（北師大版）數(shù)學(xué)必修4全套教案

§1周期現(xiàn)象與周期函數(shù)（1課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能

（1）了解周期現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中廣泛存在；（2）感受周期現(xiàn)象對(duì)實(shí)

際工作的意義；（3）理解周期函數(shù)的概念；（4）能熟練地判斷簡(jiǎn)

單的實(shí)際問(wèn)題的周期；（5）能利用周期函數(shù)定義進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)用。

過(guò)程與方法

通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)、時(shí)鐘的圓周運(yùn)動(dòng)、潮汐、波浪、四季

變化等，讓學(xué)生感知周期現(xiàn)象；從數(shù)學(xué)的角度分析這種現(xiàn)象，就

可以得到周期函數(shù)的定義；根據(jù)周期性的定義，再在實(shí)踐中加以

應(yīng)用。

情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)周期現(xiàn)象有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，感受

生活中處處有數(shù)學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好

數(shù)學(xué)的信心，學(xué)會(huì)運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：感受周期現(xiàn)象的存在，會(huì)判斷是否為周期現(xiàn)象。

難點(diǎn)：周期函數(shù)概念的理解，以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又指導(dǎo)于生活。在大千世界有很多的現(xiàn)

象，通過(guò)具體現(xiàn)象讓學(xué)生通過(guò)觀察、類(lèi)比、思考、交流、討論，

感知周期現(xiàn)象的存在。并在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)周期性的定義，再應(yīng)用

于實(shí)踐。

教學(xué)用具：實(shí)物、圖片、投影儀

四、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

同學(xué)們：我們生活在海南島非常幸福，可以經(jīng)?？吹酱蠛＃找?/p>

我們的情操。眾所周知，海水會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象，大約在每一晝夜

的時(shí)間里，潮水會(huì)漲落兩次，這種現(xiàn)象就是我們今天要學(xué)到的周

期現(xiàn)象。再比如，［取出一個(gè)鐘表，實(shí)際操作］我們發(fā)現(xiàn)鐘表上的

時(shí)針、分針和秒針每經(jīng)過(guò)一周就會(huì)重復(fù)，這也是一種周期現(xiàn)象。

所以，我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù)。

（板書(shū)課題）

【探究新知】

1.我們已經(jīng)知道，潮汐、鐘表都是一種周期現(xiàn)象，請(qǐng)同學(xué)們觀

察錢(qián)塘江潮的圖片（投影圖片），注意波浪是怎樣變化的？可見(jiàn),

波浪每隔一段時(shí)間會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，這也是一種周期現(xiàn)象。請(qǐng)你舉出

生活中存在周期現(xiàn)象的例子。（單擺運(yùn)動(dòng)、四季變化等）

（板書(shū)：一、我們生活中的周期現(xiàn)象）

2.那么我們?cè)鯓訌臄?shù)學(xué)的角度研究周期現(xiàn)象呢？教師引導(dǎo)學(xué)生

自主學(xué)習(xí)課本P3——P4的相關(guān)內(nèi)容，并思考回答下列問(wèn)題：

①如何理解“散點(diǎn)圖”？

②圖1-1中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示什么？

③如何理解圖1-1中的“H/m”和“t/h”?

④對(duì)于周期函數(shù)的定義，你的理解是怎樣？

以上問(wèn)題都由學(xué)生來(lái)回答，教師加以點(diǎn)撥并總結(jié)：周期函數(shù)定義

的理解要掌握三個(gè)條件，即存在不為0的常數(shù)T;x必須是定義

域內(nèi)的任意值；f(x+T)=f(x)。

(板書(shū)：二、周期函數(shù)的概念)

3.[展示投影]練習(xí)：

已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)定義域內(nèi)的任意x,均存在非零常數(shù)T,使

得f(x+T)=f(x)。

求f(x+2T),f(x+3T)

略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x)

f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x)

本題小結(jié)，由學(xué)生完成，總結(jié)出“周期函數(shù)的周期有無(wú)數(shù)個(gè)”，

教師指出一般情況下，為避免引起混淆，特指最小正周期。

(2)已知函數(shù)f(x)是R上的周期為5的周期函數(shù)，且f(1)=2005,

求f(ll)

略解：f(11)=f(6+5)=f⑹=f(1+5)=f⑴=2005

(3)已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù)，且f⑴=2,f(x+3)=f(x),

求f⑻

略解：f(8)=f(2+2x3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)

=-2

【鞏固深化，發(fā)展思維】

1.請(qǐng)同學(xué)們先自主學(xué)習(xí)課本P4倒數(shù)第五行一一P5倒數(shù)第四行,

然后各個(gè)學(xué)習(xí)小組之間展開(kāi)合作交流。

2.例題講評(píng)

例1.地球圍繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)，地球到太陽(yáng)的距離y是時(shí)間t的函數(shù)

嗎？如果是，這個(gè)函數(shù)

y=f(t)是不是周期函數(shù)？

例2.圖1-4(見(jiàn)課本)是鐘擺的示意圖，擺心A到鉛垂線MN的

距離y是時(shí)間t的函數(shù)，y=g(t)。根據(jù)鐘擺的知識(shí)，容易說(shuō)明

g(t+T)=g(t),其中T為鐘擺擺動(dòng)一周(往返一次)所需的時(shí)間,

函數(shù)y=g(t)是周期函數(shù)。若以鐘擺偏離鉛垂線MN的角e的度

數(shù)為變量，根據(jù)物理知識(shí)，擺心A到鉛垂線MN的距離y也是。

的周期函數(shù)。

例3.圖1-5(見(jiàn)課本)是水車(chē)的示意圖，水車(chē)上A點(diǎn)到水面的距

離y是時(shí)間t的函數(shù)。假設(shè)水車(chē)5min轉(zhuǎn)一圈，那么y的值每經(jīng)

過(guò)5min就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，因此，該函數(shù)是周期函數(shù)。

3.小組課堂作業(yè)

(1)課本P6的思考與交流

(2)(回答)今天是星期三那么7k(k￡Z)天后的那一天是星期

幾？7k(kCZ)天前的那一天是星期幾？100天后的那一天是星期

幾？

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

(1)請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容有哪些？所涉及到的

主要數(shù)學(xué)思想方法有那些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會(huì)是什么？

六、布置作業(yè)

1.作業(yè)：習(xí)題1.1第1,2,3題.

2.多觀察一些日常生活中的周期現(xiàn)象的例子，進(jìn)一步理解它的

特點(diǎn).

七、課后反思

§2角的概念的推廣（1課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能

（1）推廣角的概念，理解并掌握正角、負(fù)角、零角的定義；（2）

理解象限角、坐標(biāo)軸上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌

握所有與。角終邊相同的角（包括。角）的表示方法；（4）能表

示特殊位置（或給定區(qū)域內(nèi)）的角的集合；（5）能進(jìn)行簡(jiǎn)單的角

的集合之間運(yùn)算。

過(guò)程與方法

類(lèi)比初中所學(xué)的角的概念，以前所學(xué)角的概念是從靜止的觀點(diǎn)闡

述，現(xiàn)在是從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)闡述，進(jìn)行角的概念推廣，引入正角、

負(fù)角和零角的概念；由于角本身是一個(gè)平面圖形，因此，在角的

概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標(biāo)系，引出象限角、非

象限角的概念，以及象限角的判定方法；通過(guò)幾個(gè)特殊的角，畫(huà)

出終邊所在的位置，歸納總結(jié)出它們的關(guān)系，探索具有相同終邊

的角的表示；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)角的概念有了一個(gè)新的認(rèn)識(shí)；樹(shù)立

運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物；揭示知識(shí)背

景，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)生分析、探求的

學(xué)習(xí)態(tài)度；讓學(xué)生感受圖形的對(duì)稱(chēng)美、運(yùn)動(dòng)美，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)美的

追求。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解正角、負(fù)角和零角和象限角的定義，掌握終邊相同角

的表示法及判斷。

難點(diǎn)：把終邊相同的角用集合和符號(hào)語(yǔ)言正確地表示出來(lái)。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

在初中，我們知道最大的角是周角，最小的角是零角；通過(guò)回憶

和類(lèi)比初中所學(xué)角的概念，把角的概念進(jìn)行了推廣；角是一個(gè)平

面圖形，把角放入平面直角坐標(biāo)系中以后，了解象限角的概念；

通過(guò)角終邊的旋轉(zhuǎn)掌握終邊相同角的表示方法；我們?cè)趯W(xué)習(xí)這部

分內(nèi)容時(shí)，首先要弄清楚角的表示符號(hào)，以及正負(fù)角的表示，另外

還有相同終邊角的集合的表示等。

教學(xué)用具：多媒體、三角板、圓規(guī)

四、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

同學(xué)們，我們?cè)跀Q螺絲時(shí)，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)會(huì)越擰越松，按順

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)會(huì)越擰越緊。但不知同學(xué)們有沒(méi)有注意到，在這兩

個(gè)過(guò)程中，扳手分別所組成的兩個(gè)角之間又有什么關(guān)系呢？請(qǐng)幾

個(gè)同學(xué)暢談一下，教師控制好時(shí)間，2-3分鐘為宜。

這里面到底是怎么回事？這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

初中我們已給角下了定義，先請(qǐng)一個(gè)同學(xué)回憶一下當(dāng)時(shí)是怎么定

義的？

我們把“有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角”，這是從靜

止的觀點(diǎn)闡述的。

【探究新知】

如果我們從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看，角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端

點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。（先后用教具圓規(guī)

和多媒體給學(xué)生演示：逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)形成角，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)而成角，

轉(zhuǎn)幾圈也形成角，為推廣角的概念做好準(zhǔn)備）

正角、負(fù)角、零角的概念（打開(kāi)課件第一版，演示正角、負(fù)角、

零角的形成過(guò)程）.

我們規(guī)定：（板書(shū)）按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角，如圖（見(jiàn)

課件）。一條射線由原來(lái)的位置。A,繞著它的端點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)?/p>

向旋轉(zhuǎn)到終止位置。加就形成角。.旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線。4叫做角

的始邊，。5叫終邊，射線的端點(diǎn)。叫做叫。的頂點(diǎn).按順時(shí)針?lè)?/p>

向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；如果一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，我們

認(rèn)為這時(shí)它也形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零角，如果a是零

角，那么a=0。。鐘表的時(shí)針和分針在旋轉(zhuǎn)時(shí)所形成的角總是

負(fù)角.為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，在不引起混淆的前提下，“角a”或“N

a”可以記成“a”。

過(guò)去我們研究了0°-360°范圍的角.如圖（見(jiàn)課件）中的角

a就是一個(gè)0°-360°范圍內(nèi)的角（a=30。）.如果我們將角

a的終邊OB繼續(xù)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周、兩周……而形成的角

是多少度?是不是仍為30°的角？（用多媒體演示這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程，

讓學(xué)生思考；為終邊相同角概念做準(zhǔn)備）.將終邊OB旋轉(zhuǎn)一周、

兩周……，分別得到390。，750°……的角.如果將OB繼續(xù)旋

轉(zhuǎn)下去，便可得到任意大小的正角。同樣地，如果將OB按順時(shí)

針?lè)较蛐D(zhuǎn)，也可得到任意大小的負(fù)角（通過(guò)課件，動(dòng)態(tài)演示這

一無(wú)限旋轉(zhuǎn)過(guò)程）.這就是說(shuō)，角度并不局限于0°~360°的范

圍，它可以為任意大小的角（與數(shù)軸進(jìn)行比較）.（打開(kāi)課件第三

版）.如圖（1）中的角為正角，它等于750°;（2）中，正角a=

210°,負(fù)角|3=—150。,Y=-660°.在生活中，我們也經(jīng)

常會(huì)遇到不在0°~360°范圍的角，如在體操中，有“轉(zhuǎn)體

720°”（即“轉(zhuǎn)體2周”），“轉(zhuǎn)體1080?！保础稗D(zhuǎn)體3周”）

這樣的動(dòng)作名稱(chēng)；緊固螺絲時(shí)，扳手旋轉(zhuǎn)而形成的角.

角的概念經(jīng)過(guò)這樣的推廣以后，就包括正角、負(fù)角和零角.

2.象限角、坐標(biāo)軸上的角的概念.

由于角是一個(gè)平面圖形，所以今后我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論

角，（板書(shū)）我們使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)

半軸（包括原點(diǎn)）重合，那么角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我

們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.（打開(kāi)課件第四版）例如圖⑴中的

30°、390°、-330°角都是第一象限角，圖⑵中的300°、

-60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角.

（板書(shū)）如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任一象

限.

3.終邊相同的表示方法.

（返回課件第二版，在圖（1）1⑵中分別以0為原點(diǎn)，直線0A為

X軸建立直角坐標(biāo)系，重新演示前面的旋轉(zhuǎn)過(guò)程）在圖⑴中，如

果將終邊0B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一圈、兩圈……，分別得到390°,

750°……的角，這些角的終邊與30°角的終邊相同，只是轉(zhuǎn)過(guò)

的圈數(shù)不同，它們可以用30°角來(lái)表示，如390°=30°十

360°,750°=30°十2x360。，……在圖（2）中，如果將終邊

OB按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一圈、兩圈……分別得到-330。,-

690°……的角，這些角的終邊與30。角終邊也相同，也只是轉(zhuǎn)

過(guò)的圈數(shù)不同，它們也都可以用30。的角來(lái)表示，如-330。=

30°-360°,-690°=30°—2x360。，……

由此可以發(fā)現(xiàn)，上面旋轉(zhuǎn)所得到的所有的角（記為6）,都可以表

示成一個(gè)0。到360°的角與k（k￡Z）個(gè)周角的和，即：|3=30°

十—360。（k€Z）,如果我們把0的集合記為S,那么S={|3|

0=30。十k?360°,k6Z}.容易看出：所有與30°角終邊

相同的角，連同30°角（k=0）在內(nèi)，都是集合S的元素；反過(guò)

來(lái)，集合S的任一元素顯然與30°角終邊相同。

【鞏固深化，發(fā)展思維】

例題講評(píng)

例1.判斷下列各角是第幾象限角.

（1）-60°;（2）585°;（3）-950°12'.

解：（1）;一60。角終邊在第四象限，它是第四象限角；（2）

V585°=360°十225°,「.585°與225°終邊相同，又;225。

終邊在第三象限，」.585。是第三象限角；⑶=-950°12'=

-230°12，-2x360°,又?「-230。12，終邊在第二象限,「?

-950°12，是第二象限角.

例2.在直角坐標(biāo)系中，寫(xiě)出終邊在y軸上的角的集合（a用0。~

360°的角表示）.

解：在0。-360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個(gè)，即90。

與270。角，因此，所有與90。角終邊相同的角構(gòu)成集合Sl={[3

I0=90。+k-360°,k€Z};所有與270°角終邊相同的角構(gòu)

成集合S2={|3|13=270°+k?360°,k€Z};所以，終邊在y

軸上的角的集合S=S1US2={|3|13=90°+k-360°,k€Z}

U{pI3=270°+k?360°,k€Z}.

例3.寫(xiě)出與60。角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等

式-360。46<270。的元素|3寫(xiě)出來(lái).

解：S={6|0=60。+k?360°,k￡Z},S中適合-360。<

0<270°的元素是：

60°-1x360°=-300°,60°+0x360。=60°,60°+1

x360°=420°.

2.學(xué)生課堂練習(xí)

參考練習(xí)（通過(guò)多媒體給題）。

（1）（口答）銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？再分

別就直角、鈍角來(lái)回答這兩個(gè)問(wèn)題.

⑵與一496。終邊相同的角是，它是第象限的

角，它們中最小正角是，最大負(fù)角是

⑶時(shí)針經(jīng)過(guò)3小時(shí)20分，則時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，分針

轉(zhuǎn)過(guò)的角度為。

(4)若0的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則a與0的關(guān)系是；

若a與6的終邊關(guān)于y

軸對(duì)稱(chēng)，則a與B的關(guān)系是；若a、6的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱(chēng)，則a與B的關(guān)系是；若角a是第二象限角，則180。-

a是第象限角。

［答案］⑴是，不一定.

⑵一496。+k-360°(k€Z),三，240°,-136°.

⑶一100。,-12000.

(4)a十0=k-360°(k€Z);a十0=180°十k?360。(k6

Z)；

a—|3=180°十k?360°(k￡Z);一.

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容有哪些？你知道角是如何

推廣的嗎？

象限角是如何定義的呢？你熟練掌握具有相同終邊角的表示了

嗎？

(3)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向

老師提出。

(4)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會(huì)是什么？

六、布置作業(yè)：習(xí)題1.2第2,3題.

七、課后反思

§3弧度制（1課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能

（1）理解1弧度的角及弧度的定義；（2）掌握角度與弧度的換

算公式；（3）熟練進(jìn)行角度與弧度的換算；（4）理解角的集合與

實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；（5）理解并掌握弧度制下的弧長(zhǎng)

公式、扇形面積公式，并能靈活運(yùn)用這兩個(gè)公式解題。

過(guò)程與方法

通過(guò)單位圓中的圓心角引入弧度的概念；比較兩種度量角的方法

探究角度制與弧度制之間的互化；應(yīng)用在特殊角的角度制與弧度

制的互化，幫助學(xué)生理解掌握；以針對(duì)性的例題和習(xí)題使學(xué)生掌

握弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式；通過(guò)自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)，樹(shù)立

學(xué)生正確的學(xué)習(xí)態(tài)度。

情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)弧度制的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到角度制與弧度制都是度量角制

度，二者雖單位不同，但卻是相互聯(lián)系、辯證統(tǒng)一的；在弧度制

下，角的加、減運(yùn)算可以像十進(jìn)制一樣進(jìn)行，而不需要進(jìn)行角度

制與十進(jìn)制之間的互化，化簡(jiǎn)了六十進(jìn)制給角的加、減運(yùn)算帶來(lái)

的諸多不便，體現(xiàn)了弧度制的簡(jiǎn)捷美；通過(guò)弧度制與角度制的比

較，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到引入弧度制的優(yōu)越性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和

求知欲望，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解弧度制的意義，正確進(jìn)行弧度與角度的換算；弧長(zhǎng)和

面積公式及應(yīng)用。

難點(diǎn)：弧度的概念及與角度的關(guān)系；角的集合與實(shí)數(shù)之間的一一

對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

在初中，我們非常熟悉角度制表示角，但在進(jìn)行角的運(yùn)算時(shí)，運(yùn)

用六十進(jìn)制出現(xiàn)了很不習(xí)慣的問(wèn)題，與我們常用的十進(jìn)制不一

樣，正因?yàn)檫@樣，所以有必要引入弧度制；在學(xué)習(xí)中，通過(guò)自主

學(xué)習(xí)的形式，讓學(xué)生感受弧度制的優(yōu)越性，在類(lèi)比中理解掌握弧

度制。

教學(xué)用具：多媒體、三角板

四、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

在初中幾何里我們學(xué)過(guò)角的度量，當(dāng)時(shí)是用度做單位來(lái)度量

1

角的.我們把周角的通規(guī)定為1度的角，而把這種用度作單位

來(lái)度量角的單位制叫做角度制.但在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中我們還經(jīng)

常用到另一種度量角的單位制一一弧度制。下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)弧

度制的有關(guān)概念.（板書(shū)課題）弧度制的單位是rad,讀作弧度.

【探究新知】

1.1弧度的角的定義.

（板書(shū)）我們把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角，叫做1弧度的

角（打開(kāi)課件）.如圖1—14（見(jiàn)教材），弧AB的長(zhǎng)等于半徑r,則

弧AB所對(duì)的圓心角就是1弧度的角，弧度的單位記作rad。

在圖1（課件）中，圓心角NAOC所對(duì)的弧長(zhǎng)l=2r,那么NAOC

的弧度數(shù)就是2rad;圓心角NAOD所對(duì)的弧長(zhǎng)1=萬(wàn)1?，那么NAOC

的弧度數(shù)就是'rad;圓心角NAOE所對(duì)的弧長(zhǎng)為1,那么NAOE

的弧度數(shù)是多少呢？學(xué)生思考并交流，此我們可以得到弧度制的

定義.

2.弧度制的定義：

一般地，（板書(shū)）正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是

一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)

1_

是。；角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值Iod=二，其中1是以角a作為圓

心角時(shí)所對(duì)弧的長(zhǎng)，r是圓

的半徑，這種以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制，叫做弧度制.

在弧度制的定義中，我們是用弧長(zhǎng)與其半徑的比值來(lái)反映弧

所對(duì)的圓心角的大小的.為什么可以用這個(gè)比值來(lái)度量角的大小

呢？這個(gè)比值與所取的圓的半徑大小有沒(méi)有關(guān)系？請(qǐng)同學(xué)們自主

學(xué)習(xí)課本P12-P13,從課本中我們可以看出，這個(gè)比值與所取

的半徑大小無(wú)關(guān)，只與角的大小有關(guān)。有興趣的同學(xué)們可以對(duì)它

進(jìn)行理論上的證明：

（論證）如圖1—13（見(jiàn)教材），設(shè)Noc為n。（n°〉0）的角，

圓弧AB和A1B1的長(zhǎng)分別為1和11,點(diǎn)A和A1到點(diǎn)0的距離（即

圓的半徑）分別為由初中所學(xué)的弧長(zhǎng)公式

n兀n7Tn/r

有l(wèi)=R（）r,11=i80rl,所以；=八=麗，這表明以角a為圓

心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與其半徑的比值，與所取的半徑大小無(wú)關(guān)，只與

角a的大小有關(guān).

用角度制和弧度制來(lái)度量零角，單位不同，但量數(shù)相同（都

是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也

不同.但它們既然是表示同一個(gè)角，那這二者之間就應(yīng)該可以進(jìn)

行換算，下面我們來(lái)討論角度與弧度的換算.

3.角度制與弧度制的換算.

現(xiàn)在我們知道：1個(gè)周角=360。=：r,所以，（板書(shū)）360°

71

=27rrad,由此可以得到180。=nrad,lo=180?0.01745rad,

180

lrad=（V）°-57.30。=57°18'。

說(shuō)明：在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，關(guān)鍵要抓住180°=nrad

這一關(guān)系式.

今后我們用弧度制表示角時(shí)，“弧度”二字或“rad”通常略去不

寫(xiě)，而只寫(xiě)這個(gè)角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù).例如，角a=2就表示是2rad

7T71

的角，sin§就表示？rad的角的正弦，但用角度制表示角時(shí)，“度”

或”不能省去.而且用“弧度”為單位度量角時(shí)，常把弧度

數(shù)寫(xiě)成多少直的形式，如無(wú)特別要求，不必把江寫(xiě)成小數(shù)，如

71

45°=4rad,不必寫(xiě)成45。=0.785弧度.

前面我們介紹了角度制下的終邊相同角的表示方法，而角度制與

弧度制可以相互轉(zhuǎn)化，所以與角a終邊相同的角（連同角a在

內(nèi)），也可以用弧度制來(lái)表示.但書(shū)寫(xiě)時(shí)要注意前后兩項(xiàng)所采用

的單位制必須一致.

角的概念推廣后，無(wú)論用角度制還是用弧度制，都能在角的集合

與實(shí)數(shù)集R之間建立一種對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的

一個(gè)實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，例如這個(gè)角的弧度數(shù)或度數(shù)；反過(guò)來(lái)，每一

個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角與它對(duì)應(yīng)，就是弧度數(shù)或度數(shù)等于這

個(gè)實(shí)數(shù)的角。

【鞏固深化，發(fā)展思維】

1.例題講評(píng)

例1.把45?；苫《取?/p>

7171

解：45O=180x45rad=4rad.

34

例2.把Mrad化成度。

37t3

解：Trad=5x180°=108°.

\_

例3.利用弧度制證明扇形面積公式S=51r,其中1是扇形的

弧長(zhǎng)，r是圓的半徑。

1

證：???圓心角為1的扇形的面積為五?7ir2,又?.?弧長(zhǎng)為1的

i_L_L1

扇形的圓心角的大小為「，?..扇形的面積S=「?2》-7Tr2=2ir.

2.學(xué)生課堂練習(xí)

(1)填表

180360

度0°45°60°

OO

弧

71713萬(wàn)

~2~2

度

說(shuō)明：一些特殊角的弧度數(shù)，大家要熟記，免得每次遇到都要去

進(jìn)行換算.

(2)用弧度制寫(xiě)出終邊落在y軸上和x軸上的角集合。

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

(1)主要學(xué)習(xí)了弧度制的定義；角度與弧度的換算公式；特殊

角的弧度數(shù)。

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會(huì)是什么？

六、布置作業(yè)：習(xí)題1—3中的1、2、6.

七、課后反思

§4.1銳角的正弦函數(shù)§4.2任意角的正弦函數(shù)§4.3正弦函數(shù)

y=sinx的圖像（2課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能

（1）回憶銳角的正弦函數(shù)定義；（2）熟練運(yùn)用銳角正弦函數(shù)的

性質(zhì)；（3）理解通過(guò)單位圓引入任意角的正弦函數(shù)的意義；（4）

掌握任意角的正弦函數(shù)的定義；（5）理解有向線段的概念；（6）

了解正弦函數(shù)圖像的畫(huà)法；（7）掌握五點(diǎn)作圖法，并會(huì)用此方法

畫(huà)出［0,2冗］上的正弦曲線。

過(guò)程與方法

初中所學(xué)的正弦函數(shù)，是通過(guò)直角三角形中給出定義的；由于我

們已將角推廣到任意角的情況，而且一般都是把角放在平面直角

坐標(biāo)系中，這樣一來(lái)，我們就在直角坐標(biāo)系中來(lái)找直角三角形，

從而引出單位圓；利用單位圓的獨(dú)特性，是高中數(shù)學(xué)中的一種重

要方法，在第二節(jié)課的正弦函數(shù)圖像，以及在后面的正弦函數(shù)的

性質(zhì)中都有直接的應(yīng)用；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)正弦函數(shù)的概念有了一個(gè)新的認(rèn)

識(shí)；在由銳角的正弦函數(shù)推廣到任意角的正弦函數(shù)的過(guò)程中，體

會(huì)特殊與一般的關(guān)系，形成一種辯證統(tǒng)一的思想；通過(guò)單位圓的

學(xué)習(xí)，建立數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性；培養(yǎng)學(xué)生

分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：1.任意角的正弦函數(shù)定義，以及正弦函數(shù)值的幾何表示。

2.正弦函數(shù)圖像的畫(huà)法。

難點(diǎn)：1.正弦函數(shù)值的幾何表示。

2.利用正弦線畫(huà)出y=sinx,x€[0,2兀]的圖像。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

在初中，我們知道直角三角形中銳角的對(duì)邊比上斜邊就叫著這個(gè)

角的正弦，當(dāng)把銳角放在直角坐標(biāo)系中時(shí)，角的終邊與單位圓交

于一點(diǎn)，正弦函數(shù)對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)，當(dāng)是任意角時(shí)，通過(guò)函

數(shù)定義的形式引出正弦函數(shù)的定義；作正弦函數(shù)y=sinx圖像

時(shí)，在正弦函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，通過(guò)平移正弦線得出其圖像，再

歸結(jié)為五點(diǎn)作圖法。

教學(xué)用具:投影機(jī)、三角板

第一課時(shí)§4.1銳角的正弦函數(shù)§4.2任意角的正

弦函數(shù)

一、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

我們學(xué)習(xí)角的概念的推廣和弧度制，就是為了學(xué)習(xí)三角函數(shù)。請(qǐng)

同學(xué)們回憶（1）角的概念的推廣及弧度制、象眼角等概念；（2）

初中所學(xué)的正弦函數(shù)是如何定義的？并想一想它有哪些性質(zhì)？

學(xué)生思考回答以后，教師小結(jié)。(板書(shū)課題)

【探究新知】\

、?邊

在初中，我們學(xué)習(xí)了銳角a的正弦函數(shù)值：sirt>j=典，

aCaB

如圖：sinA=c,由于a是直角邊，c是斜邊，所sinA￡(0,1)o

由于我們通常都是將

角放到平面直角坐標(biāo)系中，我們來(lái)看看會(huì)發(fā)生什么？

[\\在直角坐標(biāo)系中，(如圖所示)，設(shè)角a(a￡(0,

2))

的終邊與半經(jīng)為r的圓交于點(diǎn)P(a,b),則角a的正弦值是：

bb

sina=7.根據(jù)相似三角形的知識(shí)可知，對(duì)于確定的角a,[都

不會(huì)隨圓的半經(jīng)的改變而改變。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，令r=l(即為單位

圓)，那么sina=b,也就是說(shuō)，若角a的終邊與單位圓相交于

P,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)b就是角a的正弦函數(shù)。

直角三角形顯然不能包含所有的角，那么，我們可以仿照銳

角正弦函數(shù)的定義.你認(rèn)為該如何定義任意角的正弦函數(shù)？

一般地，在直角坐標(biāo)系中(如上圖)，對(duì)任意角鼠，它的終邊與

單位圓交于點(diǎn)P(a,b),我們可以唯一確定點(diǎn)P(a,b)的縱坐

標(biāo)b,所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)b是角a的函數(shù)，稱(chēng)為正弦函數(shù)，記作

y=sina(a€R)o通常我們用x,y分別表示自變量與因變量，

將正弦函數(shù)表示為y=sinx.

正弦函數(shù)值有時(shí)也叫正弦值.

717萬(wàn)

請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)圖，并利用正弦函數(shù)的定義比較說(shuō)明：§角與丁

角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？它們的正弦值

萬(wàn)8萬(wàn)乃5萬(wàn)2萬(wàn)

有什么關(guān)系？§角和丁角呢？角和號(hào)角呢？-5角和-

14乃

亍角呢？

通過(guò)上述問(wèn)題的討論，容易得到：終邊相同的角的正弦函數(shù)值相

等，即

sin(2kK+oc)=since(k€Z),說(shuō)明對(duì)于任意一個(gè)角a,每增

加27T的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值不變。所以，正弦函數(shù)是隨角的

變化而周期性變化的，正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k;i(k€Z,kwO)

為正弦函數(shù)的周期。

27T是正弦函數(shù)的正周期中最小的一個(gè)，稱(chēng)為最小正周期。一般

地，對(duì)于周期函數(shù)f(x),如果它所有的周期中存在一個(gè)最小的

正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期。

【鞏固深化，發(fā)展思維】

課本P17的思考與交流。

課本P18的練習(xí)。

2

3.若點(diǎn)P(—3,y)是a終邊上一點(diǎn)，且sina=—§,求y值.

4.若角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊在

函數(shù)y=-3x(x<0)

的圖像上，則sina=。

二、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

(1)請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容有哪些？所涉及到的

主要數(shù)學(xué)思想方法有那些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會(huì)是什么？

三、課后反思

第二課時(shí)§4.3正弦函數(shù)丫=51僦的圖像

一、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

三角函數(shù)是一種重要的函數(shù)，從第一節(jié)我們就知道在實(shí)際生活

中，有許多地方用到三角函數(shù)。今天我們來(lái)學(xué)正弦函數(shù)丫=$皿*

的圖像的做法。在前一節(jié)，我們知道正弦函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，

最小正周期是271,所以，關(guān)鍵就在于畫(huà)出［0,2TT］上的正弦函

數(shù)的圖像。a的

請(qǐng)同學(xué)們回憶初中作函數(shù)圖像的方法是怎樣的？

作函數(shù)圖像的三步驟：列表，描點(diǎn)，連線。一

【探究新知】

正弦函數(shù)線MP

下面我們來(lái)探討正弦函數(shù)的一種幾何表示.如右圖所示，

角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),提出問(wèn)題

①線段MP的長(zhǎng)度可以用什么來(lái)表示？

②能用這個(gè)長(zhǎng)度表示正弦函數(shù)的值嗎？如果不能，你能否設(shè)計(jì)

一種方法加以解決？引出有向線段的概念.

有向線段：當(dāng)a的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，可以把MP看作是帶方

向的線段，

y>0時(shí)，把MP看作與y軸同向(多媒體優(yōu)勢(shì)，利用計(jì)算機(jī)演示

角a終邊在

、二象限時(shí)MP從M到P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.讓學(xué)生看清后定位,

運(yùn)動(dòng)的方向表明與y軸同向）.

y<0時(shí)，把MP看作與y軸反向（演示角a終邊在三、四象限時(shí)

MP從M到P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.讓學(xué)生看清后定位，運(yùn)動(dòng)的方向表

明與y軸反向）.

師生歸納：①M(fèi)P是帶有方向的線段，這樣的線段叫有向線

段.MP是從M-P,而PM則是從P-M。②不論哪種情況，都有

MP=y.③依正弦定義，有sina=MP=y,我們把MP叫做a的

正弦線.

（投影儀出示反饋練習(xí)）當(dāng)a為特殊角，即終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，

找出其正弦線。演示運(yùn)動(dòng)過(guò)程，讓學(xué)生清楚認(rèn)識(shí)到：當(dāng)a終邊在

x軸上時(shí)，正弦線變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)，即sina=0o

2.作圖的步驟

邊作邊講（幾何畫(huà)法）y=sinxxe[0,2TI]

作單位圓，把。。十二等分（當(dāng)然分得越細(xì)，圖像越精確）

冗7171

十二等分后得對(duì)應(yīng)于0,彳，5,5,...2冗等角，并作出相應(yīng)的正弦

線，

將x軸上從0到2兀一段分成12等份（271?6.28）,若變動(dòng)比例，

今后圖像將相應(yīng)“變形”

取點(diǎn)，平移正弦線，使起點(diǎn)與軸上的點(diǎn)重合

描圖（連接）得丫=$111*XG[0,2K]

（6）由于終邊相同的三角函數(shù)性質(zhì)知y=sinxXG[2kn,

2（k+l）d（kwZ,kwO）

與函數(shù)y=sinxxc[0,2兀]圖像相同，只是位置不同---每次向

-----------------------------------------------------------------------------------------?

左（右）平移2兀單位長(zhǎng)。

可以得到y(tǒng)=sinx在R上的圖像

五點(diǎn)作圖法：

由上圖我們不難發(fā)現(xiàn)，在函數(shù)y=sinx,xc[0,2捫的圖像上，起

7C

著關(guān)鍵作用的有以下五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（0,0）（2,1）（71,0）

3乃

2

（,-l）（2TI,0）o描出這五個(gè)點(diǎn)后，函數(shù)y=sinx,XG[0,2TC]

的圖像的形狀就基本上確定了。因此，在精確度要求不太高時(shí)，

我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑曲線將它們連接起

來(lái)，就得到這個(gè)函數(shù)的簡(jiǎn)圖。我們稱(chēng)這種畫(huà)正弦曲線的方法為“五

點(diǎn)法”。

【鞏固深化，發(fā)展思維】

1.例題講評(píng)

例L用“五點(diǎn)法”畫(huà)出下列函數(shù)在區(qū)間[0,2兀]上的簡(jiǎn)圖。

(1)y=-sinx(2)y=1+sinx

解：(1)列表

7134

X07T27T

2T

y=一

010-10

sinx

描點(diǎn)得y=-sinx的圖像：(略，見(jiàn)教材P22)

2.學(xué)生練習(xí)

教材P22

二、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

(1)請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容有哪些？所涉及到的

主要數(shù)學(xué)思想方法有那些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會(huì)是什么？

三、布置作業(yè)

作業(yè)：習(xí)題1—4第1,2題.

四、課后反思

§4.4正弦函數(shù)的性質(zhì)（2課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能

（1）進(jìn)一步熟悉單位圓中的正弦線；（2）理解正弦誘導(dǎo)公式的

推導(dǎo)過(guò)程；（3）掌握正弦誘導(dǎo)公式的運(yùn)用；（4）能了解誘導(dǎo)公式

之間的關(guān)系，能相互推導(dǎo)；（5）理解并掌握正弦函數(shù)的定義域、

值域、周期性、最大（?。┲怠握{(diào)性、奇偶性；（6）能熟練運(yùn)

用正弦函數(shù)的性質(zhì)解題。

過(guò)程與方法

通過(guò)正弦線表示a,-a,7T-a,7T+a,27T-a,從而體會(huì)各

正弦線之間的關(guān)系；或從正弦函數(shù)的圖像中找出a,-a,冗-a,

7T+a,27T-a,讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式；通過(guò)正

弦函數(shù)在R上的圖像，讓學(xué)生探索出正弦函數(shù)的性質(zhì)；講解例題，

總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力、探索歸納能力；讓學(xué)生體

驗(yàn)自身探索成功的喜悅感，培養(yǎng)學(xué)生的自信心；使學(xué)生認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)

化“矛盾”是解決問(wèn)題的有效途經(jīng)；培養(yǎng)學(xué)生形成實(shí)事求是的科

學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)。

難點(diǎn)：誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

在上一節(jié)課的基礎(chǔ)上，運(yùn)用單位圓中正弦線或正弦函數(shù)圖像中角

的關(guān)系，引發(fā)學(xué)生探索出正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式；通過(guò)例題和練習(xí)

掌握誘導(dǎo)公式在解題中的作用；在正弦函數(shù)的圖像中，直觀判斷

出正弦函數(shù)的性質(zhì)，并能上升到理性認(rèn)識(shí)；理解掌握正弦函數(shù)的

性質(zhì)；以學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和合作探究式學(xué)習(xí)為主。

教學(xué)用具:投影機(jī)、三角板

第一課時(shí)正弦函數(shù)誘導(dǎo)公式

一、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

在上一節(jié)課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的正弦函數(shù)定義，以及終

邊相同的角的正弦函數(shù)值也相等，即sin(2k?r+a)=sina(k

￡Z),這一公式體現(xiàn)了求任意角的正弦函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°?

360°的角的正弦函數(shù)值。如果還能把0。~360。間的角轉(zhuǎn)化為

銳角的正弦函數(shù)，那么任意角的正弦函數(shù)就可以查表求出。這就

是我們這一節(jié)課要解決的問(wèn)題。

【探究新知】

復(fù)習(xí)：(公式1)sin(36()ok+a)=sina

對(duì)于任一0°到360。的角，有四種可能(其中a為不大于90。的非

負(fù)角)

當(dāng)。)

ape[(T,90B為第一象限角

當(dāng)區(qū)°°，

180°-a0€180°)B為第二象限角

B=<

1800+a當(dāng)Be180°,270°)B為第三象限角

360°—a當(dāng)pe270°,360°)B為第四象限角(以下設(shè)a為任意角)

公式2：

設(shè)a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則180。+。終邊與單位圓交

于點(diǎn)F(-x,-y),由正弦線可知：sin(180°+a)=-sina

如圖：在單位圓中作出a與-a角的終邊，同樣可得：

sin(-a)=-sina,

公式4：由公式2和公式3可得：

sin(180°-a)=sin[180°+(-a)]=-sin(-a)=sina,

同理可得：sin(180°-a)=sina,

6.公式5:sin(360°-a)=-sina

【鞏固深化，發(fā)展思維】

例題講評(píng)

求下列函數(shù)值

7

(1)sin(-1650°);(2)sin(-150°15,);(3)sin(-4n)

解：(1)sin(-1650°)=-sinl650°=-sin(4x360°+210°)

]_

=-sin210°=-sin(180°+30°)=sin30°=2

(2)sin(-150°15')=-sinl50°15,=-sin(180°-

29°45')=-sin29°45,=-0.4962

77171V2

(3)sin(-4n)=sin(-27T+4)=sin4=2兀

sin(2%-a)sin(3%+a)

例2化簡(jiǎn).sin(-萬(wàn)+a)sin(3萬(wàn)一a)sin(_(/一乃)

解：(略，見(jiàn)教材P24)

學(xué)生練習(xí)

教材P24練習(xí)1、2、3

二、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

(1)請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容有哪些？所涉及到的

主要數(shù)學(xué)思想方法有那些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會(huì)是什么？

三、課后反思

23456

711TCTCTC71

第二課時(shí)正弦函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

同學(xué)們，我們?cè)跀?shù)學(xué)一中已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)，并掌握了討論一個(gè)函數(shù)

性質(zhì)的幾個(gè)角度，你還記得有哪些嗎？在上一次課中，我們已經(jīng)

學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)的y=sinx在R上圖像，下面請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)圖像

一起討論一下它具有哪些性質(zhì)？

【探究新知】

讓學(xué)生一邊看投影，一邊仔細(xì)觀察正弦曲線的圖像，并思考以下

幾個(gè)問(wèn)題：

正弦函數(shù)的定義域是什么？

正弦函數(shù)的值域是什么？

它的最值情況如何？

它的正負(fù)值區(qū)間如何分？

/（x）=0的解集是多少？

師生一起歸納得出：

定義域：y=sinx的定義域?yàn)镽

值域：引導(dǎo)回憶單位圓中的正弦函數(shù)線，結(jié)論：Isinxl41（有

界性）

再看正弦函數(shù)線（圖象）驗(yàn)證上述結(jié)論，所以y=sinx的值

域?yàn)閇-1,1]

7T

3.最值：1。對(duì)于y=sinx當(dāng)且僅當(dāng)x=2k7i+2,keZ時(shí)ymax

=1

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)x=2kji-2,keZ時(shí)ymin=-1

2°當(dāng)2k兀<x<(2k+l)7i(keZ)時(shí)y=sinx>0

當(dāng)(2k-l)兀<x<2k兀(keZ)時(shí)y=sinx<0

4.周期性：(觀察圖象)1。正弦函數(shù)的圖象是有規(guī)律不斷重復(fù)

出現(xiàn)的；

2。規(guī)律是：每隔2兀重復(fù)出現(xiàn)一次(或者說(shuō)每隔2k%keZ重復(fù)出

現(xiàn))

3。這個(gè)規(guī)律由誘導(dǎo)公式sin(2k7i+x)=sinx也可以說(shuō)明

結(jié)論：y=sinx的最小正周期為2兀

5.奇偶性

sin(-x)=-sinx(x€R)v>y=sinx(x

€R)是奇函數(shù)

713萬(wàn)

減區(qū)間為[5+2k7T,T+2kn](k€Z),其值從1減至

【鞏固深化，發(fā)展思維】

例題講評(píng)

例1.利用五點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)y=sinx-l的簡(jiǎn)圖，根據(jù)函數(shù)圖像

和解析式討論它的性質(zhì)。

解：(略，見(jiàn)教材P26)

2.課堂練習(xí)

教材P27的練習(xí)1、2、3

二、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

(1)請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容有哪些？所涉及的主

要數(shù)學(xué)思想方法有哪些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會(huì)是什么？

三、布置作業(yè)：習(xí)題1—4第3、4、5、6、7題.

四、課后反思

§5余弦函數(shù)（2課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能

（1）了解任意角的余弦函數(shù)概念；（2）理解余弦函數(shù)的幾何意

義；（3）掌握余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式；（4）能利用五點(diǎn)作圖法作出

余弦函數(shù)在［0,2冗］上的圖像；（5）熟練根據(jù)余弦函數(shù)的圖像推

導(dǎo)出余弦函數(shù)的性質(zhì)；（6）能區(qū)別正、余弦函數(shù)之間的關(guān)系；（7）

掌握利用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的技能。

過(guò)程與方法

類(lèi)比正弦函數(shù)的概念，引入余弦函數(shù)的概念；在正、余弦函數(shù)定

義的基礎(chǔ)上，將三角函數(shù)定義推廣到更加一般的情況；讓學(xué)生通

過(guò)類(lèi)比，聯(lián)系正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式，自主探究出余弦函數(shù)的誘導(dǎo)

公式；能學(xué)以致用，嘗試用五點(diǎn)作圖法作出余弦函數(shù)的圖像，并

能結(jié)合圖像分析得到余弦函數(shù)的性質(zhì)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀

使同學(xué)們對(duì)余弦函數(shù)的概念有更深的體會(huì)；會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)

題，建立數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性；培養(yǎng)學(xué)生分

析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；讓學(xué)生體驗(yàn)自身探索成功的喜悅感，

培養(yǎng)學(xué)生的自信心；使學(xué)生認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問(wèn)題的有

效途經(jīng)；培養(yǎng)學(xué)生形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精

神。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：余弦函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式，以及余弦函數(shù)的性質(zhì)。

難點(diǎn)：余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式運(yùn)用和性質(zhì)應(yīng)用。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

我們已經(jīng)知道正弦函數(shù)的概念是通過(guò)在單位圓中，以函數(shù)定義的

形式給出來(lái)的，從而把銳角的正弦函數(shù)推廣到任意角的情況；現(xiàn)

在我們就應(yīng)該與正弦函數(shù)的概念作比較，得出余弦函數(shù)的概念；

同樣地，可以仿照正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式推出余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公

式。用五點(diǎn)作圖的方法作出y=cosx在［0,2兀］上的圖像，并由

圖像直觀得到其性質(zhì)。

教學(xué)用具:投影機(jī)、三角板

第一課時(shí)余弦函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式

一、教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

在初中，我們不但學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)，也學(xué)習(xí)了余弦函數(shù)，sina

鄰邊

=可逅。同樣地，當(dāng)我們把角放在平面直角坐標(biāo)系中以后，就可

以得到余弦函數(shù)的定義。

下面請(qǐng)同學(xué)們類(lèi)比正弦函數(shù)的定義，自主學(xué)習(xí)課本P30—P31.

【探究新知】

1.余弦函數(shù)的定義

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)任意角0C與單位圓交于點(diǎn)P(牛'b),

那么點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a叫做角a余弦函數(shù)，記作：a==co^(a€

R).

通常我們用x,y分別表示自變量與因變量，將函解表示

為y=cosx(x￡R).X

如圖，有向線段0M稱(chēng)為角a的余弦線;

其實(shí)，由相似三角形的知識(shí)，我們知道，只要已知角a

的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)(a,b),求出I0PI,記為r,則

ba

角a的正弦和余弦分別為：since=r，cosa=廠

在今后的解題中，我們可以直接運(yùn)用這種方法，作

2.余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式

從右圖不難看出，角a和角2?r+a,2n-oc,(

與單位圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相同的，所以，它們的余弦函數(shù)值相

等；

角(X和角7T+a,7T-a的終邊與單位圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相及

數(shù)，

所以，它們的余弦函數(shù)值互為相反數(shù)。

由此歸納出公式：

cos(27T+a)=cosa

cos(-a)=cosa

cos(27i-a)=cosa

COS(7T+oc)=-cosa

cos(IT-oc)=-cosa

兀

請(qǐng)同學(xué)們觀察右圖，角a與角5+a的正弦、余弦函數(shù)值有

什么關(guān)

系？由圖可知，Rt/0MP4Rt/0M'P',點(diǎn)P的橫坐標(biāo)cosa與

71

點(diǎn)P，的縱坐標(biāo)sin(2+a)

71

相等；點(diǎn)P的縱坐標(biāo)sina與點(diǎn)P，的橫坐標(biāo)COS(5+oc)互為相

反數(shù)。我們可以得到:

71TC

sin(2+a)=cosacos(2+a)=-sina

n

問(wèn)題與思考：驗(yàn)證公式sin(2+oc)=cosa

71

cos(2+a)=-sinoc

以上公式統(tǒng)稱(chēng)為誘導(dǎo)公式，其中a可以是任意角。利用誘導(dǎo)公式,

y

可以將任意角的正、余弦函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為銳角的正、余弦函數(shù)問(wèn)

題。

【鞏固深化，發(fā)展思維】12：

例題講評(píng)K

例1.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-4)(如圖)，盅角a的余

弦

函數(shù)值。P

解：*.*x=2,y=-4,r=|OP|=2百

xV5

COSa=r=5

例2.如果將例1中點(diǎn)P的坐標(biāo)改為(2t,-4t)(twO),那么

怎樣求角a的余弦函數(shù)值。

解：(提示：在r=|0P|=2可t|中，分t<0和t>0兩種情況,

見(jiàn)教材P31)

例3.求值：

1U9冗3萬(wàn)

(1)COS6(2)COS8(3)COS(-4)

(4)cos(-1650°)(5)cos(-150°15')

117TTC716

解：(1)COS6=COS(27T-6)=COS6=2

9萬(wàn)7171

(2)cos8=cos(7T+8)=-cos8?-0.9239

(3)、(4)、(5)略,見(jiàn)教材P33

cos(2萬(wàn)-a)cos(3乃+a)

例4化簡(jiǎn).cos(一乃+a)cos(3%-a)cos(一a-%)

解：(略，見(jiàn)教材P33)

學(xué)生練習(xí)

教材P31的練習(xí)1、2、3和P34的練習(xí)1、2、3

二、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

(1)請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容有哪些？所涉及的主

要數(shù)學(xué)思想方法有那些？

(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向

老師提出。

(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會(huì)是什么？

三、課后反思

第二課時(shí)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

教學(xué)思路

【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】

在上一次課中，我們知道正弦函數(shù)y=sinx的圖像，是通過(guò)等分

單位圓、平移正弦線而得到的，在精確度要求不高時(shí)，可以采用

五點(diǎn)作圖法得到。那么，對(duì)于余弦函數(shù)y=cosx的圖像是不是也

是這樣得到的呢？有沒(méi)有更好的方法呢？

【探究新知】

1.余弦函數(shù)y=cosx的圖像

由誘導(dǎo)公式有：

7T

與正弦函數(shù)關(guān)系:y=cosx=cos(-x)=sin[2-(-x)]=

7T

sin(x+2)

結(jié)論：(l)y=cosx,xeR與函數(shù)y=sin(x+2)xeR的圖象

相同

71

(2)將丫=$1僦的圖象向左平移,即得丫=cosx的圖象

(3)也同樣可用五點(diǎn)法作圖：y=cosxxc[0,2兀]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)

7C3萬(wàn)

鍵是(0,1)(i,o)(71,-1)(T,0)(271,1)

(4)類(lèi)似地，由于終邊相同的三角函數(shù)性質(zhì)y=cosx

xe[2k;i,2(k+1)71]keZ,kwO的圖像與y=cosxXG[0,2K]圖

像形狀相同只是位置不同(向左右每次平移27T個(gè)單位長(zhǎng)度)

----------------------------------------------------------------------------------?

----f兀23456%

4321TCnnnn

兀7171

y

X

2.余弦函數(shù)y=cosx的性質(zhì)

觀察上圖可以得到余弦函數(shù)y=cosx有以下性質(zhì)：

(1)定義域：y=cosx的定義域?yàn)镽

(2)值域：y=cosx的值域?yàn)閇-1,1],即有|cosx|《l(有界

性)

(3)最值：1。對(duì)于y=cosx當(dāng)且僅當(dāng)x=2k?i,keZ時(shí)ymax=

1

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)x=2k?i+IT,keZ時(shí)ymin=-1

7171

2°當(dāng)2k兀-2<x<2k兀+2(keZ)時(shí)y=cosx>0

713〃

當(dāng)2k兀+2<x<2kji+2(kcZ)時(shí)y=cosx<