問題7平面向量中最值、范圍問題一、考情剖析平面向量中的范圍、最值問題是熱門問題,也是難點問題,此類問題綜合性強,表現(xiàn)了知識的交匯組合．其基此題型是依據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值

,比方向量的模、數(shù)目積、向量夾角、系數(shù)的范圍的等

,解決思路是成立目標函數(shù)的函數(shù)分析式

,轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最值

,同時向量兼?zhèn)洹皵?shù)”與“形”的兩重身份

,所以解決平面向量的范圍、最值問題的此外一種思路是數(shù)形聯(lián)合．二、經(jīng)驗分享1.利用平面向量的數(shù)目積能夠解決幾何中的垂直、夾角、長度等問題

,即只要將問題轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄啃问?/p>

,用向量的運算來求解

.假如能夠成立適合的直角坐標系

,用向量的坐標運算常常更加簡捷

.1.平面向量線性運算問題的常有種類及解題策略2.幾何圖形中向量的數(shù)目積問題是近幾年高考的又一熱門

,作為一類既能考察向量的線性運算、坐標運算、數(shù)目積及平面幾何知識

,又能考察學生的數(shù)形聯(lián)合能力及轉(zhuǎn)變與化歸能力的問題

,實有其合理之處

.解決此類問題的常用方法是：①利用已知條件

,聯(lián)合平面幾何知識及向量數(shù)目積的基本觀點直接求解

(較易)；②將條件經(jīng)過向量的線性運算進行轉(zhuǎn)變,再利用①求解(較難)；③建系,借助向量的坐標運算,此法對解含垂直關(guān)系的問題常常有很好成效.3．坐標是向量代數(shù)化的媒介

,經(jīng)過向量的坐標表示可將向量問題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)問題來解決

,而坐標的獲取往常要借助于直角坐標系

.

對于某些平面向量問題

,

若能成立適合的直角坐標系

,能夠使圖形中復雜的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蚊髁恋拇鷶?shù)關(guān)系,減少推理過程,有效地降低思想量,起到事半功倍的成效．上邊兩題都是通過成立坐標系將向量問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)與不等式問題求解,表現(xiàn)了向量解題的工具性.三、知識拓展1．.2．四、題型剖析(一)平面向量數(shù)目積的范圍問題已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為,把數(shù)目abcos叫做a和b的數(shù)目積(或內(nèi)積),記作ab.即ab=abcos,規(guī)定a00,數(shù)目積的表示一般有三種方法：(1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即ab=abcos；(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),則a·b＝x1x2＋y1y2；（3）運用平面向量基本定理,將數(shù)目積的兩個向量用基底表示后,再運算．【例1】【江蘇省蘇州市2019屆高三上學期期末】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M，N分別是邊BC，CD上的兩個動點，且BM＋DN＝MN，則的最小值是_______．【答案】【剖析】由題意，以點A為原點，成立的平面直角坐標系，設點，此中，則向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.【分析】由題意，以點A為原點，成立如下圖的平面直角坐標系，設點，此中，則向量，所以又由，則，整理得，又由，設，整理得，解得，所以，所以的最小值為.【評論】與幾何圖形相關(guān)的平面向量的數(shù)目積的運算及應用，常經(jīng)過成立空間直角坐標系，利用向量的數(shù)量積的坐標運算求解【小試牛刀】【江蘇省鹽城中學2018屆高三上學期期末】已知ABC的周長為6,且BC,CA,AB成等比數(shù)列,則BABC的取值范圍是______．【答案】【分析】因為BC,CA,AB成等比數(shù)列,所以,從而0b2,所以,又,即,解得,故.(二)平面向量模的取值范圍問題設a(x,y),則,向量的模能夠利用坐標表示,也能夠借助“形”,向量的模指的是有向線段的長度,過可聯(lián)合平面幾何知識求解,特別注意,假如直接求模不易,能夠?qū)⑾蛄坑没紫蛄勘硎驹偾螅纠?】已知向量a,b,c知足a與b的夾角為,,則ca的4最大值為.【剖析】依據(jù)已知條件可成立直角坐標系,用坐標表示相關(guān)點（向量）,確立變量知足的等式和目標函數(shù)的分析式,聯(lián)合平面幾何知識求最值或范圍.【分析】設；以OA所在直線為x,O為坐標原點成立平面直角坐標系,∵a與b的夾角為,4則A（4,0）,B（2,2）,設C（x,y）∵,x2+y2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）為圓心,以1為半徑的圓,a表示點A,C的距離即圓上的點與點A（4,0）的距離；∵圓心到B的距離為,∴ca的最大值為21．【評論】成立直角坐標系的原則是能正確快捷地表示相關(guān)向量或點的坐標,正確找到變量間的關(guān)系,以及目標函數(shù)代表的幾何意義是解題重點．【小試牛刀】【2018屆山東省濟南高三上學期期末】已知平面上的兩個向量OBb,且a2b21,OAOB0,若向量,則OC的最大值為__________．3【答案】【分析】因為OAa,OBb,且a2b21,OAOB0,,,OD1,2可,心,1為半徑的圓上,當O，C,D共線時OC最大,OC的最大值為(三)平面向量夾角的取值范圍問題

OA和OB知足OAa,,且如圖,取AB中點D,則由得DC1,C在以D為圓OD331,故答案為.22設a(x1,y1),b(x2,y2),且a,b的夾角為,則．【例3】已知向量OA與OB的夾角為,在t0時獲得最1小值,當0t0時,夾角的取值范圍為________________.5【剖析】將PQ表示為變量t的二次函數(shù)PQ,轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠖魏瘮?shù)的最小值問題,當時,取最小值,由已知條件0t01的不等式,解不等式得解．,得對于夾角5【分析】由題意知,,,所以,由二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)知,當上式取最小值時,.由題意可得,,求得2,所以.23【評論】求變量的取值范圍、最值,常常要將目標函數(shù)用某個變量表示,轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最值問題,時期要注意變量之間的關(guān)系,從而得解．【小試牛刀】已知非零向量a,b知足a2b,若函數(shù)在R上存在極值,則a和b夾角的取值范圍為【答案】,3【分析】,設a和b夾角為,因為fx有極值,所以,即,即cos1,．,所以23（四）平面向量系數(shù)的取值范圍問題平面向量中波及系數(shù)的范圍問題時,要注意利用向量的模、數(shù)目積、夾角之間的關(guān)系,經(jīng)過列不等式或等式得系數(shù)的不等式,從而求系數(shù)的取值范圍．【例4】已知a,2,b3,5,且a與b的夾角為銳角,則的取值范圍是．【剖析】a與b的夾角為銳角等價于ab0,且a與b不共線同向,所以由ab0,得10,再除掉a與3b共線同向的情況．【分析】因為a與b的夾角為銳角,ab0,且a與b不共線同向,由,解得106,得6106,當向量a與b共線時,得5,所以的取值范圍是且．3535【評論】注意愿量夾角與三角形內(nèi)角的差別,向量夾角的范圍是[0,],而三角形內(nèi)角范圍是(0,),向量夾角是銳角,則cos0,且cos1,而三角形內(nèi)角為銳角,則cos0,．【小試牛刀】【江蘇省泰州中學2018屆高三10月月考】如圖,在ABC中,.（1）求ABBC的值；（2）設點P在以A為圓心,AB為半徑的圓弧BC上運動,且,此中x,yR.求xy的取值范圍.【分析】（1）（2）成立如下圖的平面直角坐標,則設,由得.所以所因為,所以,當22時,即時,xy的最大值為63當或即或20

..,.以..1；時,xy的最小值為0.3五、遷徙運用1．【江蘇省南通、揚州、泰州、蘇北四市七市，

2019屆高三第一次（則

2月)模擬】在平面四邊形的最小值為_____．

中，【答案】【分析】如圖，以A為原點，成立平面直角坐標系，則A（0,0），B（1,0），因為

DA＝DB，可設D（，m），因為

，AB＝1，由數(shù)目積的幾何意義知

在方向的投影為

3，∴可設

C（3，n），又

所以，

，即，當且僅當

＝

，即

＝n＝1，m＝時，取等號，

，故答案為

.2．【江蘇省無錫市

2019屆高三上學期期末】

已知點

P

在圓

M：(x-a)

2+(y－a+2)2

＝1

上，

A，B

為圓

C：x2+(y-4)

2＝4

上兩動點，且

AB

＝2

,

則

的最小值是

____．【答案】【分析】取AB的中點D，因為AB＝2，R＝2，CD＝＝1，所以，＝.C（0,4），M（a，a－2）當C、D、P、M在一條直線上時，｜PD｜最小，此時，｜PD｜＝｜CM｜－｜CD｜－｜PM｜＝所以，＝≥19－12，當a＝3時取到最小值19－12.故答案為：.3．【江蘇省清江中學2019屆高三第二次教課質(zhì)量調(diào)研】在平面直角坐標系中，已知點為圓上的兩動點，且若圓上存在點使得則正數(shù)的取值范圍為________.【答案】【分析】設BD的中點為D,所以所以點D在以原點為圓心，以1為半徑的圓上，所以點D的軌跡方程為，因為，所以設所以所以m表示動點到點（1,1）的距離，因為點在圓上運動，所以，所以正數(shù)m的取值范圍為.故答案為：4．【江蘇省如皋市2018-2019學年高三數(shù)學第一學期教課質(zhì)量調(diào)研】在△ABC中，D為AB的中點，若，則的最小值是_______．【答案】．【分析】依據(jù)D為AB的中點，若，獲取，化簡整理得，即，依據(jù)正弦定理可得，進一步求得，所以，求導可適合時，式子獲得最大值，代入求得其結(jié)果為，故答案為.5．【江蘇省常州2018屆高三上學期期末】在ABC中,AB5,AC7,BC3,P為ABC內(nèi)一點（含界限）,若知足,則BABP的取值范圍為________．【答案】5,2584【分析】由余弦定理,得,所以

,因為P為ABC內(nèi)一點（含界限）,且知足30,,則.6．【江蘇省南通市2018屆高三上學期第一次調(diào)研】如圖,已知矩形ABCD的邊長AB2,AD1.點P,Q分別在邊BC,CD上,且,則APAQ的最小值為_________.【答案】424【分析】以A坐標原點,AB,AD所在直線為x,y軸成立直角坐標系,設所以APAQ因為,所以因為,所以所以7．【江蘇省如皋市2017--2018學年度高三年級第一學期教課質(zhì)量調(diào)研】已知點P是邊長為23的正三角形ABC內(nèi)切圓上的一點,則PAPB的取值范圍為_______.【答案】3,1【分析】以正三角形ABC的中心為原點,以AB邊上的高為y正三角形ABC內(nèi)切圓的方程為x2y21

軸成立坐標系,則,,所以可設,則,,故答案為3,1.8．【南京市、鹽城市2018屆高三年級第一次模擬考試】如圖是蜂巢構(gòu)造圖的一部分,正六邊形的邊長均為1,正六邊形的極點稱為“晶格點”．若A,B,C,D四點均位于圖中的“晶格點”處,且A,B的地點所圖所示,則ABCD的最大值為________．【答案】24【分析】先成立直角坐標系,由向量投影知ABCD取最大值時,即ABCD9．【江蘇省泰州中學2018屆高三12月月考】已知單位向量a,b的夾角為120,那么2axb（xR）的最小值是__________．【答案】3【分析】2axb的最小值為3.10．【江蘇省溧陽市2017-2018學年高三第一學期階段性調(diào)研】扇形AOB中,弦AB2，C為劣弧AB上的動點,AB與OC交于點P,則OP·BP的最小值是_____________________．【答案】

14【分析】設弦AB中點為M,則若MP,BP同向,則OPBP0,若MP,BP反向,則OPBP0,故OPBP的最小值在MP,BP反向時獲得,此時,則：,當且僅當時取等號,即OPBP的最小值是1.411．已知AB為圓O的直徑,M為圓O的弦CD上一動點,AB8,CD6,則MAMB的取值范圍是．【答案】[9,0]【分析】試題剖析：,而,所以MAMB的取值范圍是[9,0]12．在ABC中,,則角A的最大值為_________.【答案】6【分析】試題剖析:由題設可得,即,也即,故,由于,因此,故,所以,所以Amax,應6填答案.613．在平面內(nèi),定點A,B,C,D知足,動點P,M知足,則BM的最大值是__________.【答案】321【分析】試題剖析:設,則.由題設可知,且.成立如下圖的平面直角坐標系,則,由題意點P在以A為圓心的圓上,點M是線段PC的中點.故聯(lián)合圖形可知當CP與圓相切時,BM的值最大,其最大值是321.應填答案321.14．【2018屆江蘇省泰州中學高三12月月考】在矩形ABCD中,AB3,AD1,若M,N分別在邊BC,CD上運動（包含端點,且知足,則AMAN的取值范圍是__________．【答案】[1,9]【分析】分別以AB,AD為x,y軸成立直角坐標系,則,設,因為,所以b3x,,則3故,所以,故填[1,9].15.在ABC中,點D在線段BC的延伸線上,且BC1CD,點O在線段CD上（與點C,D不重合）,若2,則x的取值范圍是__________．【答案】2,0【分析】因為,因為BC1CD,點O在線段CD上,2所以y0,2,因為,所以x2,0.16．已知向量ax,2,by,1,此中x,y都是正實數(shù),若ab,則tx2y的最小值是___________．【答案】4【分析】由ab,得a17．在ABC中,已知AB

b0,即,所以xy2．又x,．當且僅當x2y時獲得等號,此時x2,y1,uuruur3,C,則CACB的最大值為.3

都是正實數(shù),所以故答案為：4．【答案】

32【分析】uuruur3,當且僅當aCACB218