§2常用邏輯用語2.1必要條件與充分條件學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系．(重點(diǎn))2．通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系．(重點(diǎn))3．通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過必要條件、充分條件的判斷，提升邏輯推理素養(yǎng)．2．借助必要條件、充分條件的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．什么是必要條件？2．什么是充分條件？3．什么是充要條件？知識點(diǎn)1必要條件與性質(zhì)定理一般地，當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時，稱q是p的必要條件．也就是說，一旦q不成立，p一定也不成立，即q對于p的成立是必要的．知識點(diǎn)2充分條件與判定定理一般地，當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時，稱p是q的充分條件．綜上，對于真命題“若p，則q”，即p?q時，稱q是p的必要條件，也稱p是q的充分條件．(1)p是q的充分條件與q是p的必要條件所表示的推出關(guān)系是否相同？(2)以下五種表述形式：①p?q；②p是q的充分條件；③q的充分條件是p；④q是p的必要條件；⑤p的必要條件是q.這五種表述形式等價嗎？[提示](1)相同，都是p?q.(2)這五種表述形式是等價的．1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)“兩角不相等”是“兩角不是對頂角”的必要條件．()(2)若p是q的充分條件，則p是唯一的．()(3)若q不是p的必要條件，則“pq”成立．()(4)“x>1”是“x>0[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2.設(shè)集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的______條件．(填“充分”“必要”)[答案]必要知識點(diǎn)3充要條件(1)一般地，如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分且必要條件，簡稱p是q的充要條件，記作p?q.(2)p是q的充要條件也常常說成“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”，或“p與q等價”．(3)當(dāng)p是q的充要條件時，q也是p的充要條件．(1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題，這種說法對嗎？(2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？[提示](1)正確．若p是q的充要條件，則p?q，即p等價于q.(2)①p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論．②p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論．3.“x<2”是“eq\f(1,x－2)<0”的()A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件[答案]A4.設(shè)p：“四邊形為菱形”，q：“四邊形的對角線互相垂直”，則p是q的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]A5.若p是q的充要條件，q是r的充要條件，則p是r的________條件．[答案]充要類型1充分、必要、充要條件的判斷【例1】下列各題中，p是q的什么條件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要條件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq\r(x－1)；(2)p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直平分；(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；(4)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．[解](1)因?yàn)閤＝1或x＝2?x－1＝eq\r(x－1)，x－1＝eq\r(x－1)?x＝1或x＝2，所以p是q的充要條件．(2)若一個四邊形是正方形，則它的對角線互相垂直平分，即p?q.反之，若四邊形的對角線互相垂直平分，該四邊形不一定是正方形，即qp.所以p是q的充分不必要條件．(3)因?yàn)閤y>0時，x>0，y>0或x<0，y<0.故pq，但q?p.所以p是q的必要不充分條件．(4)因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(四邊形的對角線相等四邊形是平行四邊形，,四邊形是平行四邊形四邊形的對角線相等，))所以p是q的既不充分也不必要條件．充分、必要、充要條件的判斷方法(1)定義法若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件；若pq，q?p，則p是q的必要不充分條件；若p?q，q?p，則p是q的充要條件；若pq，qp，則p是q的既不充分也不必要條件．(2)集合法對于集合A＝{x|x滿足條件p}，B＝{x|x滿足條件q}，具體情況如下：若A?B，則p是q的充分條件；若A?B，則p是q的必要條件；若A＝B，則p是q的充要條件；若AB，則p是q的充分不必要條件；若AB，則p是q的必要不充分條件．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．指出下列各題中p是q的什么條件(1)在△ABC中，p：AB＝AC，q：∠B＝∠C；(2)p：x＝2，q：x>1；(3)p：a>b，q：eq\f(a,b)>1.[解](1)由等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理知，p是q的充要條件．(2)x＝2?x>1，但x>1x＝2，故p是q的充分不必要條件．(3)當(dāng)b<0時，由a>b，可得eq\f(a,b)<1，由eq\f(a,b)>1，可得a<b，故p是q的既不充分也不必要條件．類型2必要條件、充分條件的應(yīng)用【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]由p是q的充分不必要條件，得集合{x|－2≤x≤10}是集合{x|1－m≤x≤1＋m}的真子集，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m>1－m,1－m<－2,1＋m≥10))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m>1－m,1－m≤－2,1＋m>10))，解得m≥9.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥9.1．把本例中的“p是q的充分不必要條件”改為“p是q的必要不充分條件”，其他條件不變，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]由p是q的必要不充分條件，得集合{x|1－m≤x≤1＋m}是集合{x|－2≤x≤10}的真子集，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1－m≤x≤1＋m))＝?，即m<0時，符合題意；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1－m≤x≤1＋m))≠?，即m≥0時，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0,1－m>－2,1＋m≤10))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0,1－m≥－2,1＋m<10))，解得0≤m≤3.綜上得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤3.2．本例中，是否存在實(shí)數(shù)m，使p是q的充要條件，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．[解]若p是q的充要條件，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))1－m≤x≤1＋m))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－2≤x≤10))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2,1＋m＝10))，由于該方程組無解，所以實(shí)數(shù)m不存在．利用必要條件與充分條件求參數(shù)的取值范圍(1)化簡p與q；(2)把p與q之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)集合之間的關(guān)系；(3)利用集合之間的關(guān)系建立不等式；(4)解不等式求參數(shù)的取值范圍．類型3充要條件的探求與證明【例3】求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是eq\f(c,a)<0.[證明]①必要性：因?yàn)榉匠蘟x2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根，所以兩根之積小于零，即eq\f(c,a)<0.②充分性：由eq\f(c,a)<0，得ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相異實(shí)根，設(shè)這兩個實(shí)根分別為x1，x2，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，所以兩根異號．綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是eq\f(c,a)<0.充要條件的證明思路(1)在證明有關(guān)充要條件的問題時，通常從“充分性”和“必要性”兩個方面來證明．在證明時，要注意：若證明“p的充要條件是q”，那么“充分性”是q?p，“必要性”是p?q；若證明“p是q的充要條件”，則與之相反．(2)證明充要條件問題，其實(shí)質(zhì)就是證明一個命題的原命題和其逆命題都成立．若不易直接證明，可根據(jù)命題之間的關(guān)系進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，然后加以證明．注意：證明時一定要注意證明的方向性，分清充分性與必要性的證明方向．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．求證：關(guān)于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根為1的充要條件是a＋b＋c＋d＝0.[證明]充分性：∵a＋b＋c＋d＝0，∴a×13＋b×12＋c×1＋d＝0成立，故x＝1是方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0的一個根．必要性：關(guān)于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一個根為1，∴a＋b＋c＋d＝0，綜上所述，關(guān)于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一根為1的充要條件是a＋b＋c＋d＝0.1．設(shè)x∈R，則“1<x<2”是“1<x<3A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件B[“1<x<2”?“1<x<3”，反之不成立．即“1<x<2”是“1<x2．“兩個三角形面積相等”是“兩個三角形全等”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件B[由兩個三角形全等可得：兩個三角形面積相等．反之不成立．即“兩個三角形面積相等”是“兩個三角形全等”的必要不充分條件．故選B.]3．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a＋b>0”是“ab>0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C