第六節(jié)空間向量及其運(yùn)算1．空間向量空間中具有______________的量叫做空間向量．2．空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝______.(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a、b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝__________.(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝____________.大小和方向λbxa＋ybxa＋yb＋zc3．兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.a1b1＋a2b2＋a3b3

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

4．空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 1．(a·b)·c＝a·(b·c)成立嗎？ 【提示】

不一定成立．∵(a·b)·c表示一個(gè)與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，又c與a不一定共線，∴上式不一定成立． 2．若a，b是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，c＝xa＋yb，則表示c的有向線段與平面α是什么關(guān)系？【提示】

表示向量c的有向線段與平面α平行或在平面α內(nèi)．

1．(教材改編題)已知向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，向量p＝a＋b，q＝a－b，那么可以與p、q構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是`() A．a(chǎn)B．bC．cD．2a【答案】

C【答案】B 3．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝________. 【解析】

c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)， ∴(c－a)·(2b)＝0×2＋0×4＋(1－x)×2＝2－2x＝－2，∴x＝2. 【答案】

24．若三點(diǎn)A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一條直線上，則a＝________，b＝________.【答案】

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空間向量的線性運(yùn)算

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用向量的數(shù)乘和加減運(yùn)算化簡；(2)結(jié)合圖形，利用三角形(或平行四邊形)法則及數(shù)乘運(yùn)算法則求解． 1．選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的基本要求．如本例用表示.解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量．2．首尾相接的若干個(gè)向量的和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，求若干個(gè)向量的和，可以通過平移將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和問題解決．

共線向量與共面向量定理的應(yīng)用

空間蓮向量碑?dāng)?shù)量獵積及取應(yīng)用(2辰)設(shè)a＝(x，y，z)，由詠條件遼列方欣程求覆解x，y，z.從近蜂兩年甘的高患考試姜題看嚴(yán)，空咳間向咬量的擾概念愧及其能運(yùn)算悅在解網(wǎng)答題遇中單蠟獨(dú)命圈題較騰少，訊多置策于解純答題沖中作融為一葡種方傘法進(jìn)糧行考雙查，憶主要渣考查憤空間踐向量肯的坐棗標(biāo)運(yùn)裙算及坡數(shù)量暴積的貧應(yīng)用淚，但狡在解捎決幾歐何體翁中向縫量問吉題時(shí)飲，運(yùn)急用坐滅標(biāo)運(yùn)亞算，今恰當(dāng)默選取榜基底蛋是解刊決問這題的珠關(guān)鍵【答案】B易錯(cuò)莫提示巾：(1踏)本題節(jié)由于呢參與暗運(yùn)算繩的向始量較醬多，咐因?yàn)榧菊也粚毜酵宦云瓶趽希瑹o專從下劣手，酸盲目休選擇班而出潔錯(cuò)．(2冠)不能劇正確鈴選擇晝基底著，把忙題目哥中的斜向量狡用基再底表愿示出商來．防范何措施視：(1稿)掌握兼幾何盼體中例向量樓問題何的一及般解叼法：壺一是膨建立條坐標(biāo)釣系利淡用坐香標(biāo)運(yùn)抬算，鳥二是砌選取逃基向嶄量，品用基昂底表款示題劑中向港量進(jìn)嗚行計(jì)繡算．(2融)選擇逼題、淘填空嬸題中極也可扎以用脾特殊滋圖形礙計(jì)算型，本虜題也矮可以浙在正喪四面曾體中循計(jì)算脊出結(jié)毀果，稱從而妥做出岸選擇哀．2．(2崗01僅2·濟(jì)南譽(yù)模擬)如圖7－6－3，在45銜°的二老面角α－l－β的棱異