練習(xí)8

1.如圖?所示?桿45和8c在點(diǎn)8處校接,在校鏈上作用有鉛垂力EC端較接在墻

上./端較接在重P-1kN的均質(zhì)長方體的幾何中心。已知桿8c水平，長方體與水平面間

的稱摩擦因數(shù)為/,工052。各桿聿及較接處摩擦均忽略不計(jì)，尺寸如圖所示。試確定不致

破壞系統(tǒng)平賃時(shí)力產(chǎn)的最大值。

2限定在水平槽道里的直角桿.48C以勻速u向右運(yùn)動(dòng),推動(dòng)曲柄OD繞水平軸O轉(zhuǎn)

動(dòng)。如圖(a)所示。十角桿的一邊C8的延長線通過軸在圖示位置的瞬時(shí),曲柄端點(diǎn)D

位于邊/B的中點(diǎn)。AB^2a,OB-o0求以下璘時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)策:

(1)48的中點(diǎn)相對(duì)于曲柄的相對(duì)速度的大??；

(2)AB的中點(diǎn)相對(duì)于曲柄的相對(duì)加速度的大??；

(3)曲柄的角速度大??；

(4)曲柄的角加速度大小。

3機(jī)構(gòu)如圖⑷所示，已知:均質(zhì)桿長/,=2Sm,質(zhì)量mwSOkg.繩長高小2m0

當(dāng)繩子處于水平時(shí),桿由靜止開始落下.不計(jì)桿與地面間的庫擦.求開始運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)：

(1)桿的角加速度：

(2)繩手8。的拉力;

(3)點(diǎn)4的約束力。

4.一個(gè)光滑直槽長為L,固定在水平面上，直槽兩端有豎直擋板，槽內(nèi)有兩個(gè)質(zhì)量相同的光滑小球.設(shè)水平向

右為x軸正方向，初始時(shí)小球1位于x=0處，速度為V,運(yùn)動(dòng)方向向右；小球2位于x=L處，速度為2V運(yùn)動(dòng)方

向向左，如圖所示.小球間的碰撞是完全彈性的(碰撞前后速?.

1v2v2

度交換方向相反)，而小球每次與槽壁的碰撞結(jié)果都會(huì)使小球上士---------------七q—?

<--------L----------a]x

速度減半的返回，求：在哪些時(shí)間段內(nèi)兩小球的速度大小、方

向相同？對(duì)應(yīng)這些時(shí)間段的速度大小為多少？

1.如圖(a)所示.桿45和8c在點(diǎn)8處校接.在校鏈上作用有鉛垂力尸.C端較接在墻

上./端軌接在重P-1kN的均質(zhì)長方體的幾何中心。已知桿5C水平，長方體與水平面間

的靜摩擦因數(shù)為/=062。各桿敢及較接處摩擦均忽略不計(jì)，尺寸如圖所示。試確定不致

破壞系統(tǒng)平衡時(shí)力尸的展大值。

解：(1)選取銷釘8為研究對(duì)象,受力圖如圖(b)所示。

p

=°，/\,tsin30-F-0

E?32/

(2)再取長方悻為研究對(duì)象，受力圖如圖(c)所示。

①處于滑動(dòng)的臨界平衡狀態(tài)時(shí)

1F,-Q,F；,co6300-F,=0

工居,=0,Fu-P-F^tsin30°=0

又居“圓

聯(lián)列求解上面三式，并注意到月,=月,，可得氏方體不致滑動(dòng)時(shí)的最大鉛直力

fP

言二二429N

有-￡

②處于翻倒臨界平衡狀態(tài)時(shí)

ZA/?(F)=0,Py+F；,sin30°-1--F；,a>s30°x5-0

可得長方體不致翻倒時(shí)的最大鉛直力

P

=406N

2（萬-05）

故比較(1).(2)兩式結(jié)果可知，不致破壞系統(tǒng)平衡的力尸的最大值應(yīng)為Q=406N,

2限定在水平槽道里的直角桿4BC以勻速U向右運(yùn)動(dòng),推動(dòng)曲柄OD繞水平軸O轉(zhuǎn)

動(dòng)。如圖(魴所示。直角桿的一邊8的延長線通過軸O。在圖示位置的瞬時(shí)，曲柄端點(diǎn)D

位于邊48的中點(diǎn)。AB^2a,OB-a6求以下瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)屆：

(1)/8的中點(diǎn)相對(duì)于曲柄的相對(duì)速度的大??；

(2)/8的中點(diǎn)相對(duì)于曲柄的相對(duì)加速度的大小；

(3)曲柄的角速度大小；

(4)曲柄的角加速度大小。

（?）

A4Xi

解：取曲柄端點(diǎn)。為動(dòng)點(diǎn),桿為動(dòng)參考系(平移)，速度和加速度分析如圖(b),(c)所示.

絕時(shí)速度v=6w

曲柄角速度順時(shí)針轉(zhuǎn)向，大小為

(Jj=-V-=—U

ODa(3)

相對(duì)速度為曲柄上的。相對(duì)于桿CH4的相對(duì)速度,也為桿8/中點(diǎn)相對(duì)于曲柄的相

對(duì)速度：

Vr-V,■U

注意到端點(diǎn)的牽連加速度為零,端點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于相對(duì)加速度，絕對(duì)加速度的法向

分量大小等于絕對(duì)加速度切向分量大力、，知道角加速度為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向：

父r：三。.十4

投影到x軸得可■。：m岳~絡(luò)--

所以a=3，,彳(4)

Q

取48中點(diǎn)7/為動(dòng)點(diǎn)，曲柄為動(dòng)參考系(轉(zhuǎn)動(dòng)),速度和加速度分析如圖(d),(e)所示。

絕對(duì)速度大小等于相對(duì)速度大小：

V,=V.=U(1)

科氏加速度的方向水平相左，大小為：

2

ac42a>vt-?2w/a

動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度就是D的加速度，船直朝下,大小為

}

at=OD'-/a+-2u/a

根據(jù)加速度合成定理.中點(diǎn)的相對(duì)加速度,在方向上和科氏加速度與牽連加速度之矢量

和的矢量相反.大小為.

a,=242u2/aQ)

3

機(jī)構(gòu)如圖⑷所示，已知:均質(zhì)桿長/尸25m,質(zhì)量mwSOkg.繩長/「1m.高公2m4

當(dāng)繩子處于水平時(shí),桿由抑止開始落下,不計(jì)桿與地面間的庫擦.求開始運(yùn)動(dòng)照時(shí)：

(1)桿的角加速度；

(2)繩干80的拉力;

(3)點(diǎn)彳的約束力。

解：取桿為研究對(duì)象，如圖(b)所示。桿48作平面運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)彳沿地面作直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

〃繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)。則有

m%-Ft

m%,=FN4-mg

Jc<x=F11Mgsme一尸屋々cos0

由題可知Jc=占《/：

桿48作平面運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)C為基點(diǎn)，則

4=%+味+唯

由于開始時(shí)桿靜止，即3=0,故

晨=0，a：c=o

將上式向軸>■投影得

+a：cSind=aA,=0

BPA,=-a^csin0=--^/)asin0

以點(diǎn)C為基點(diǎn)，討論點(diǎn)B的加速度，有

a,-ac+a；。+味

由于開始時(shí)桿靜止，即v,=0,故福=0。將上式向柏、投影,得

ac,-a'gccos8=a；=0

3-agCcos6工y/|flcos0

代人平面運(yùn)動(dòng)微分方程得

w

-l-m/tacos^Ft(1)

-ym/fOtSinO=F^A-mg(2)

%m/：au?|?尸NJt$in0-1■rJcos8(3)

lxX2

由式(3)得

T-m/jtt=Fsin0-Fcos0

6nAfi

將式(1).Q)代入上式得

"(mg-ym/jasin6卜in0-cos7^

?

~lid+l，jasinV+—/gacos^=gsin0

622

/i?(+y)=jAa.-gsin8

3gsin^

a-

2/.

Ah24.3

由癌可知C=1汴■H,sin^=—

3W零

故a="*-------3.528rad/s

2x2525

代入式(I),Q),得

^m/jacosfl=4~x50x25x3528x---176N

FN4■mg-:/w/|asin6=50x9.8-/x50x25x3528x-358N

/4，

4.一個(gè)光滑直槽長為3固定在水平面上，直槽兩端有豎直擋板，槽內(nèi)有兩個(gè)質(zhì)量相同的光滑小球.設(shè)水平向

右為x軸正方向，初始時(shí)小球1位于x=0處，速度為心運(yùn)動(dòng)方向向右；小球2位于久=L處，速度為2%運(yùn)動(dòng)方

向向左，如圖所示.小球間的碰撞是完全彈性的(碰撞前后速

度交換方向相反)，而小球每次與槽壁的碰撞結(jié)果都會(huì)使小球

速度減半的返回，求：在哪些時(shí)間段內(nèi)兩小球的速度大小、方

向相同？對(duì)應(yīng)這些時(shí)間段的速度大小為多少？

【答案】5<t<］以及吟產(chǎn)<"與"(n=2,3,4…)；v,…企T何=2,3,4…)(n為兩個(gè)小球的碰

撞次數(shù)).

【解析】由于兩個(gè)質(zhì)量相同的光滑小球間的碰撞是完全彈性的(碰撞前后速度交換方向相反)，所以當(dāng)兩個(gè)小球

碰撞后，兩個(gè)小球組成的系統(tǒng)相對(duì)于相互“穿過”了對(duì)方,所以在第一次碰撞后小球1以2u返回左側(cè)的時(shí)間：小=土,

XA2v

球1與槽碰撞后的速度變成"方向向右，

球2返回第一次右側(cè)的時(shí)間：t21=3,球1與槽碰撞后的速度變成;方向向左，

所以兩個(gè)小球在5<t<4的時(shí)間內(nèi)速度相等，速度的大小為"，方向向右，

2vv

在口2時(shí)刻小球1的到。點(diǎn)距離：=v(t12-tn)=p

所以在兩個(gè)小球發(fā)生第二次碰撞后，小球1的速度是:方向向左，小球2的速度是"方向向右；小球2返回右側(cè)的時(shí)

間：22=tii+5=|^，與槽發(fā)生第二次碰撞后的速度變成;，方向向左，

小球1第二次返回左側(cè)的時(shí)間：ti2=t21+"=?.與槽發(fā)生第二次碰撞后的速度變成；，方向向右，可知在：

＜丑的時(shí)間內(nèi)速度也相等，速度變成g方向向左；

2vv2

在兩個(gè)小球發(fā)生第三次碰撞后，小球1的速度是:方向向左，小球2的速度是:方向向右；小球2返回右側(cè)的時(shí)間：

24

t23=t12+4=^,與槽發(fā)生第三次碰撞后的速度變成？方向向左，

—V8

4

小球1第三次返回左側(cè)的時(shí)間：匕3