1第一章函數(shù)極限連續(xù)性考試要求3、理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.4、掌握基本的初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念.數(shù)左、右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間關系.性質(zhì)及四則運算法則7、掌握極限存在的兩個法則，利用兩個重要極限求極限的方法.比較方法，會用等價無窮小求極限.9、理解函數(shù)連續(xù)性概念(左連續(xù)與右連續(xù))，會判斷間斷點類型.10、了解連續(xù)函數(shù)性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性，最值定理，介值定理)，并會用這些性質(zhì).f(x+T)=f(x),當x<x時,f(x)<(>)f(x),則f(x)單調(diào)增加(減少)；判別的有界性的方法有兩個：一是利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有界；二是f(x)在開區(qū)間(a,b)上連續(xù)，且方法有兩個：一是利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定有界；二是f(x)在開區(qū)間(a,b)上連續(xù)，且[解]f[f(x)]=12例2討論下例函數(shù)的奇偶性：f(x)為奇函數(shù).奇偶性.4?有關積分上限函數(shù)F(x)=jxf(t)dt的奇偶性，若f(x)是連續(xù)的奇(偶)函數(shù)，則F(x)0是偶(奇)函數(shù).證明F(一x)=j一xf(t)dt一t=ujxf(一u)d(一u)=〈|(jx0f(u)du=F(x),當f(x)為奇函數(shù).000|l一jxf(u)du=一F(x),當f(x)為偶函數(shù)0例4設f(x)連續(xù)，則下列函數(shù)必為偶函數(shù)的為(A)jxf2(t)dt(B)jxf(t2)dt00 (C)jxt[f(t)一f(一t)]dt(D)jxt[f(t)+f(一t)]dt005?利用可導函數(shù)的奇偶性：若當f(x)為奇(偶)函數(shù)，則當f,(x)是偶(奇)函數(shù)，f,(x)是奇(偶)函數(shù).例6f(x)例6f(x)=在哪個區(qū)間上有界[解]limf(x)與limf(x)均存在x)一1+x)0一選(A).3考點2求未定型函數(shù)極限考點解析主要考查：求函數(shù)極限的幾種方法—利用兩個重要極限，有理化，洛比達法則，等價無窮小代換，變量替換，提取因子等常用方法。考試中常以填空和解答題出現(xiàn)002?等價無窮小代換：limf(x)lim(x).其中f(x)~(x),g(x)~(x).(xx).00xxg(x)xx(x)0003?洛比達法則:limf(x)(0)或()limf(x),f(x)與g(x)在U0(x)內(nèi)存在.00xxg(x)0xxg(x)0004?limf(x)Alimf(x)limf(x)Axx0xx0xx02(4)ex1~x;(5)ax1~xlna;(6)ln(1x)~x;(7)log(1x)~x;alna(8)axnaxn1…ax~ax(x0)(9)(1x)1~x(為實數(shù))nn111利用等價無窮小代換時，注意：只能在極限的乘除運算中使用等價無窮小代換，不能在極限的加減運算中使用，但在極限加減運算中可以略去高階無窮小.0典型例題0..利用等價無窮小代換時，注意：只能在極限的乘除運算中使用等價無窮小代換，不能在極限的加減運算中使用，但在極限加減運算中可以略去高階無窮小.0典型例題0..xxxxx例3求極限lim例3求極限limtann().x4n1n4[解]limf(x)=a,limf(x)=ax)0一x)0+1x)01+1例6求極限lim(幾).x)wex+x[解]lim幾=1,lim幾=1,x)wex+xx)一wex+xx)0x2x)wx2(1+cosxcos2x)2.例8求極限limln(cosx)x)02x24.例9求極限lim例9求極限limx)0xsinx.x)0xsinxx)0xsinx50000[解]求極限lim求極限lim(arcsinx)2.cosx131+sin2x7+=[解]原式=limx+x21+ex=3xx22.例12例12求極限lim[xx2ln(1+)].xx[解]原式(令1=t)=limtln(1+t)=lim1=1xt0t2t02(1+t)2.1212nxx11tx+3xx[解]xxxx3txtx[考點3]已知極限，確定參數(shù)或求另一函數(shù)極限[考點分析]已知某函數(shù)極限值，確定函數(shù)中的數(shù)，主要考查極限的運算法則及洛比達法則，多以選擇題形式出現(xiàn)[內(nèi)容方法提要].1?確定函數(shù)中的參數(shù).常利用結(jié)論：設limf(x)=A.且limf(x)=0(或limg(x)=0)xxg(x)xxxx6xxx)xx)x00如果有多個參數(shù)，用洛比達法則(要驗證洛比達法則的條件)，得到參數(shù)滿足的多個方x)nx)n.將其代入所求極限中即可.例1已知lim(x2-ax-b)=0,則x)wx+1 [答案](D)x)w113x)0x3x)0x)0x7l2l2xx)+w0002?將數(shù)列f(x)中x換為x，即變量連續(xù)化，用洛比達法則求之.極限，關鍵是對數(shù)列進行放大與縮小.夾逼準則：設(1)x共z共y(3)4?單調(diào)有界準則：單(減)且有上(下)界的數(shù)列，證明單調(diào)與有界時，例1例1(98年數(shù)四)求lim(ntan)n2.n)wn 1=tlimtant-t=1xn)0+t33.n2n)wn|1|1,[解]lima=〈x,n)wn|x2,例3(02年數(shù)二)設0<x<3,x=x(3-x),證明{x}極限存在，并求此極限.n2x故可令limx=An)wnn32[考點5]無窮小量階的比較[考點解析]主要考查無窮小量階的比較定義，考試以小題為主，有時也滲透到其他綜合題1?若limf(x)=C豐0,則f(x)與g(x)是同階無窮小.x)xg(x)若limf(x)=1,則f(x)與g(x)是等價無窮小，記f(x)~g(x).x)xg(x)若limf(x)=0,則f(x)o是比g(x)是高價無窮小，記f(x)~o(g(x)).x)xg(x)8若limf(x)c0,則f(x)是g(x)的k階無窮小.(其中f(x)0，g(x)0，xx或x)xx[g(x)]k002.無窮小量的比較，本質(zhì)上就是一個極限問題，有時也利用到等價無窮小代替等求極限方3.無窮小量的性質(zhì)：有限個無窮小之積仍是無窮??；有限個無窮小之和仍是無窮??；題~o();若~，~，則~.例1(1)設x0時etanxex與xn是同階無窮小，求n，求n.x0xnx0xn(2)2n14,得n2.1例2(03年數(shù)二)若x0時，(1ax2)41與xsinx是等價無窮小，則a4.、二、三)當x0時,f(x)xsinax與g(x)x2ln(1bx)是等價無窮小，11例4(02年數(shù)一)設f(x)在x0的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導數(shù)，且f(0)0,f(0)0，若ab考點6判別函數(shù)的連續(xù)性考點解析主要考查：會用連續(xù)性定義，連續(xù)的充要條件及連續(xù)函數(shù)的運算法則，判別函1.若limf(x)f(x),稱f(x)在x點連續(xù).xx00092?f(x)在x處連續(xù)一f(x)在x=x左連續(xù)又右連續(xù).03?連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商(分母不為零)是連續(xù)函數(shù).00連續(xù).yfxIxQyxI={yy=f(x),x=I}上的連續(xù)，且有相同的單調(diào)性.yx6?一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù).0(1)f(x)在x沒有定義.0(2)f(x)在x有定義，但limf(x)不存在.0x)x(3)f(x)在x有定義,limf(x)存在,但limf(x)士f(x).0x)xx)x000(1)g(x)f(x).(2)g[f(x)].(3)(g[f(x)])2.(4)f[g(x)].[答案](1)一定有斷點；(2)不一定；(3)不一定；(4)不一定.11上連續(xù).冗冗x)1一[考點7]討論函數(shù)間斷點[考點解析]1.若x是f(x)的間斷點，且limf(x)與limf(x)都存在，則稱x點為f(x)的第一類間斷點.0x)x_x)x+00x)x_x)x+000斷點.3.若f(x)以極限形式給出，先求出極限再討論間斷點類型，分段函數(shù)主要考查分界點處情形..4.ll2,(A)不連續(xù).(B)連續(xù)但不可導.(1(1(D)可導，且導數(shù)連續(xù).間斷點，并指出其類型.x)0+limfxlimfx=0,x=2是第一類間斷點.x)2x)x)2+例3討論f(x)=limxn+2_x_n的連續(xù)性.n)wxn+x_n是第一類間斷點(A)1(B)2(C)3(D)無窮多個.([解]limf(x)=-6a,limf(x)=2a2+4x)0-x)0+[考點8]閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)[考點解析]主要考查：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性，最值，介值定理，零點定理的簡單應用.理在討論方程f(x)=0的根時常用到.4?由介值定理知，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到它的最大值與最小值之間的一切值.3[解]由已知mM.例3設f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)=f(b),證明存在x[a,b]。使f(x)=f(x+ba).0002[證]令F(x)=f(x)f(x+ba)2則F(x)在[a,a+b]上連續(xù).22222002.002.2由已知F(a)與f(a+b)異號.2由零點定理，存在x(a，a+b)020第二章一元函數(shù)微分學考試要求1、理解導數(shù)和微分的概念，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關系.2、掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分.3、了解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù).4、會求分段函數(shù)的一階、二階導數(shù).5、會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導數(shù).6、理解并會用羅爾定理，拉格朗日中值定理和泰勒公式，了解并會用柯西中值定理。7、理解函數(shù)的極值概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應用.8、會用導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平，鉛直和斜漸近線，會描述函數(shù)的圖形.9、掌握用洛比達法則求未定式極限的方法.10、了解曲率和曲率半徑的概念，會求曲率和曲率半徑.[考點1]導數(shù)的定義[考點解析]正確理解導數(shù)的概念，可導的充要條件以及含絕對值函數(shù)的可導性，分段函數(shù)的導是主要考查內(nèi)容.imlimfxfx0編x)0編xx)xx一xf,(xf,(x)=A一f,(x)=f,(x)=A2?f,(x)存在不得出f,(x)在一U0(x)存0在，,(x)存在可得出f,(x)在U(x)內(nèi)存在3?設曲0線y=f(x),在x=x點可導，0則過(x,f(x))切線方程為y一f(x)=,(x)(xx),000000法線為y一f(x)=1(x一x).(f,(x)豐0)0f,(x)0004?當函數(shù)f(x)在點x處是否可導，事先不知道時，一般用定義求導.例如，分段函數(shù)在分界點0導數(shù).x)1x一1.x0x[答案]9f,(1)1?f,(x)=A一f,(x)=f,(x)=A.00+0f(x)在點x處是否可導，事先不知道；只知道f(x)在x一點可導；分段函數(shù)在分界點00處導數(shù)；函數(shù)f(x)具體表達式未給出，求f(x).典型例題例1設F(x)sin(xa)2(x),其中(x)在xa處有定義且在a的某鄰域內(nèi)有界，求F(a).[解]F(a)limsinx2(x(ax))0x0(x)2例2設yf(x)關于直線xa(a0)對稱，且f(a)存在，求f(a).[解]f(a)limf(ax)f(a)f(a)x0xf(a)0f(x)kf(x2),其中k為常數(shù) (1)寫出f(x)在[2，0)上表達；(2)問k為何值時,f(x)在x0處可導[解](1)當2x0時,f(x)kx(x2)(x4).2.2.(A)處(A)處處可導.(B)恰有一個不可導點.(C)恰有一個不可導點.(D)至少有三個不可導點[答案](C)考點3有關可導性的幾個常用結(jié)論考點解析可導性的幾個常用結(jié)論是指：可導與不可導函數(shù)的乘積的可導性；f(x)可導性與f(x)可導性的關系；可導函數(shù)的極限值等.考試多以選擇題出現(xiàn).內(nèi)容與方法提要1?設yf(x)在x處可導，yg(x)在x處連續(xù)但不可導，則F(x)f(x)g(x)在x處可導000000000x=x000x=x00000000000x)x++00存在，且f,(x)=limf,(x)=A.[典型例題0x)x0+x(A)充分必要條件(B)充分但非必要條件(C)必要但非充分條件(D)既非充分又非必要條件答案](A)fxxafxxa的充分條件是()答案](B)[考點4]導數(shù)計算[考點解析]復合函數(shù)，隱函數(shù)，參數(shù)方程確定函數(shù)，反函數(shù)求導是基本計算，大綱要求熟練dydydudxdudx4?設y=f(x)的反函數(shù)x=Q(y)，則dy=1.(dx士0)dxdxdyyffdydx2[解]dy=1dxx(1一f,(y))=一d2x+(y+sinx)(dx)3=0變換為y=y(x)滿足的微分方程.dy2dy[解]dxdx[解]=一=一dyy,,dy2(y,)3大題出現(xiàn)，解題的關鍵是輔助函數(shù).出發(fā)，去尋找輔助函數(shù)；二是原函數(shù)法，即利用積分去求輔助函數(shù)。(見例題)2222冗冗2fFxfxxk即可.010nn_1n)n)w22x)+wn)w0nnn)w導數(shù)的關系，是利用導數(shù)解決函數(shù)問題的橋梁，是考試中的難點之一.2.有關拉格朗日中值定理的證明題，關鍵是設適當?shù)妮o助函數(shù).設輔助函數(shù)的方法與羅爾定理相似，有分析法和原函數(shù)法(見例題)[典型例題].[證]xf(x)在[a,b]上應用LagrangeTH即可(2)存在兩個不同的點n與G仁(0,1)，使f,(n).f,(G)=1[證](1)令g(x)=f(x)+x一1,g(0)<0,g(1)>1,由零定理得證[考點7]柯西中值定理應用[考點解析]柯西中值定理應用較少在考試中出現(xiàn)，與羅爾定理或拉格朗日中值定理的綜合應用是難點[內(nèi)容與方法提要].柯西中值定理：設F(x),G(x)滿足:(1)F(x),G(x)在[a,b)上連續(xù)，(2)在(a,b)可導，且 xa[證](1)由f,(x)>0得f(x)>f(a)=0a[考點8]泰勒公式的應用[考點解析]泰勒公式是微積分中一個重要公式，在證明含中值飛的等式和不等式中經(jīng)常應用，其應用關鍵在適當點x處展開，即有n階導數(shù)的函數(shù)f(x)可用n次多項式函數(shù)表示，0度不大.0n!0(n+1)!0n!0(n+1)!00公式，一般要記住ex的公式.fxLagrange公式.00ff飛)6(2)將x=士a代入(1)式相減得12=.2a2再由介值定理得證.[證]在x點應用Taylor公式及已知條件.例3(02年數(shù)一，二)設f(x)在x=0某鄰域內(nèi)有一階連續(xù)導數(shù)，且f(0)士0,f,(0)士0,[解]將f(h)與f(2h)在x=0展開，代入已知等式得式[考點解析]用單調(diào)性證明不等式是一種常見題型，考試中經(jīng)常出現(xiàn)，一般難度中等。證明含兩個參數(shù)的不等式較多，應熟練掌握.1?設f(x)在區(qū)間I可導，f,(x)>0(<0)亭f(x)在I上單調(diào)增加(減少)，反之不一定成立，如2?證明f(x)之g(x),x=I,設輔助函數(shù)F(x)=f(x)一g(x);求導數(shù)F,(x),判別F,(x)符號，從而證結(jié)論.3、含兩個參數(shù)的不等式，可視其中一個參數(shù)為變量，另一個視為常量.1ln2ln(1+x)x2.(2)令F(x)=一ln(1+x)x,2求f,(x),f,(x)，由單調(diào)性可證.應力求計算準確000002?極值：(1)求f,(x)=0的點x及f,(x)不存在，(2)利用充分條件判別極值，當f,(x)xxxfx)<0,f(x)為極大值，當f,(x)>0,f(x)為極小值.0000003?注意極值點和拐點都不能在區(qū)間端點取得。(由其定義知)4?最值：求出f(x)的所有可能的極值點，與區(qū)間端點比較之，便得最值.3k0x)x(3)若lim0f(x)=a,b=lim[f(x)_ax],則y=ax+b為斜漸近線.x)wxx)w注意討論左、右極限.fxfx單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間，極值和拐點及漸近線方程.[解]f,(x)=,f,(x)=f(x)單增，(_6，_2)單減，f(_6)為極大值，(0,f(0))為拐點，幾例2(00年數(shù)三，四)求函數(shù)y=(x_1)e2+arctanx的單調(diào)區(qū)間和極值，并求漸近線幾[解](_w，_1)，(0，+w)單增，(_1，0)單減..幾幾例3設f,(x)=f,(x)=0,f,(x)>0則正確的是000(A)x是f(x)的駐點.(B)f(x)是f(x)的極大值.00(C)f(x)是f(x)的極小值.(D)(x，f(x))是f(x)的拐點.000[答案](C)例4設f(x)有二階連續(xù)導數(shù)，且f,(0)=0,limf,(x)=1,則x0x(A)f(0)是f(x)的極大值.(B)f(0)是f(x)的極小值.(C)(0,f(0))是f(x)的拐點.x[答案](B)(A)x=0是f(x)的極值點，但(0，0)不是y=f(x)的拐點.(B)x=0不是f(x)的極值點，但(0，0)是y=f(x)的拐點.(C)x=0是f(x)的極值點，且(0，0)是y=f(x)的拐點.(D)x=0不是f(x)的極值點，(0，0)也不是y=f(x)的拐點.[答案](C)yfxf,(x)的圖形[考點解析]根據(jù)y=f(x)的圖形確定其導函數(shù)y=f,(x)的圖形；根據(jù)f,(x)的圖形，確定f(x)的1?已知f(x)的圖形，先分析f(x)的單調(diào)性，凹凸性，與坐標軸的交點，極值點等性態(tài)，再根據(jù)這些性態(tài)在導函數(shù)上的反映，確定f,(x)的圖形.2?已知導函數(shù)f,(x)的圖形，先分析f,(x)的符號，為零的點，從而確定f(x)的單調(diào)性，極值點等性態(tài) 例1設y=f(x)在定義域可導，y=f(x)的圖形如圖所示，則y,=f,(x)的圖形為_____.例2(03年數(shù)一、二)設f(x)在(，+)內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形如圖所示，則f(x)有(A)一個極小值點和兩個極大值點.(B)兩個極小值點和一個極大值點.(C)兩個極小值點和兩個極大值點.(D)三個極小值點和一個極大值點.[考點解析]方程的實根，一般利用介值定理(零點定理)與微分中值定理進行討論，分兩類問題，不含參數(shù)和含參數(shù)方程的實根問題，是綜合題型.1?討論f(x)或f,(x)=0實根，先找出定義域(或所設區(qū)間)內(nèi)使f(x)變號的點，再討論單調(diào)性,從而確定實根個數(shù).(1)先求出f(x,k)的極值(最值)m=m(k)，M=M(k).實根的個數(shù).(3)注意討論函數(shù)的變化趨勢，如limf(x,k)=士,以便確定曲線是否與x軸相交.xlnx[][]1?原函數(shù)：若F(x)=f(x),稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù).(1)積分上限函數(shù)：F(x)=jxf(t)dt.x[a,b]a(2)若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則F(x)=jxf(t)dt是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù).且aF(x)=djxf(t)dt=f(x)dxafxaba可積的必要條件：若f(x)在[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上有界.可積的充分條件：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積；若f(x)在[a,b]上只有有限個第一類間斷點，則f(x)在[a,b]上可積.例1(05年數(shù)一，二)設F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，則(A)F(x)是偶函數(shù)一f(x)是奇函數(shù).(B)F(x)是奇函數(shù)一f(x)偶奇函數(shù).(C)F(x)是周期函數(shù)一f(x)是周期函數(shù).(D)F(x)是單調(diào)函數(shù)一f(x)是單調(diào)函數(shù).[答案](A)00(A)無界.(B)可導.(C)不連續(xù).(D)連續(xù).[答案](D)[考點2]積分變限函數(shù)求導問題[考點解析]作為函數(shù)的一種形式，積分變限函數(shù)在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，應熟練掌握.[內(nèi)容與方法提要]Q(x)221111例1設f(x)=j1-cosxsint2dt,g(x)=x5+x6,則當x)0時,f(x)是g(x)的()056j1-cosxsint2dt[解]由lim0=0,選(B)56x)0560并求limnf().n)wn[解]f,(0)=e-(arctanx)2=1切線為y=x.n)wn例4設f(x)連續(xù)，且limf(x)=2,F(x)=〈求F,(0).[考點3]對稱區(qū)間上的積分[考點分析]對稱區(qū)間上積分，考慮被積函數(shù)的奇偶性可以簡化積分計算.[內(nèi)容與方法提要]1.設f(x)在積分區(qū)間上連續(xù)，則[考點3]對稱區(qū)間上的積分[考點分析]對稱區(qū)間上積分，考慮被積函數(shù)的奇偶性可以簡化積分計算.[內(nèi)容與方法提要]1.設f(x)在積分區(qū)間上連續(xù)，則jafxdxjafxfxdx(|2ja0f(x)dx,當f(x)為偶函數(shù)時一a2一a|l0,當f(x)為奇函數(shù)時2.當非奇非偶時，可考慮用ja[f(x)+f(一x)]dx計算.[典型例題]0222一[考點4]分部積分法中的“移項”與“消項”[考點解析]分部積分中有兩種特殊的情形：“移項”與“消項”.[內(nèi)容與方法提要]所謂“移項”是指分部積分后“還原”再“移項”.從而求出積分；例3[解]I=jxdearctanx=xearctanx-jearctanxdx可得I=+可得I=+C[考點5]利用恒等變分[考點解析]在積分計算中，對某些積分利用恒等變形達到簡化積分計算目的.[內(nèi)容與方法提要例1求j1dxsin2xcos2x.[考點6]分部分2中的“先拆后分”[考點解析]有些積分，直接用分部積分法較繁，可考慮先將被積函數(shù)進行恒等變形，[考點7]分段函數(shù)和含對值函數(shù)積[考點解析]這兩類積分需要分區(qū)間積分或討論被積函數(shù)大小，去絕對值再積分[典型例題].x0[解]去絕對值后，分段積分可得0[考點8]周期函數(shù)的積分考]積函數(shù)具有周期性，可以利用周期:函數(shù)周期積分的性質(zhì)簡化計算.3.設f(x+T)=f(x),T為f(x)的周期則[典型例題],ja+Tf(x)dx=jTf(x)dx.jf(x)dx=nj0Tf(x)dx.00n為正整數(shù).爪24.4.[考點9]有理函數(shù)與三角有理式的積分[考點解析]有理分式的積分，先將有理分式部分分式化為簡單分式積分；三角有理式一[典]“萬能代換”化為有理函數(shù)積分，或用“湊微分法”I=limj一e1e)0+令由故[考點解析]無窮區(qū)間上積分與無界函數(shù)的積分，均是化為定積分的極限求之[典型例題].例1設lim(1+x)ax=jatetdt,則a=_____.x)wx一w22解]12解]124222[考點11]積分不等式與等式的證明[考點解析]利用積分的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性等證明有關積分不等式與等式，是考試難點[證]0000例2設f(x)在[0,2]內(nèi)有二階連續(xù)導數(shù)，且f(1)=0,證明j2f(x)dx共M,其中M=maxf,(x).3x仁[0,2][證]應用Taylor公式可得002020300012]定積分的應用[考點解析]按大綱要求，應會求平面圖形面積，旋轉(zhuǎn)體體積，弧長，函數(shù)平均值，功等adxxayca側(cè)aa側(cè)ay=f(x)在x仁[a,b]的平均值為y=1jbf(x)dx.D(1)求D的面積A.[解](1)切線為1e0206nn_1例2nn_1一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積.[解]切線為12041604160026012.[解]A=j0(_y)dx+j2(012.(1)討論L的凹凸性.(2)過點(_1，0)引L的切線，求切點(x,y),并寫出切線的方程.0(3)求此切線與L(對應x共x部分)及x軸所圍的平面圖形面積.0[解](1)d2y=_1<0故L是向上凸(2)切點為(2，3)，切線為y=x+13例5用鐵錘將一鐵釘釘入木版，設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板深度成正比，在第一次打擊時，鐵釘被擊入1cm,如果鐵錘每次打擊做功相同，問第n次打擊鐵釘被擊入多少厘米？[解]設第n次打擊被擊到xcm，則x=1n1102W=jx2kxdx=k(x2_x2)20221…W=jxnkxdx=k(x2_x2)nx2nn_1n1由W=W=…=W可得x2=n12nn故x=nn第四章空間解析幾何(數(shù)二、三不要求)xyzxyzxyzyaaa2xyyaaa2xyzaaa2xyzzaaa2xyzaaxxyyzzijkxyzbbbxyzbbbxyzaaaxyzxyzcccxyz0000pp」n亭pp?n=0亭A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=00000000022222222n1n2000Ax+By+Cz+D1、點到平面距離：d=000pp12(f(x,y)=0準線L：〈(f(y,z)=0a2b2c2a2b2a2b2c2九、投影方程柱面，旋轉(zhuǎn)曲面，錐面(圓錐)橢圓拋物面(旋轉(zhuǎn)拋物面)，球面(橢球面)ijk1111212122341111101111112將它們代入(2)式，并由點p的任意性，得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：4LLy周所成曲面方程。011011111110pyyQYyyL10pxyzppxyzpyc徑r=1111111.求)求簡，1.二重極限limf(x,y)=A.當(x,y)以不同路徑趨于(x,y)時，f(x,y)趨于不同值，或極限不x)xx)xy)y00存在,則limf(x,y)不存在.0x)xy)y002.若limf(x,y)=f(x,y),稱f(x,y)在(x,y)點連續(xù)；若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則0x)xy)y00x)xy)y00f(x,y)在D上有界，取得最值，且有介值性.0fxy)=limx00編x)0編xf,(x,y)=limy00編y)0編y0000?x?y0000?x?y00?x?y5.偏導數(shù)連續(xù)———)可微———)偏導存在.不可逆不可逆J不可逆偏導數(shù)連續(xù)———)連續(xù)一——)偏導存在.不可逆不可逆6.判別z=f(x,y)在(x,y)可微，按定義，只要證00)0？(是否趨于零)例1f(x,y)在(x,y)處f,(x,y),f,(x,y)存在，是f(x,y)在該點連續(xù)的00x00y00(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分又非必要條件[答案](D)(xy(xyff(0,0)=0xy但limf(x,y)=limxy,取y=kx可得x)0x)0x2+y2y)0y)0y例4(02年數(shù)一)考慮f(x,y)在(x,y)處四條性質(zhì)：(1)連續(xù)；(2)兩個偏導數(shù)連續(xù);0(3)可微；(4)兩個偏導數(shù)存在.則(A)(2))(3))(1)(B)(3))(2))()1(C)(3))(4))(1)(D)(3))(1))()4[答案](A)=.+.(1)=.+.(2)?x?y?u?v如如[答案].=(f1,+yf2,)(x+y)g,設z=f(x2一y2,exy)，f有二階連續(xù)偏導數(shù)，求?z,?z,?2z.?x?y?x?yzxfyexyfzyf+xexyf,?x12?y12f?x?y1112222?x(1,1)?y(1,1)dxx=1dxx=11212例4設u=f(x,y),f有二階連續(xù)偏導，求du,?2u.yz?y?zdz?x?y?zyy21z2z22yxyz12z322z22[考點解析]利用復合函數(shù)的求導法，解決隱函數(shù)的求導問題，是一個重要考點.1?由一個方程確定的隱函數(shù)：設F(x,y,z)確定z=z(x,y),則F,+F,.?z=0,F,+F,.?z=0,xz?xyz?yz?xF,?yF,zzGGxxdxdyzzy?x(dydz(dydzF,xGxG,dxdxyxz?z?zyy?x?yyy?x?y=?x?y?x?y方程組兩端對z求導=又故[考點4]函數(shù)極值與條件極值又故[考點解析]二元函數(shù)極值與條件極值，是考試的重要內(nèi)容.[內(nèi)容與方法提要](f,(x,y)=0AfxyBfxyC=f,(x,y).xx00xy00yy000000002.求二元函數(shù)f(x,y)在有界