矩陣的相抵變換和秩線性方程組第1頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組§3.1消元法一.基本概念含有n個(gè)未知量,m個(gè)方程的線性方程組的一般形式如下a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)(非)齊次線性方程組,解,相容第2頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.1消元法設(shè)A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm則線性方程組可以寫(xiě)成Ax=b.x=x1x2…xn,解向量,解集,通解,同解第3頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

稱(chēng)A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn為(3.1)的系數(shù)矩陣,[A,b]=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………am1

am2…amnbm為(3.1)的增廣矩陣.第4頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

二.線性方程組的初等變換

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2

x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/21換法變換倍法變換消法變換階梯形方程組第5頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=0階梯形方程組(2)x1=5x3+1x2

=

2x32

x3

=

x3(任意)

最簡(jiǎn)形方程組或?qū)懗上蛄啃问接纱丝傻迷匠探M的通解x=5c+12c2c

,其中c為任意數(shù).第6頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

1.線性方程組的換法變換,倍法變換和消法變

換統(tǒng)稱(chēng)為線性方程組的初等變換.值得注意的是倍法變換必須用非零的常數(shù)去乘某一個(gè)方程.2.階梯形線性方程組的有三中基本類(lèi)型.例如2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

3第7頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

三.矩陣的初等變換

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2

x1+2x2x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2x3=3x2+2x3=

2

0=01/212

34

4121

32262輕裝上陣

121

32

34

411311/2121

30

12

201

222(1)121

3012200001增廣矩陣的初等變換第8頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

1.下面三種變換稱(chēng)為矩陣的初等行變換.把上述定義中的“行”換成“列”,即得到初等列變換的定義(相應(yīng)的記號(hào)是把“r”換成“c”).初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱(chēng)為初等變換.(1)對(duì)調(diào)兩行(對(duì)調(diào)i,j兩行記為ri

rj),(2)以非零的數(shù)k乘某一行中的所有元素

(第i行乘以k記為ri

k),(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去(第j行的k倍加到第i行記為ri+krj).第9頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

2.階梯形矩陣與行簡(jiǎn)化階梯陣則稱(chēng)A為階梯形矩陣(簡(jiǎn)稱(chēng)階梯陣).這時(shí)稱(chēng)A

中非零行的行數(shù)為A的階梯數(shù).例如如果矩陣A滿足如下條件若A有零行(元素全為零的行),則零行位于最下方,非零行的非零首元(自左至右第一個(gè)不為零的元)的列標(biāo)隨行標(biāo)的遞增而遞增,1100401022000230000411204013220002300000,第10頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

則稱(chēng)A為行簡(jiǎn)化階梯陣.例如如果階梯陣A還滿足如下條件各非零首元全為1,非零行首元所在列的其余元素全為0,1

0

201013020001000000注:用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:任何一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯陣.第11頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

3.階梯陣的形狀與線性方程組的解.2x1+3x2x3=1

2x2+x3=2

0=1x1x2+2x3=8

2x2+x3=

1

x3=5x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0無(wú)解有唯一解有無(wú)數(shù)解2

3

41

021

200011

128

021

1001512

1

1

2

0014300000解的數(shù)目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r2=r1+1r2=r1=n

第12頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

例1.設(shè)有線性方程組問(wèn)為何值時(shí),此方程組(1)有唯一解;(2)無(wú)解;(3)有無(wú)窮多解?并在有無(wú)窮多解時(shí)求其通解.解:對(duì)其增廣矩陣[A,b]作初等行變換,化為階梯形.第13頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

1+

11011+13111+

[A,b]=

111+

11+131+

110(1)

111+

0

3

1+

110111+

0

3

0

(2+)(1+)(1

)111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)1第14頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)(1)當(dāng)0且3時(shí),方程組有唯一解;(2)當(dāng)

=0時(shí),方程組無(wú)解;(3)當(dāng)

=3時(shí),方程組有無(wú)窮多解.此時(shí)111+

0

3

00

(3+)(1)(3+)112

3033

60000=112

301120000101

101120000(1)()13定理3.9第15頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

101

101120000令x3=c,則x1x2x3(c為任意實(shí)數(shù)).1

11=c120+由此可得原方程組的通解x1=x31x2

=

x32

x3

=

x3(任意)

因而原方程組化為x1

x3=1x2

x3

=

2第16頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.1消元法第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

四.齊次線性方程組有非零解的一個(gè)充分條件

定理3.1.設(shè)ARmn.若m<n(方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)),則齊次線性方程組Ax=有非零解,且其通解中至少含nm個(gè)自由未知量.例2.解齊次線性方程組

x1

x23x3+x4

=02x12x25x3+3x4

=0

4x14x2+3x3+19x4

=0x1

x22x3+2x4

=0見(jiàn)課本第110-111頁(yè).第17頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩一.線性組合,線性表示1.給定向量組A:1,2,…,s,對(duì)于任意一組實(shí)數(shù)k1,k2,…,ks,我們把k11+k22+…+kss稱(chēng)為向量組A的一個(gè)線性組合,k1,k2,…,ks稱(chēng)為這個(gè)線性組合的組合系數(shù).第18頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩2.給定向量組1,2,…,s,和一個(gè)向量,若存在一組實(shí)數(shù)k1,k2,…,ks,使得

=k11+k22+…+kss則稱(chēng)向量能由向量組1,2,…,s線性表示.令A(yù)=[1,2,…,s],則向量能由向量組1,2,…,s線性表示的充分必要條件是線性方程組Ax=有解.例3.設(shè)1=[1+,1,1]T,2=[1,1+,1]T,3=[1,1,1+]T,=[0,3,].問(wèn)為何值時(shí),能由向量組1,2,3線性表示.第19頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩I:1,2,…,rII:1,2,…,s若II組中的每個(gè)向量都能由I組中的向量線性表示,則稱(chēng)向量組II能由向量組I線性表示.若向量組II能由向量組I線性表示;同時(shí)向量組I能由向量組II線性表示,則稱(chēng)這兩個(gè)向量組等價(jià).3.給定兩個(gè)向量組第20頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩例4.設(shè)有兩個(gè)向量組I:1=[1,1],2=[1,1],3=[2,1],II:1=[1,0],2=[1,2].即I可以由II線性表示.則1=1+2,21212=12,23213=1+2,2321即II可以由I線性表示.1=1+2+03,21212=12+03,2321故向量組I與II等價(jià).第21頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩注:向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有以下三條性質(zhì):

①反身性:每個(gè)向量組都與它自身等價(jià).

②對(duì)稱(chēng)性:若向量組I與II等價(jià),則II與I等價(jià).③傳遞性:若向量組I與II等價(jià),II與III等價(jià),

則I與III等價(jià).數(shù)學(xué)中把具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱(chēng)為等價(jià)關(guān)系,例如方程組之間的同解關(guān)系也是一種等價(jià)關(guān)系.以后還會(huì)遇到類(lèi)似的情形.第22頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩二.向量組的線性相關(guān)性1.定義:給定向量組1,2,…,sRn,則稱(chēng)該向量組線性相關(guān).否則,稱(chēng)之為線性無(wú)關(guān)的.k11+k22+…+kss=

k1=k2=…=ks=0若存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使得

k11+k22+…+kss=,若記矩陣A=[1,2,…,s],則1,2,…,s線性相關(guān)Ax=有非零解.第23頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩例5.Rn的基本向量組

e1=100···0,e2=010···0,…,en=00···01線性無(wú)關(guān)且Rn中任一向量都能由該向量組線性表示.例6.設(shè)1,2,3線性無(wú)關(guān),證明1=1+2+3,2=2+3,3=3也線性無(wú)關(guān).第24頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩2.特殊情形的幾何意義:(1)s=1:一個(gè)幾何向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)=.(2)s=2:兩個(gè)幾何向量1,2構(gòu)成的向量組

線性相關(guān)12.(3)s=3:三個(gè)幾何向量1,2,3構(gòu)成的向量組線性相關(guān)1,2,3共面.第25頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩3.幾個(gè)常用的結(jié)論:(1)含有零向量的向量組一定線性相關(guān).(3)兩個(gè)向量,構(gòu)成的向量組線性相關(guān)

與的分量成比例.(4)若1,2,…,s線性相關(guān),

則1,2,…,s,s+1,…,t也線性相關(guān).(2)單個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān)

=.(5)任意n+1個(gè)n維向量線性相關(guān).反之,若1,2,…,s,s+1,…,t線性無(wú)關(guān),則1,2,…,s也線性無(wú)關(guān).第26頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩1122ss(6)如果向量組,,…,線性相關(guān),其中1,2,…,s是維數(shù)相同的列向量,1,2,…,s也是維數(shù)相同的列向量,則1,2,…,s也是線性相關(guān)的.反之,若1,2,…,s線性無(wú)關(guān),則也是線性無(wú)關(guān)的.,,…,1122ss第27頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩三.幾個(gè)重要的結(jié)論定理3.2.向量組1,2,…,s(s2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有某一個(gè)向量可由其余的向量線性表示.定理3.3(唯一表示定理).若向量組1,2,…,s線性無(wú)關(guān),而1,2,…,s,線性相關(guān),則一定能由1,2,…,s線性表示,并且表示的方式是唯一的.第28頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩定理3.4.若向量組I:1,2,…,s可由向量組II:1,2,…,t

線性表示,并且s>t,則向量組I是線性相關(guān)的.證明:設(shè)j=k1j1+k2j2+…+ktjt(j=1,…,s),并記矩陣A=[1,2,…,s],C=[kij]ts,B=[1,2,…,t],則A=BC.由s>t及定理3.1可得線性方程組Cx=

有非零解.因而線性方程組Ax=有非零解.所以向量組I是線性相關(guān)的.第29頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩定理3.4.若向量組I:1,2,…,s可由向量組II:1,2,…,t

線性表示,并且s>t,則向量組I是線性相關(guān)的.若向量組1,2,…,s線性無(wú)關(guān),且可由1,2,…,t線性表示,則若向量組1,2,…,s和1,2,…,t

都線性無(wú)關(guān),并且這兩個(gè)向量組等價(jià),則推論b.st.s=t.推論a.第30頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩四.向量組的極大無(wú)關(guān)組1.定義如果向量組I的部分組I0滿足以下列條件,則稱(chēng)I0為I的一個(gè)極大(線性)無(wú)關(guān)組:(i)向量組I0是線性無(wú)關(guān)的;(ii)I中任一向量都可由I0線性表示.I0中向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量組I的秩.記為秩(I)或r(I).注:只含零向量的向量組沒(méi)有最大無(wú)關(guān)組,規(guī)定它的秩為0.第31頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩命題3.1.設(shè)I0:1,2,…,r是I:1,2,…,s

的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,則I0與I等價(jià).證明:一方面,1=11+02+…+0s,2=01+12+03+…+0s,…,r=01+…+0r1+1r+0r+1+…+0s,可見(jiàn)I0可由I線性表示.另一方面由定義可知I可由I0線性表示.所以I0與I等價(jià).第32頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.2向量組的線性相關(guān)性和秩定理3.5.若向量組I:1,2,…,s可由向量組II:1,2,…,t

線性表示,則秩(I)秩(II);若這兩個(gè)向量組等價(jià),則秩(I)=秩(II).例7.設(shè)1,2,3Rn.1=1+2+3,2=2+3,

3=3.證明:1,2,3線性無(wú)關(guān)1,2,

3線性無(wú)關(guān).例8.設(shè)1,2,…,nRn.證明:它們線性無(wú)關(guān)Rn中任一向量都能由它們線性表示.第33頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩§3.3矩陣的秩一.行秩與列秩1.定義一個(gè)矩陣的行向量組的秩稱(chēng)為這個(gè)矩陣的行秩,列向量組的秩稱(chēng)為它的列秩.2.性質(zhì)命題3.2.階梯形矩陣的行秩等于它的非零行數(shù)目.命題3.3.階梯形矩陣的行秩與列秩相等.第34頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩命題3.4.若矩陣A經(jīng)過(guò)(有限次)初等行變換變成B,則A,B的行向量組等價(jià),從而A,

B的行秩相等.這就是說(shuō)初等行變換不改變矩陣的行秩.命題3.5.初等行變換不改變矩陣的列秩.定理3.6.矩陣的行秩與列秩相等,并且在初等變換下不變.3.矩陣A的行秩和列秩統(tǒng)稱(chēng)為矩陣A的秩.

記為秩(A)或r(A).第35頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩3

=–1–2,5

=41+32–34.初等行變換例9.求矩陣組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把其余列向量用這個(gè)最大無(wú)關(guān)組線性表示出來(lái).的列向量解:故A的第1,2,4列為A的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,第36頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩簡(jiǎn)記為A

:1,2,…,s,C

:1,2,…,n.若j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs,j=1,2,…,n,即=12n12s第37頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩B:C:簡(jiǎn)記為B:1,2,…,s,C

:1,2,…,m.若i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m,即=12m12s第38頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩=命題3.6.秩(AB)min{秩(A),秩(B)}.

矩陣的乘積Cmn

=

AmsBsn,行向量i=ai11

+ai22

+…+aiss,i=1,2,…,m.列向量j=b1j1

+b2j2

+…+bsjs,j=1,2,…,n,向量組的線性表示:第39頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩二.矩陣的秩與行列式的關(guān)系定理3.7.n階方陣A的秩等于n的充分必要條件是A的行列式|A|不等于零,即A是非退化的.1.設(shè)A為mn矩陣.若秩(A)=m,則稱(chēng)A為行滿秩的;若秩(A)=n,則稱(chēng)A為列滿秩的.特別地,若一個(gè)方陣的秩等于它的階數(shù)則稱(chēng)之為滿秩的.注:由此可見(jiàn),方陣A滿秩|A|0A非退化A可逆.

第40頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩2.在mn矩陣A中,任取k行與k列(km,kn),

位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素,不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式稱(chēng)為矩陣A的一個(gè)k級(jí)子式.

這樣的子式共有

個(gè).例10.A=2041

013240822,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.有34個(gè)1級(jí)子式:第41頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩2041

01324082的2級(jí)子式有36個(gè):0413,0112,4132,2001,2403,2102,0408,0102,

4182,20

40,24

48,21

42,0140,

3282.0348,0242,1308,1202,3級(jí)子式有14個(gè):204

013408201

012402241

032482041132082====0.第42頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩性質(zhì)1.若A有一個(gè)k級(jí)子式不等于零,則秩(A)

k.a11

a21

…

ak1

ak+1,1

…am1

a12

a22

…

ak2

ak+1,2

…am2

………

…

………a1k

a2k

…

akk

ak+1,k

…amk

a1,k+1a2,k+1

…ak,k+1

ak+1,k+1

…am,k+1…………………a1n

a2n…aknak+1,n

…amn

定理3.7

§3.2二.3.(6)

第43頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩性質(zhì)2.若A的所有k級(jí)子式都等于零,則秩(A)

<k.a11

a21

…

ak1

ak+1,1

…am1

a12

a22

…

ak2

ak+1,2

…am2

………

…

………a1k

a2k

…

akk

ak+1,k

…amk

a1,k+1a2,k+1

…ak,k+1

ak+1,k+1

…am,k+1…………………a1n

a2n…aknak+1,n

…amn

第44頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.3矩陣的秩定理3.8.矩陣A的秩等于r的充分必要條件是A中至少有一個(gè)r級(jí)子式不等于零,而當(dāng)k>r時(shí),A的任一k級(jí)子式(如果還有的話)都為零.2級(jí)子式2001=20,而A的所有3級(jí)子式如例10中的矩陣A=2041

01324082有一個(gè)都等于0,所以秩(A)=2.第45頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)一.線性方程組的相容性

回憶§3.1.三.3.一般地,我們有如下結(jié)論:定理3.9.設(shè)ARmn,bRm,則(1)Ax=b有解秩([A,b])=秩(A);

(2)當(dāng)秩([A,b])=秩(A)=n時(shí),Ax=b有唯一解;(3)當(dāng)秩([A,b])=秩(A)<n時(shí),Ax=b有無(wú)窮多解,且通解中含有n秩(A)

個(gè)自由未知量.例1第46頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

二.齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

1.解向量的性質(zhì)事實(shí)上,A

=A(k)=k(A)=.性質(zhì)1.若,都是Ax=的解向量,則+也是Ax=的解向量.事實(shí)上,A

=,A

=A(+)=A+A=.性質(zhì)2.若是Ax=的解向量,kR,則k也是Ax=的解向量.綜上所述,若,都是Ax=的解向量,k1,k2R,則k1

+k2也是Ax=的解向量.§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)第47頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

2.如果齊次線性方程組Ax=的一組解1,2,…,s

滿足下列條件,那么就稱(chēng)這組解為該

齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系:(1)1,2,…,s線性無(wú)關(guān);(2)Ax=的任一解都可以由1,2,…,s線性表示.3.如果1,2,…,s是齊次線性方程組Ax=的一個(gè)基礎(chǔ)解系,那么該方程組的通解就可以表示成

=k11+k22+…+kss,其中k1,k2,…,

ks為常數(shù).這種形式的通解稱(chēng)為Ax=的結(jié)構(gòu)

式通解.§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)第48頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理3.10.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=

沒(méi)有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=

確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個(gè)解向量.x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

xr+1=

xr+1

xr+2=

xr+2

xn=

xn

………第49頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理3.10.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=

沒(méi)有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=

確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個(gè)解向量.=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1第50頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理3.10.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=

沒(méi)有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=

確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個(gè)解向量.=xr+1

+xr+2

+…+xn

x1

x2

…xr

xr+1xr+2

…xn

c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…1第51頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理3.10.設(shè)ARmn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,則Ax=

沒(méi)有基礎(chǔ)解系;(2)若r<n,則Ax=

確有基礎(chǔ)解系,且任一基礎(chǔ)解系中均含有nr個(gè)解向量.1=,c1,r+1

c2,r+1

…cr,r+1

10…0c1,r+2

c2,r+2

…cr,r+2

01…0c1n

c2n

…crn

00…12=,nr=.第52頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)1.與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組也是基礎(chǔ)解系.例11.證明秩(ATA)=秩(A).證明:設(shè)A為mn的矩陣,x為n維列向量.

注意到Ax

=(ATA)x

=

xT(ATA)x

=(Ax)T(Ax)

=Ax

=.

故Ax

=0與(ATA)x

=

同解,

因此n–秩(ATA)=n–秩(A).

進(jìn)而得秩(ATA)=秩(A).第53頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)4.解齊次線性方程組Amnx=的一般步驟A初等行變換行階梯形秩(A)<n?行最簡(jiǎn)形解最簡(jiǎn)方程只有零解N初等行變換Y性質(zhì)2.若ARmn,秩(A)=

r,則Ax=

的任意

nr個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量是Ax=

的基礎(chǔ)解系.第54頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)例12.求的基礎(chǔ)解系與通解.解:初等行變換該方程組的基礎(chǔ)解系可取為通解為第55頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)注:若依次取則于是得基礎(chǔ)解系通解容易驗(yàn)證1,2與1,2等價(jià).第56頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)另解:初等行變換該方程組的基礎(chǔ)解系可取為通解為故原方程化為第57頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)三.非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

1.齊次線性方程組Ax

=稱(chēng)為非齊次線性方程組Ax

=b

的導(dǎo)出組.性質(zhì)1.設(shè)1,2都是Ax

=b的解,則1–2是

Ax

=的解.性質(zhì)2.是Ax

=b的解,是Ax

=的解,則

+是Ax

=b的解.2.非齊次線性方程組的解向量的性質(zhì)第58頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理3.11.設(shè)*是Ax

=b的一個(gè)解,1,…,nr

是Ax

=的基礎(chǔ)解系,則Ax

=b的結(jié)

構(gòu)式通解為

x=k11

+…+knrnr+*.

稱(chēng)*為Ax

=b的一個(gè)特解.3.解非齊次線性方程組Amnx=b的一般步驟[Ab]初等行變換行階梯形秩(A)=秩([Ab])?行最簡(jiǎn)形解最簡(jiǎn)方程無(wú)解N初等行變換Y第59頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)解:初等行變換可見(jiàn)原方程組有解,且例13.求方程組的通解.第60頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)由此可得原方程組的結(jié)構(gòu)式通解可見(jiàn)原方程組有解,且第61頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)四.直線平面的相對(duì)位置

1.兩直線的相對(duì)位置A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0L1:L2:A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0記A=A1

B1

C1A2

B2

C2A3

B3

C3A4

B4

C4,A=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3A4

B4

C4

D4.~第62頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.4線性方程組解的結(jié)構(gòu)2.三平面的相對(duì)位置1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z+D2=03:A3x+B3y+C3z+D3=0記A=A1

B1

C1A2

B2

C2A3

B3

C3,A=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3.~第63頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算一.初等變換和初等矩陣1.由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣.

按定義,初等矩陣共有如下3類(lèi):Iri

rjPij

Ici

cjPij

IrikPi(k)IcikPi(k)Iri+krjPij(k)Ici+kcjPji(k)(1)(2)(3)第64頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算Pij=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列第65頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算Pi(k)=第i行1k

11第i列1第66頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算Pij(k)=第i行1……k1

1……第j行第i列第j列1第67頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算2.初等矩陣的性質(zhì)命題.初等矩陣都可逆,且Pij1=Pij,(Pi(k))1=Pi(1/k),(Pij(k))1=Pij(k).定理3.12.對(duì)mn矩陣A進(jìn)行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的初等矩陣;對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的初等矩陣.第68頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算010100001abcxyz123,=xyzabc123010100001a

x

1b

y

2c

z3,=x

a

1y

b

2z

c31k0010001abcxyz123,=a+kxb+kyc+kzxyz1231k0010001a

x

1b

y

2c

z3.=a

ak+x

1b

bk+y

2c

ck+z310001000kabcxyz123,=a

bcx

yzk

2k

3k10001000ka

x

1b

y

2c

z3,=a

x

kb

y

2kc

z

3k第69頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算二.相抵標(biāo)準(zhǔn)形2.性質(zhì)

(1)反身性:A≈A.

(2)對(duì)稱(chēng)性:A≈B

B≈A.(3)傳遞性:A≈B,B≈C

A≈C.1.若矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成矩陣

B,就稱(chēng)矩陣A與矩陣B是相抵的(有的書(shū)上稱(chēng)為等價(jià)).記為A≈B.這就是說(shuō),矩陣間的相抵關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系.第70頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算相抵標(biāo)準(zhǔn)形.Ir

Or(nr)O(mr)r

O(mr)(nr)3.記,若mn矩陣A與相抵,則稱(chēng)為A的1

00022

003000423

05460初等行變換初等行變換1

00001

003000001

05420初等列變換1

00001

00001

0000000002111623463331042

614513

9例如,第71頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算初等行變換行階梯形Amn

行最簡(jiǎn)形相抵標(biāo)準(zhǔn)形Ir

Or(nr)O(mr)r

O(mr)(nr)一般地,初等行變換初等列變換定理3.13.mn矩陣A,B相抵秩(A)=秩(B).證明:()因?yàn)槌醯茸儞Q不改變矩陣的秩.則A≈,由相抵的傳遞性可得A≈B.()設(shè)秩(A)=秩(B)=r.且B≈,第72頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算品名:矩陣規(guī)格:mn

數(shù)量:

產(chǎn)地:SEU

小心輕放堆碼層數(shù)向上怕濕防潮

………………………包裝說(shuō)明:內(nèi)有無(wú)數(shù)mn矩陣,按秩的不同共分為min{m,n}+1包.第73頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

4.矩陣相抵與向量組等價(jià)初等行變換矩陣A與B的行向量組等價(jià)B的行向量組能由A的行向量組線性表示A的行向量組能由B的行向量組線性表示初等行變換§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算第74頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算矩陣A與B的列向量組等價(jià)B的列向量組能由A的列向量組線性表示A的列向量組能由B的列向量組線性表示初等列變換初等列變換第75頁(yè)，共89頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第三章矩陣的相抵變換和秩·線性方程組

§3.5相抵標(biāo)準(zhǔn)形與逆矩陣的計(jì)算注:初等行變換(1)無(wú)法通過(guò)初等列變換實(shí)現(xiàn)矩陣A與B的行向