積最大其值為。.法2(用橢圓參數(shù)方程)設(shè)，，則不妨設(shè)，因為，所以或，所以，故。(2)法1由中點坐標(biāo)公式得，所以有故故所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。所以的最大值為。見這一條件是命題人精心設(shè)計的真可謂匠心獨運。二、背景溯源下面筆者對上述性質(zhì)中的(1)再給出一個較為直觀的解法。直線，設(shè)切線方程為，因為，所以，將其代入橢圓方程得整理得，由化簡得，，所以，故點到直線距離的最大值為，故的面積最大值為。解法知，，即是橢圓的兩條共軛半徑。對于橢圓的共軛問題有如下性質(zhì)(本文僅對性質(zhì)7進(jìn)行證明)。性質(zhì)1經(jīng)過橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑，若是橢圓的一條直徑，在橢圓上作與平則弦中點的軌跡是橢圓的一條直徑，我們稱直徑是的共軛直徑，與平行的任一弦叫做與兩共軛直徑分別平行的弦或半徑也共軛。顯然，橢圓的長軸和短軸是一對共軛直徑，任意一對長半軸和短半軸是一對共軛半徑。性質(zhì)2橢圓的長軸和短軸是橢圓的唯一的一對互相垂直的共軛直徑。若、是橢圓的一對非互相垂直的共軛直徑，則。性質(zhì)3若是橢圓的非直徑的弦，點是上一點，直線的斜率都存在，且滿足，則點是弦的中點，即共軛。性質(zhì)4若是橢圓的非直徑的弦，過弦中點的直線和的斜率都存在，且滿足，則直線過橢圓的中心。性質(zhì)5已知是中心為的橢圓的任一弦，則當(dāng)且僅當(dāng)半徑共軛時，質(zhì)6已知是橢圓的任一直徑，點是異于的任意一點，則當(dāng)且僅當(dāng)心半徑與直徑共軛時，的面積最大其值為。性質(zhì)7以橢圓的任意一對共軛直徑為對角線的四邊形的面積為定值，且該值即為該橢圓接四邊形面積的最大值。證明(1)設(shè)是橢圓的一對共軛直徑，由上述定理易知。.(2)設(shè)是橢圓的任一接四邊形，連，作直徑(若為直徑，則與重合)，再作的共軛直徑，由(1)知。顯當(dāng)且僅當(dāng)且即當(dāng)四邊形的對角線是一對共軛直徑時面積最大，其值為。圓是我們最熟悉的圖形，對于圓有如下概念和性質(zhì)：(1)經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，若是圓的一條直徑，在圓上作與平行的弦，則弦中點的軌跡是圓的一條直徑，并且這兩條直徑互相垂直。(2)平分弦(非直徑)的直徑必垂直于弦。(3)直徑的垂直平分線必過圓心。(4)垂直弦的直徑必平分這條弦。(5)已知是圓心為半徑為的圓的任一弦，則當(dāng)且僅當(dāng)半徑互相垂直時，的面積最大其(6)已知是圓心為半徑為的圓的任一直徑，點是異于的任意一點，則當(dāng)且僅當(dāng)心半徑與直徑垂直時，的面積最大其值為。(7)以半徑為的圓接四邊形中，對角線為直徑且互相垂直的四邊形面積最在其值為。由此可見，橢圓有關(guān)共軛的諸性質(zhì)是我們耳熟能詳?shù)膱A的相應(yīng)性質(zhì)的類比和推廣。參考文獻(xiàn).有心圓錐曲線與直徑相關(guān)的切線性質(zhì)[J