2.1.3&2.1.4空間中直線與平面之間的位置關系、平面與平面之間的位置關系預習課本P48～50，思考并完成以下問題1．直線與平面的位置關系有哪幾種？2．平面與平面的位置關系有哪幾種？3．直線與平面的幾種位置關系分別是怎樣定義與表示的？4．平面與平面的幾種位置關系分別是怎樣定義與表示的？eq\a\vs4\al([新知初探])1．直線與平面的位置關系位置關系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點無數(shù)個公共點一個公共點沒有公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示2．兩個平面的位置關系位置關系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示[點睛](1)判斷面面位置關系時，要利用好長方體(或正方體)這一模型．(2)畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行()(2)若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行()(3)若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行()(4)若兩個平面都平行于同一條直線，則這兩個平面平行()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2.如圖所示，用符號語言可表示為()A．α∩β＝l B．α∥β，l∈αC．l∥β，l?α D．α∥β，l?α解析：選D顯然圖中α∥β，且l?α.3．平面α∥平面β，直線a?α，則a與β的位置關系是________．答案：平行直線與平面的位置關系[典例]下列命題中，正確命題的個數(shù)是()①如果a，b是兩條平行直線，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b滿足a∥α，b∥α，則a∥b；④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；⑤如果平面α的同側有兩點A，B到平面α的距離相等，則AB∥α.A．0 B．1C．2 D．3[解析]如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′與A′D′相交，所以③不正確；④中，假設b與α相交，因為a∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即④正確；⑤顯然正確，故答案為C.[答案]C在判斷直線與平面的位置關系時，這三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏．另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，以便于正確作出判斷，避免憑空臆斷．[活學活用]下列說法：①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b?α，則a∥α；④若直線a∥b，b?α，那么直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．其中正確的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A對于①，∵直線l雖與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，但l有可能在平面α內(nèi)，∴l(xiāng)不一定平行于α，①錯誤；對于②，∵直線a在平面α外包括兩種情況：a∥α和a與α相交，∴a和α不一定平行，②錯誤；對于③，直線a∥b，b?α，只能說明a和b沒有公共點，a可能在平面α內(nèi)，∴a不一定平行于α，③錯誤；對于④，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線平行，④正確.平面與平面的位置關系[典例]α，β是兩個不重合的平面，下面說法中正確的是()A．平面α內(nèi)有兩條直線a，b都與平面β平行，那么α∥βB．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β，那么α∥βC．若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行，那么α∥β[解析]A、B都不能保證α，β無公共點，如圖(1)所示；C中當a∥α，a∥β時，α與β可能相交，如圖(2)所示；只有D說明α，β一定無公共點，即α∥β.[答案]D兩個平面的位置關系同平面內(nèi)兩條直線的位置關系類似，可以從有無公共點區(qū)分：如果兩個平面有一個公共點，那么由公理3可知，這兩個平面相交于過這個點的一條直線；如果兩個平面沒有公共點，那么就說這兩個平面互相平行．這樣我們可以得出兩個平面的位置關系：①平行——沒有公共點；②相交——有且只有一條公共直線．若平面α與β平行，記作α∥β；若平面α與β相交，且交線為l，記作α∩β＝l.[活學活用]1．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有________組互相平行的面．與其中一個側面相交的面共有________個．解析：六棱柱的兩個底面互相平行，每個側面與其直接相對的側面平行，故共有4組互相平行的面．六棱柱共有8個面圍成，在其余的7個面中，與某個側面平行的面有1個，其余6個面與該側面均為相交的關系．答案：462.如圖所示，平面ABC與三棱柱ABC-A1B1C1的其他面之間有什么位置關系？解：∵平面ABC與平面A1B1C1無公共點，∴平面ABC與平面A1B1C∵平面ABC與平面ABB1A1有公共直線AB∴平面ABC與平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC與平面ACC1A1及平面BCC1B1線面、面面交線問題[典例]在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為A1B1，B1C1的中點．求證：平面ACC1A1與平面[證明]∵在矩形AA1B1B中，E為A1B1的中點，∴AA1與BE不平行，則AA1，BE的延長線相交于一點，設此點為G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1?平面ACC1A1，BE?平面BEF∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF∴平面ACC1A1與平面BEF判斷或證明平面與平面的位置關系時主要考慮平面與平面有無公共點，如果沒有公共點，則兩平面平行；如果可以找到一個公共點，則兩平面相交．[活學活用]如圖所示，G是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延長線上的一點，E，F(xiàn)是棱AB，BC(1)過點G及AC；(2)過三點E，F(xiàn)，D1.解：(1)畫法：連接GA交A1D1于點M，連接GC交C1D1于點N；連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示．(2)畫法：連接EF交DC的延長線于點P，交DA的延長線于點Q；連接D1P交CC1于點M，連接D1Q交AA1于點N；連接MF，NE，則D1M，MF，F(xiàn)E，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線．如圖②層級一學業(yè)水平達標1．正方體的六個面中互相平行的平面有()A．2對 B．3對C．4對 D．5對解析：選B作出正方體觀察可知，3對互相平行的平面．2．三棱臺的一條側棱所在直線與其對面所在的平面之間的關系是()A．相交 B．平行C．直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)解析：選A延長各側棱恢復成棱錐的形狀可知，三棱臺的一條側棱所在直線與其對面所在的平面相交．3．若a∥α，b∥α，則直線a，b的位置關系是()A．平行或異面 B．平行或相交C．相交或異面 D．平行、相交或異面解析：選D若a∥α，b∥α，則直線a，b的位置關系可能是平行、相交或異面．4．若直線a，b是異面直線，且a∥α，則直線b與平面α的位置關系是()A．b?α B．b∥αC．b與α相交 D．以上都有可能解析：選D首先明確空間中線、面位置關系有且只有三種：平行、相交、直線在平面內(nèi)．本題中直線b與平面α可能平行，可能相交，也可能在平面內(nèi)，故選D.5．若M∈平面α，M∈平面β，則α與β的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．不確定解析：選B∵M∈平面α，M∈平面β，∴α與β相交于過點M的一條直線．6．已知a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則下列說法中正確的序號為________．①若a∥b，b?α，則直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線；②若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；③若α∥β，a?α，則a∥β；④若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．解析：①中a∥b，b?α，所以不管a在平面內(nèi)或平面外，都有結論成立，故①正確；②中直線a與b沒有交點，所以a與b可能異面也可能平行，故②錯誤；③中直線a與平面β沒有公共點，所以a∥β，故③正確；④中直線a與平面β有可能平行，故④錯誤．答案：①③7．若直線m不平行于平面α，且m?α，則m與α的位置關系是________．答案：相交8．空間中三個平面將空間分成________部分．解析：①當三個平面兩兩平行時，將整個空間分成4部分；②當三個平面中有兩個互相平行，且同時與第三個平面相交或三個平面兩兩相交有1條交線時，分成6部分；③當三個平面兩兩相交且交線為3條互相平行的直線時，分成7部分；④當三個平面兩兩相交于共點的三條直線時，分成8部分．答案4或6或7或89.如圖，已知平面α和β相交于直線l，點A∈α，點B∈α，點C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么，平面ABC與平面β的交線與l有什么關系？證明你的結論．解：平面ABC與平面β的交線與l相交．證明如下：∵AB與l不平行，AB?α，l?α，∴AB與l是相交直線．設AB∩l＝P，則點P∈AB，點P∈l.又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即點P是平面ABC與平面β的一個公共點．而C也是平面ABC與平面β的一個公共點，又∵P，C不重合，∴直線PC就是平面ABC與平面β的交線，即平面ABC∩平面β＝直線PC.而直線PC∩l＝P，∴平面ABC與平面β的交線與l相交．10．三個平面α，β，γ.如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直線c?β，c∥b.(1)判斷c與α的位置關系，并說明理由；(2)判斷c與a的位置關系，并說明理由．解：(1)c∥α.因為α∥β，所以α與β沒有公共點，又c?β，所以c與α無公共點，則c∥α.(2)c∥a.因為α∥β，所以α與β沒有公共點．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，則a?α，b?β，且a，b?γ，所以a，b沒有公共點．因為a，b都在平面γ內(nèi)，所以a∥b，又c∥b，所以c∥a.層層級一應試能力達標1．若直線a，b是異面直線，a?β，則b與平面β的位置關系是()A．平行 B．相交C．b?β D．平行或相交解析：選D∵a，b異面，且a?β，∴b?β，∴b與β平行或相交．2．與同一個平面α都相交的兩條直線的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．以上都有可能解析：選D如圖所示：故相交、平行、異面都有可能．3．已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面．①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥c，c∥α?a∥α；③a∥β，a∥α?α∥β；④a?α，b?α，a∥b?a∥α.其中正確命題的個數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5解析：選A由公理4，知①正確；對于②，可能a∥α，也可能a?α；對于③，α與β可能平行，也可能相交；對于④，∵a?α，∴a∥α或a與α相交．∵b?α，a∥b，故a∥α.4．以下命題(其中a，b表示直線，α表示平面)：①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b∥α，則a∥α；④若a∥α，b?α，則a∥b.其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選A如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，CD∥AB，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①錯誤；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′與B′C′相交，故②錯誤；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③錯誤；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′與BC異面，故④錯誤．5．空間三個平面如果每兩個都相交，那么它們的交線有________條．解析：以打開的書面或長方體為模型，觀察可得結論．答案：1或36．若一條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線與另一平面的位置關系是________．解析：首先明確空間中線、面有且只有三種位置關系：平行、相交、直線在平面內(nèi)．本題中相交顯然不成立，平行或直線在平面內(nèi)都有可能．答案：平行或直線在平面內(nèi)7.如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，P是A′D的中點，Q是B′D′的中點，判斷直線PQ與平面AA′B′B的位置關系，并利用定義證明．解：直線PQ與平面AA′B′B平行．連接AD′，AB′，在△AB′D′中，∵PQ是△AB′D′的中位線，平面AB′D′∩平面AA′B′B＝AB′，∴PQ在平面AA′B′B外，且與直線AB′