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文檔簡介
數(shù)學教案-簡單的線性規(guī)劃(一)3篇數(shù)學教案-簡單的線性規(guī)劃(一)1一、教學目標:
1、了解線性規(guī)劃的基本概念及解法;
2、能夠通過圖像或計算求解簡單的線性規(guī)劃問題;
3、培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識和思維分析問題的能力。
二、教學重點與難點:
1、理解線性規(guī)劃中目標函數(shù)、約束條件、可行域等概念;
2、掌握用圖像或計算法求解線性規(guī)劃問題的方法。
三、教學過程:
1、引入:
"有限的資源如何分配能夠取得最優(yōu)收益?"這是一個經(jīng)濟學中經(jīng)常面對的問題。在數(shù)學中,我們可以把這個問題用數(shù)學變量和符號來表示,這就是線性規(guī)劃。
2、概念:
線性規(guī)劃是指在一定的限制條件下,使某一目標函數(shù)達到最小或最大值的問題。其中的限制條件是線性的,也就是服從線性方程的數(shù)學表達式。
3、圖形表示:
先看下面這個問題:一個人工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品X和Y。制造X產(chǎn)品需要2個單位的原材料和1個單位的人力;制造Y產(chǎn)品需要1個單位的原材料和3個單位的人力。生產(chǎn)X產(chǎn)品的利潤是每個單位10美元,生產(chǎn)Y產(chǎn)品的利潤是每個單位20美元。如果現(xiàn)在只有20個單位的原材料和16個單位的人力,問應該生產(chǎn)多少單位的X產(chǎn)品和Y產(chǎn)品,才能獲得最大的利潤?
對于這個問題,我們可以構(gòu)建一個線性規(guī)劃模型,其中目標函數(shù)為最大化利潤,約束條件則為限制原材料和人力的數(shù)量??梢杂孟旅娴墓奖硎荆?/p>
F=10X+20Y
約束條件:
2X+Y≤20
X+3Y≤16
X≥0
Y≥0
然后我們可以把約束條件和目標函數(shù)的等式用平面坐標系表示出來,然后再沿著坐標系求解最大值。
這里通過解釋、畫圖等方式熟悉學生對線性規(guī)劃的基本概念
4、計算求解:
我們也可以利用線性規(guī)劃的計算方法,來求解這個問題。
將目標函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化成矩陣形式:
?1020??X??P?
?21?X?Y?=?0?
X≥0Y≥0
使用單純形法(SimplexAlgorithm)處理線性規(guī)劃問題。
這里是直接算出結(jié)果給學生熟悉單純形法的計算過程。
5、練習:
預先出幾道類似線性規(guī)劃的問題供學生練習。
四、總結(jié)與作業(yè)
1、總結(jié):
本節(jié)課通過講解線性規(guī)劃的基本概念,以及解題的圖形方法和算法方法,為學生提供了一個基礎的線性規(guī)劃解題思路。
2、作業(yè):
①用圖形法解下列線性規(guī)劃:
目標函數(shù):F=4X+5Y
約束條件:
X+Y≤4
2X+Y≤8
X≥0,Y≥0
②用單純形法求解上面的線性規(guī)劃問題。
③請自己設定一個簡單的線性規(guī)劃問題,并用圖形法或計算法來求解。數(shù)學教案-簡單的線性規(guī)劃(一)2教案名稱:線性規(guī)劃(一)
適用年級:高中
學習目標:
1.了解線性規(guī)劃的基本概念;
2.能夠構(gòu)建線性規(guī)劃問題;
3.掌握使用圖形法求解線性規(guī)劃問題。
前置知識:
1.代數(shù)式和方程的基本操作;
2.數(shù)學函數(shù)和函數(shù)圖像的基本知識。
引入:
小明做班級運動會的決賽項目,需要選擇兩項運動項目參加,他希望最大限度地發(fā)揮自己的能力和取得最好的成績。但時間和個人能力有限,他必須在兩項運動項目之間進行權(quán)衡和選擇。如果他以最高的效率選擇兩項項目,該如何確定選擇哪兩項呢?本節(jié)課我們將學習一種方法——線性規(guī)劃。
1.線性規(guī)劃的基本概念
線性規(guī)劃(LinearProgramming,簡稱LP)是一種優(yōu)化問題的數(shù)學方法。該方法能對具有線性約束條件的目標函數(shù)進行最優(yōu)化求解。
線性規(guī)劃的一般形式為:
$$\begin{aligned}&\max/\minz=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}\\&s.t.\\&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}\leqb_{1}\\&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}\leqb_{2}\\&\qquad\vdots\\&a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}\leqb_{m}\\&x_{1},x_{2},...,x_{n}\geq0\end{aligned}$$
其中,$x_{1},x_{2},...,x_{n}$是決策變量;$z$是目標函數(shù),表示待優(yōu)化的目標;$c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...+c_{n}x_{n}$是目標函數(shù)的系數(shù);$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}\leqb_{1}$等式是約束條件。約束條件包括$m$個式子,$m$表示約束條件的數(shù)目,$n$表示決策變量的數(shù)目。$b_{1}$等表示約束條件的值,通常是一個實數(shù)。
2.線性規(guī)劃問題的構(gòu)建
以小明的情況為例,如果他要在足球和籃球這兩個項目中選擇,那么他需要了解自己在這兩個項目中能達到的最高成績,以及在這兩個項目中所需的時間量。這些信息可以被表示為下面的表格:
|運動項目|成績|時間|
|---|---|---|
|足球|90|3|
|籃球|80|2|
假設小明在決賽之前有$15$個小時的時間,他需要在這兩個項目中合理安排,以獲得最高分數(shù)。我們可以根據(jù)這些信息建立一個線性規(guī)劃問題,其中:
目標函數(shù):$z=90x_{1}+80x_{2}$
約束條件:
$x_{1}+x_{2}\leq15$(時間約束)
$x_{1},x_{2}\geq0$(非負約束)
其中,$x_{1}$表示小明在足球項目中花費的時間,$x_{2}$表示小明在籃球項目中花費的時間。
3.使用圖形法求解線性規(guī)劃問題
我們可以將上述線性規(guī)劃問題表示為一個平面直角坐標系上的點:以$x_{1}$軸為橫坐標軸,以$x_{2}$軸為縱坐標軸,將目標函數(shù)$z$繪制在坐標系上,然后根據(jù)約束條件,找出可行域,即一系列滿足所有約束條件的點。接著,確定目標函數(shù)在可行域上的最大值或最小值所在的點,即為問題的解。
過程:
首先,繪制出坐標系和目標函數(shù)$z=90x_{1}+80x_{2}$的圖像。

接下來,根據(jù)約束條件$x_{1}+x_{2}\leq15$,確定可行域。由于$x_{1}$和$x_{2}$必須為非負數(shù),而此題中沒有其它限制條件,所以可行域是$x_{1}+x_{2}\leq15$與$x_{1},x_{2}\geq0$所構(gòu)成的三角形區(qū)域。(如圖)

最后,在可行域上尋找$z$值最大的點,并確定其對應的$x_{1}$和$x_{2}$,即為問題的解。通過觀察圖像可以得到,在三角形的右下角處$z$取得最大值。因此,小明選擇$x_{1}=9$小時的足球和$x_{2}=6$小時的籃球,能獲得的最高成績?yōu)?z=90\times9+80\times6=1410$分。
總結(jié):
線性規(guī)劃是一種重要的數(shù)學方法,它可以用于求解優(yōu)化問題,廣泛應用于生產(chǎn)、物流、金融、運輸、投資等領域。學生可以通過練習和實際問題的解決來提高他們的線性規(guī)劃技能。我們在實際問題中應用線性規(guī)劃方法時,需要先確定目標函數(shù)和約束條件,然后通過圖形法或其他方法求解問題。數(shù)學教案-簡單的線性規(guī)劃(一)3一、教學基本情況
1.教學目的
本節(jié)課以簡單的線性規(guī)劃為例,介紹線性規(guī)劃的基本概念、模型、解法及應用,力求培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。
2.教學對象及要求
本節(jié)課的教學對象為高中數(shù)學教學,教學要求除對線性規(guī)劃及相關數(shù)學知識的理解外,還要求學生掌握求解線性規(guī)劃的方法,并能運用所學知識解決實際問題。
3.教學內(nèi)容及流程
本節(jié)課的主要內(nèi)容包括線性規(guī)劃的基本概念、模型、解法及應用。教學流程分為四步:
第一步:引入問題
本節(jié)課以一個簡單的例子來引入問題:
某工廠生產(chǎn)兩種型號的產(chǎn)品,設產(chǎn)品A每件需要制造5個配件,產(chǎn)品B每件需要制造3個配件,生產(chǎn)A產(chǎn)品每件可賣100元,生產(chǎn)B產(chǎn)品每件可賣80元。工廠每天可制造2個A產(chǎn)品和3個B產(chǎn)品,可制造的配件數(shù)量是無限多個。問工廠數(shù)量如何安排收益最大?
第二步:概念解釋
解釋線性規(guī)劃的基本概念,包括:
約束條件:由生產(chǎn)工藝、資源、市場等因素導致的制造數(shù)量、產(chǎn)量等限制條件。
目標函數(shù):對所生產(chǎn)物品質(zhì)量、銷售額等要求在整個方案范圍內(nèi)最優(yōu)化的表達式。
可行解和最優(yōu)解:可行解是指滿足所有約束條件的解,最優(yōu)解是指在滿足所有約束條件的情況下,目標函數(shù)最大(或最?。┑目尚薪狻?/p>
第三步:建立模型
在問題中,我們需要將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,具體步驟如下:
(1)確定目標函數(shù)
設生產(chǎn)A產(chǎn)品的數(shù)量為x1,生產(chǎn)B產(chǎn)品的數(shù)量為x2,則可得目標函數(shù):
F=100x1+80x2
(2)確定約束條件
a.配件數(shù)量的約束條件:5x1+3x2<=N(N為可生產(chǎn)的配件數(shù))
b.限制每天工廠可制造的A產(chǎn)品和B產(chǎn)品數(shù)量:x1<=2,x2<=3
(3)轉(zhuǎn)化模型
將線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為標準型:
F=100x1+80x2
5x1+3x2<=N
x1<=2
x2<=3
x1,x2>=0
第四步:求解與應用
(1)圖形表示法
繪制出目標函數(shù)的圖像,以此確定最優(yōu)解。
(2)單純形法
單純形法是解決線性規(guī)劃問題的標準方法之一,它基于連續(xù)優(yōu)化理論,通過對線性規(guī)劃模型進行線性運算,尋找可行解和最優(yōu)解。
(3)應用
在教學案例中,學生需要理解標準型表示的含義、圖形表示法及單純形法的計算步驟,嘗試解答由其他領域(生產(chǎn)、銷售、運輸?shù)龋┨岢龅木€性規(guī)劃問題。
二、教學方法
1.闡述教學法:通過對教材、輔導資料等的分析、梳理和歸納,系統(tǒng)闡述和總結(jié)課程重點和難點,注重學生知識積累和思維習慣的培養(yǎng),降低學習焦慮度,提高學習動機。
2.實驗教學法:通過實例演示引導學生學習,強化學生對知識的理解和運用能力,使理論與實踐更貼近。
3.互動教學法:既注重師生間的互動交流,也重視學生間的互動合作,強化學生的學習參與度,增強學生的學習主動性。
4.評價教學法:在教學過程中,不斷對學生的知識掌握情況進行評估和檢查,及時發(fā)現(xiàn)和糾正不足,進一步完善和激勵學生的學習興趣和成就感。
三、教學重點和難點
教學重點:
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