第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)分校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1．（2分）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．趙爽弦圖 B．費(fèi)馬螺線(xiàn) C．科克曲線(xiàn) D．斐波那契螺旋線(xiàn)2．（2分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3+a2＝a5 B．a(chǎn)3?a2＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a(chǎn)8÷a2＝a43．（2分）如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，則∠ECD等于（）A．40° B．45° C．50° D．55°4．（2分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是（）A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）5．（2分）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．△ABC的三條中線(xiàn)的交點(diǎn) B．△ABC三邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn) C．△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn) D．△ABC三條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn)6．（2分）如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線(xiàn)剪開(kāi)，拼成右邊的長(zhǎng)方形．根據(jù)圖形的變化過(guò)程寫(xiě)出的一個(gè)正確的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）7．（2分）如圖，已知D為△ABC邊AB的中點(diǎn)，E在AC上，將△ABC沿著DE折疊，使A點(diǎn)落在BC上的F處．若∠B＝65°，則∠BDF等于（）A．65° B．50° C．60° D．57.5°8．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于M、AC于N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于D，下列四個(gè)結(jié)論：①AD是∠BAC的平分線(xiàn)；②∠ADC＝60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線(xiàn)上；④S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正確的有（）A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）計(jì)算：28x4y2÷7x3y＝．10．（2分）隨著人們物質(zhì)生活的提高，手機(jī)成為一種生活中不可缺少的東西，手機(jī)很方便攜帶，但唯一的缺點(diǎn)就是沒(méi)有固定的支點(diǎn)．為了解決這一問(wèn)題，某工廠(chǎng)研制生產(chǎn)了一種如圖所示的手機(jī)支架．把手機(jī)放在上面就可以方便地使用手機(jī)，這是利用了三角形的．11．（2分）沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語(yǔ)，具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線(xiàn)間的距離相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD＝16米．請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)AB的長(zhǎng)度．12．（2分）已知點(diǎn)P（3，﹣1），關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是．13．（2分）若等腰三角形的頂角為30°，腰長(zhǎng)為6，則此等腰三角形的面積為．14．（2分）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，則∠DGB＝．15．（2分）如圖，是某課題學(xué)習(xí)小組對(duì)地圖上的A、B、E、F、G、H、P、C八處地點(diǎn)進(jìn)行觀察、分析．在討論中得到了∠B＝∠C＝60°，F(xiàn)、H都在線(xiàn)段BC上，EF∥GH∥AC，PH∥GF∥AB的正確結(jié)論．接著，小聰又提出了如下結(jié)論線(xiàn)路B→A→C與線(xiàn)路B→E→F→G→H→P→C一樣長(zhǎng)．請(qǐng)判斷小聰提出的結(jié)論正確嗎？（填“正確”或“錯(cuò)誤”）．16．（2分）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒時(shí)，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．三、解答題（本題共有68分，第17—22題每題5分，第23—26題每題6分，第27—28題每題7分）17．計(jì)算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x（x﹣3）．18．計(jì)算：（8a3﹣4a2b+5a2）÷（2a）2．19．因式分解：ax2﹣6ax+9a．20．因式分解：a2（x﹣y）+（y﹣x）．21．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線(xiàn)l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的長(zhǎng)度．22．已知：如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，且AD＝AE；求∠EDC的度數(shù)．23．已知3x2﹣x﹣1＝0，求代數(shù)式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．24．如圖，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P為BC上一點(diǎn)（不與B，C重合）．在AB上找一點(diǎn)M，在AC上找一點(diǎn)N，使得△AMN與△PMN全等，以下是甲，乙兩位同學(xué)的作法．甲：連接AP，作線(xiàn)投AP的垂直平分線(xiàn)，分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)即為所求；乙：過(guò)點(diǎn)P作PM∥AC，交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN∥AB，交AC于點(diǎn)N，則M，N兩點(diǎn)即為所求．（1）對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是；A．兩人都正確B．甲正確，乙錯(cuò)誤C．甲錯(cuò)誤，乙正確（2）選擇一種你認(rèn)為正確的作法，補(bǔ)全圖形并證明．25．如圖，在等邊三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q．求證：（1）△ABE≌△CAD；（2）BP＝2PQ．26．閱讀理解：①32+42＞2×3×4②32+32＝2×3×3；③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）（1）觀察以上各式，你發(fā)現(xiàn)它們有什么規(guī)律嗎？請(qǐng)用含有a、b的式子表示上述規(guī)律；（2）運(yùn)用你所學(xué)的知識(shí)證明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．27．在等邊三角形ABC外側(cè)作射線(xiàn)AP，∠BAP＝α，點(diǎn)B關(guān)于射線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD交AP于點(diǎn)E．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求∠AEC的度數(shù)；（3）當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，用等式表示線(xiàn)段AE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．對(duì)于△ABC及其邊上的點(diǎn)P，給出如下定義：如果點(diǎn)M1，M2，M3，…，Mn都在△ABC的邊上，且PM1＝PM2＝PM3＝…＝PMn，那么稱(chēng)點(diǎn)M1，M2，M3，…，Mn為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線(xiàn)段PM1，PM2，PM3，…，PMn，為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線(xiàn)段．（1）如圖1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)．①點(diǎn)B，C△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線(xiàn)段PA，PB△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線(xiàn)段；（填“是”或“不是”）②△ABC關(guān)于點(diǎn)P的兩個(gè)等距點(diǎn)M1，M2分別在邊AB，AC上，當(dāng)相應(yīng)的等距線(xiàn)段最短時(shí)，在圖1中畫(huà)出線(xiàn)段PM1，PM2；（2）如圖2，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)C，D是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，且PC＝1，求線(xiàn)段DC的長(zhǎng)；（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．點(diǎn)P在BC上，△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有3個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)C．若BC＝a，直接寫(xiě)出PC＝．（用含a的式子表示）

2021-2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)陳經(jīng)綸中學(xué)分校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1．（2分）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．趙爽弦圖 B．費(fèi)馬螺線(xiàn) C．科克曲線(xiàn) D．斐波那契螺旋線(xiàn)【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形定義進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確；D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3+a2＝a5 B．a(chǎn)3?a2＝a5 C．（a2）3＝a5 D．a(chǎn)8÷a2＝a4【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的除法，逐一進(jìn)行計(jì)算即可判斷．【解答】解：A．因?yàn)閍3+a2≠a5，故A選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；B．因?yàn)閍3?a2＝a5，故B選項(xiàng)計(jì)算正確；C．因?yàn)椋╝2）3＝a6，故C選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；D．因?yàn)閍8÷a2＝a6，故D選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，合并同類(lèi)項(xiàng)，解決本題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，冪的乘方與積的乘方法則．3．（2分）如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，則∠ECD等于（）A．40° B．45° C．50° D．55°【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ACD，根據(jù)角平分線(xiàn)定義求出即可．【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝100°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝50°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)定義和三角形外角性質(zhì)，能熟記三角形外角性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．4．（2分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是（）A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）【分析】我們可以通過(guò)其作圖的步驟來(lái)進(jìn)行分析，作圖時(shí)滿(mǎn)足了三條邊對(duì)應(yīng)相等，于是我們可以判定是運(yùn)用SSS，答案可得．【解答】解：作圖的步驟：①以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA、OB于點(diǎn)D、C；②任意作一點(diǎn)O′，作射線(xiàn)O′B′，以O(shè)′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′B′于點(diǎn)C′；③以C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)D′；④過(guò)點(diǎn)D′作射線(xiàn)O′A′．所以∠A′O′B′就是與∠AOB相等的角；作圖完畢．在△OCD與△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′＝∠AOB，顯然運(yùn)用的判定方法是SSS．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；由全等得到角相等是用的全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)是正確解答本題的關(guān)鍵．5．（2分）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．△ABC的三條中線(xiàn)的交點(diǎn) B．△ABC三邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn) C．△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn) D．△ABC三條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn)【分析】由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到邊的距離相等，可知是△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)．由此即可確定涼亭位置．【解答】解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭選擇△ABC三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是角的平分線(xiàn)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．主要利用了到線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．6．（2分）如圖，從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，將陰影部分沿虛線(xiàn)剪開(kāi)，拼成右邊的長(zhǎng)方形．根據(jù)圖形的變化過(guò)程寫(xiě)出的一個(gè)正確的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】根據(jù)面積相等，列出關(guān)系式即可．【解答】解：由題意這兩個(gè)圖形的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)平方差公式的知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)在邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形是解此題的關(guān)鍵．7．（2分）如圖，已知D為△ABC邊AB的中點(diǎn)，E在AC上，將△ABC沿著DE折疊，使A點(diǎn)落在BC上的F處．若∠B＝65°，則∠BDF等于（）A．65° B．50° C．60° D．57.5°【分析】先根據(jù)圖形翻折不變性的性質(zhì)可得AD＝DF，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠B＝∠BFD，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求解．【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直線(xiàn)DE翻折變換而來(lái)，∴AD＝DF，∵D是AB邊的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴BD＝DF，∴∠B＝∠BFD，∵∠B＝65°，∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形翻折變換的圖形能夠重合的性質(zhì)，以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟知折疊的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8．（2分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于M、AC于N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于D，下列四個(gè)結(jié)論：①AD是∠BAC的平分線(xiàn)；②∠ADC＝60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線(xiàn)上；④S△ACD：S△ACB＝1：3．其中正確的有（）A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有①③④ D．①②③④【分析】利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及各內(nèi)角度數(shù)和三角形面積求法分別得出即可．【解答】解：根據(jù)作圖方法可得AD是∠BAC的平分線(xiàn)，故①正確；∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，∴∠ADC＝60°，故②正確；∵∠B＝30°，∠DAB＝30°，∴AD＝DB，∴點(diǎn)D在AB的中垂線(xiàn)上，故③正確；∵∠CAD＝30°，∴CD＝AD，∵AD＝DB，∴CD＝DB，∴CD＝CB，S△ACD＝CD?AC，S△ACB＝CB?AC，∴S△ACD：S△ACB＝1：3，故④正確，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形面積求法等知識(shí)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠DAC＝∠DAB＝30°是解題關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）計(jì)算：28x4y2÷7x3y＝4xy．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則計(jì)算即可．【解答】解：28x4y2÷7x3y＝4xy，故答案為：4xy．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的除法，用到的知識(shí)點(diǎn)是單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，在計(jì)算時(shí)要注意系數(shù)和指數(shù)的變化．10．（2分）隨著人們物質(zhì)生活的提高，手機(jī)成為一種生活中不可缺少的東西，手機(jī)很方便攜帶，但唯一的缺點(diǎn)就是沒(méi)有固定的支點(diǎn)．為了解決這一問(wèn)題，某工廠(chǎng)研制生產(chǎn)了一種如圖所示的手機(jī)支架．把手機(jī)放在上面就可以方便地使用手機(jī)，這是利用了三角形的三角形的穩(wěn)定性．【分析】利用三角形的穩(wěn)定性的性質(zhì)直接回答即可．【解答】解：把手機(jī)放在上面就可以方便地使用手機(jī)，這是利用了三角形的穩(wěn)定性，故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是掌握三角形具有穩(wěn)定性．11．（2分）沛沛沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風(fēng)景，在由C走到D的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的一條標(biāo)語(yǔ)，具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線(xiàn)間的距離相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD＝16米．請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)AB的長(zhǎng)度16米．【分析】由AB∥CD，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP＝90°，∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，∵相鄰兩平行線(xiàn)間的距離相等，∴PD＝PB，在△ABP與△CDP中，，∴△ABP≌△CDP（ASA），∴CD＝AB＝16（米），故答案為：16米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)定理，綜合運(yùn)用各定理是解答此題的關(guān)鍵．12．（2分）已知點(diǎn)P（3，﹣1），關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，﹣1）．【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等的特征解決問(wèn)題即可．【解答】解：∵點(diǎn)P（3，﹣1），∴點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，﹣1），故答案為：（﹣3，﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等．13．（2分）若等腰三角形的頂角為30°，腰長(zhǎng)為6，則此等腰三角形的面積為9．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求得BD＝3，然后利用三角形面積公式解答即可．【解答】解：如圖所示，過(guò)B作BD⊥AC于D，∵∠A＝30°，AB＝6，∴BD＝AB＝3，∴S△ABC＝AC×BD＝×6×3＝9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．14．（2分）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交DA于F，交DE于G，∠D＝25°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，則∠DGB＝66°．【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACB＝∠E，再求出∠ACF，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠E＝105°，∴∠ACF＝180°﹣105°＝75°，在△ACF和△DGF中，∠D+∠DGB＝∠DAC+∠ACF，即25°+∠DGB＝16°+75°，解得∠DGB＝66°．故答案為：66°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，是某課題學(xué)習(xí)小組對(duì)地圖上的A、B、E、F、G、H、P、C八處地點(diǎn)進(jìn)行觀察、分析．在討論中得到了∠B＝∠C＝60°，F(xiàn)、H都在線(xiàn)段BC上，EF∥GH∥AC，PH∥GF∥AB的正確結(jié)論．接著，小聰又提出了如下結(jié)論線(xiàn)路B→A→C與線(xiàn)路B→E→F→G→H→P→C一樣長(zhǎng)．請(qǐng)判斷小聰提出的結(jié)論正確嗎？正確（填“正確”或“錯(cuò)誤”）．【分析】由∠B＝∠C＝60°，即可推出△ABC為等邊三角形，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可推出△BEF、△FGH、△HPC均為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可推出線(xiàn)路B→A→C與線(xiàn)路B→E→F→G→H→P→C一樣長(zhǎng)．【解答】解：正確，理由：∵∠B＝∠C＝60°，∴∠A＝60°∴△ABC是等邊三角形，又∵EF∥AC，∴∠EFB＝∠C＝60°，∵∠B＝60°，∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等邊三角形．同理可證△FGH、△HPC是等邊三角形；∵△BEF、△FGH、△HPC都是等邊三角形，∴BE+EF＝2BF，F(xiàn)G+GH＝2FH，HP+PC＝2HC，∴BE+EF+FG+GH+HP+PC＝2（BF+FH+HC）＝2BC，又∵△ABC是等邊三角形，∴AB+AC＝2BC，∴AB+AC＝BE+EF+FG+GH+HP+PC，線(xiàn)路B→A→C與線(xiàn)路B→E→F→G→H→P→C一樣長(zhǎng)．故答案為：正確．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2分）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3或厘米/秒時(shí)，能夠使△BPE與以C、P、Q三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形全等．【分析】分兩種情況討論，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①當(dāng)BE＝CP＝6，BP＝CQ時(shí)，△BPE與△CQP全等，此時(shí)，6＝8﹣3t，解得t＝，∴BP＝CQ＝2，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為2÷＝3厘米/秒；②當(dāng)BE＝CQ＝6，BP＝CP時(shí)，△BPE與△CQP全等，此時(shí)，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為6÷＝厘米/秒；故答案為：3或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．三、解答題（本題共有68分，第17—22題每題5分，第23—26題每題6分，第27—28題每題7分）17．計(jì)算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x（x﹣3）．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算，再去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)即可得．【解答】解：原式＝x2﹣5x﹣2x+10﹣x2+3x＝﹣4x+10，故答案為：﹣4x+10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．18．計(jì)算：（8a3﹣4a2b+5a2）÷（2a）2．【分析】多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加．【解答】原式＝（8a3﹣4a2b+5a2）÷4a2＝8a3÷4a2﹣4a2b÷4a2+5a2÷4a2＝2a﹣b+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都分別除以這個(gè)單項(xiàng)式，然后再把所得的商相加．19．因式分解：ax2﹣6ax+9a．【分析】原式提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝a（x2﹣6x+9）＝a（x﹣3）2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．20．因式分解：a2（x﹣y）+（y﹣x）．【分析】原式變形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣1）＝（x﹣y）（a+1）（a﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．21．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在直線(xiàn)l上（F、C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A、D在l異側(cè)，測(cè)得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的長(zhǎng)度．【分析】（1）先證明∠ABC＝∠DEF，再根據(jù)ASA即可證明．（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】（1）證明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC與△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形的條件，記住平行線(xiàn)的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．22．已知：如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，且AD＝AE；求∠EDC的度數(shù)．【分析】根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)得到∠ADC＝90°，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到∠DAE＝40°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠ADE＝70°，再根據(jù)角的和差關(guān)系求得∠EDC的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∠ADC＝90°，∵∠BAC＝80°，∴∠DAE＝∠BAC＝40°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝70°，∴∠EDC＝90°﹣70°＝20°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．23．已知3x2﹣x﹣1＝0，求代數(shù)式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．【分析】首先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，然后再合并同類(lèi)項(xiàng)，化簡(jiǎn)后，再代入求值即可．【解答】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，∵3x2﹣x﹣1＝0，∴3x2﹣x＝1．∴原式＝2（3x2﹣x）﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握有乘方、乘除的混合運(yùn)算中，要按照先乘方后乘除的順序運(yùn)算，其運(yùn)算順序和有理數(shù)的混合運(yùn)算順序相似．24．如圖，在△ABC中，AB＞AC＞BC，P為BC上一點(diǎn)（不與B，C重合）．在AB上找一點(diǎn)M，在AC上找一點(diǎn)N，使得△AMN與△PMN全等，以下是甲，乙兩位同學(xué)的作法．甲：連接AP，作線(xiàn)投AP的垂直平分線(xiàn)，分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)即為所求；乙：過(guò)點(diǎn)P作PM∥AC，交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PN∥AB，交AC于點(diǎn)N，則M，N兩點(diǎn)即為所求．（1）對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是A；A．兩人都正確B．甲正確，乙錯(cuò)誤C．甲錯(cuò)誤，乙正確（2）選擇一種你認(rèn)為正確的作法，補(bǔ)全圖形并證明．【分析】（1）結(jié)論兩人都是正確的．（2）根據(jù)全等三角形的判定分別證明即可．【解答】解：（1）兩人都正確，故選A．（2）甲：如圖1中，∵M(jìn)N垂直平分線(xiàn)段PA，∴MA＝MP，NA＝NP，在△AMN和△PMN中，，∴△AMN≌△PMN（SSS）．乙：如圖2中，∵PM∥AC，PN∥AB，∴四邊形AMPN是平行四邊形，∴AM＝PN，PM＝AN，在△AMN和△PMN中，，∴△AMN≌△PNM（SSS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．25．如圖，在等邊三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q．求證：（1）△ABE≌△CAD；（2）BP＝2PQ．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；（2）先由全等三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)求得∠BPQ＝60°，得∠PBQ＝30°，再由“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝CA，∠BAE＝∠C＝60°，在△ABE與△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）；（2）由（1）知，△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD，∴∠BAD+∠ABE＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝60°，∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE＝60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°，∴BP＝2CQ．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．26．閱讀理解：①32+42＞2×3×4②32+32＝2×3×3；③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×（﹣5）（1）觀察以上各式，你發(fā)現(xiàn)它們有什么規(guī)律嗎？請(qǐng)用含有a、b的式子表示上述規(guī)律；（2）運(yùn)用你所學(xué)的知識(shí)證明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．【分析】（1）觀察各式，即可得出規(guī)律：如果a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有a2+b2≥2ab；（2）根據(jù)完全平方的計(jì)算結(jié)果是非負(fù)數(shù)證明即可；（3）根據(jù)規(guī)律可得ab≤（a+b）2．【解答】解：（1）規(guī)律是：如果a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有a2+b2≥2ab；（2）∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（3）∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2﹣2ab≥2ab，（a+b）2≥4ab，ab≤（a+b）2＝×16＝4．故ab的最大值是4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較以及數(shù)字的變化規(guī)律，通過(guò)閱讀題目，發(fā)現(xiàn)規(guī)律實(shí)質(zhì)上是完全平方公式的變形：因?yàn)椋╝﹣b）2≥0，所以a2+b2≥2ab．27．在等邊三角形ABC外側(cè)作射線(xiàn)AP，∠BAP＝α，點(diǎn)B關(guān)于射線(xiàn)AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD交AP于點(diǎn)E．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求∠AEC的度數(shù)；（3）當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，用等式表示線(xiàn)段AE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可求∠ADC的度數(shù)，由外角性質(zhì)可求解；（3）由“AAS”可證△BCG≌△DAE，可得AE＝CG，即可求解．【解答】（1）解：如圖，補(bǔ)全圖形：（2）解：如圖，連接AD，由對(duì)稱(chēng)可知，∠BAE＝∠DAE＝α，∵AD＝AB＝AC，∴∠ADC＝＝60°﹣α，∠AEC＝60°，∵∠ACB＝60°，∠ACD＝∠ADC＝60°﹣α，∴∠BCE＝α，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝∠ADC＝60°﹣α，∴∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠BEC；（3）當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，CD＝2DE+AE，理由如下：如圖，在CD上截取BG＝BE，∵∠BEC＝60°，∴△BGE是等邊三角形，∴∠BGC＝∠AED＝120°，∵∠BCE＝∠DAE＝α，