第

二元函數(shù)的限（續(xù)）與續(xù)性授題

二元函數(shù)的極限（續(xù)）與連續(xù)性教內(nèi)1.函數(shù)極限的性質(zhì)定理累次限及其性質(zhì)二元的連續(xù)性的定義元連續(xù)函數(shù)的性.教學(xué)目的和求教學(xué)重點(diǎn)及點(diǎn)教學(xué)方法及教材處理示

通過本次課的教學(xué)，使學(xué)生能夠好地掌握二元函數(shù)的累次極限，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在的基本方法；掌握二元函數(shù)的連續(xù)性的定義，理解二元連續(xù)函數(shù)的性.教學(xué)重點(diǎn)：重極限與累次極限的別與聯(lián)系，二元函數(shù)的連續(xù)性；教學(xué)難點(diǎn)：二元連續(xù)函數(shù)的性.(1)通過介紹二元函數(shù)的極限的質(zhì)定理，使學(xué)生進(jìn)一步弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會(huì)他們求多元數(shù)極限的方法．(2)重極限與累次極限的區(qū)別與系是教學(xué)重點(diǎn)，通過多舉些例題介紹判別極限存在性的較完整的方法．(3)二數(shù)的連續(xù)性基本上與元函數(shù)的情況類似，教學(xué)中可通過復(fù)習(xí)一元函數(shù)的連續(xù)性引出二元函數(shù)的連續(xù)性．有關(guān)二連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與一元函數(shù)的情況基本上類同，只介紹相關(guān)結(jié)論其證明過程從.(4)關(guān)于二元函數(shù)介值性定理的明是一道極好的習(xí)題，將其作為重要知識(shí)點(diǎn)并安排在習(xí)題課上重點(diǎn)講.作布

作業(yè)內(nèi)容：教材P:2（1，5，4）.99

104

:1（3）.講授內(nèi)容一、二函數(shù)的極限質(zhì)例二函

2－7所示

任何直線趨于原點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的

其余部.都零，但這并不表明函數(shù)在時(shí)限在．因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)

沿線

kx2k

趨于點(diǎn)

時(shí)，

將。所以

存在。(x,y)例設(shè)

12x23y

2

明

證：因

2x23y22y2)

，對(duì)任給正數(shù)M，

12M

,

就有1/4

x

2

y

2

12M

此推得

2x

2

3y

2

11即M2x23y

2

M.這就證得結(jié)果（該函數(shù)在原點(diǎn)附的圖象參見圖－8二元函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則與元函數(shù)極限四則運(yùn)算法相仿，特別把

作點(diǎn)函數(shù)

f

時(shí)，相應(yīng)定理的證法也完全相同，這里不再一一列出．二、累極限在上一段所研究的極限

(x)00

中自變量

同時(shí)以任何方式趨于

xy0,

極限也稱為極限。在段里，我們要察x與

依一定的先后順序相繼趨于x與yf的極這種極限稱為00累次極限．我們先通過以下例題認(rèn)識(shí)累次極限問.例3設(shè)

xyxy

2

.由已知道

時(shí)

f

的重極限不存.但當(dāng)

y時(shí)有l(wèi)imx0

x

2

xyy

2

而有y0x0

x

2

xyy

2

0.同理可得

limlimx0y0

x

2

xyy

2

f

的兩個(gè)累次極限都存在而且相等但是

f

的重極限不存在．定義

若對(duì)每一個(gè)

y0

，存在極限

于此極限一般與xx0

有關(guān)，因此記作ylim而進(jìn)一存在極xE

yyy0

稱此極限為元數(shù)f先x0

后對(duì)0

的累極，并記作

limyyxx0類似地可以定義先對(duì)

后對(duì)

x

的累次極限：

limxxyy00注：累次極限與重極限是兩個(gè)不的概念，它們的存在性沒有必然的蘊(yùn)含關(guān)系．舉例子來說明一點(diǎn)．例設(shè)

y2

，它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè)累次極限分為limlimyx0limlimx0y0

222y0yy2xyxx

y01x)x0當(dāng)沿斜率不同的直線

y,

時(shí)，容易驗(yàn)證所得極限也不同。此該函數(shù)的重極限不存例設(shè)

11fysin它關(guān)原點(diǎn)的兩個(gè)累次都不存在為何yx2/4

y0x0

時(shí)f第二項(xiàng)不存在極限。同理對(duì)任何

x0，y時(shí)的項(xiàng)也不存在極限。是由于1xsinysin

,故f重極限存在，且

f0.定16.6

若重極限

與累次極限

f

都存在，則它們一定相等。x0o

yxxy0證設(shè)

fA,x0o

則對(duì)任給的正數(shù)，存在正數(shù)，得當(dāng)

U;

時(shí)，有

fA

(2)另由存在累次極限之假設(shè)，對(duì)任滿足不等式

0xx0

的x，在極限

fxyy0回到不等式2中

y0

，可得

xA.故xAxx0

，即limxxyy0

A.x0推1若極限

limxxyyyyxx000

和重極限

fx0o

都存在，則三者相等。推2若極限

f與

lim

存在但不相等極限

f

必不xxyy0存在。三、二函數(shù)的連續(xù)

yyxx0

x0o定設(shè)f為義點(diǎn)

DR

2

上的二元函數(shù)．

0

，limP則稱P。00PP0例8設(shè)

2

xyy

2

，函

原點(diǎn)不連續(xù)不存在）m,

例設(shè)

x

x2y22y

2

,

討論函數(shù)

的續(xù).m,

解)時(shí)，由于00

(x,y))00

20000

x,y因00

f

連續(xù).而

(x,y)

limxy

x

2

xyy

2

故

0)m0

時(shí)，

f

在原點(diǎn)連.若二元函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，則與元函數(shù)一樣，可以證明它在這一點(diǎn)近旁具有局部有界性、局保號(hào)性以及相應(yīng)的有理運(yùn)算的各個(gè)法則下面證明二元復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理，其余留給讀者自己去明．定16.7(復(fù)函數(shù)連性)

設(shè)函數(shù)

u

和

v

在

xy

平面上點(diǎn)

x,y0

的某鄰域內(nèi)3/4

k有定義，并在點(diǎn)P連續(xù)數(shù)k0

f在平點(diǎn)

0

00

的某鄰域內(nèi)有定義，并在點(diǎn)連，中0

0

,y00

，

0

0

.則復(fù)合函數(shù)

gf

在點(diǎn)

0

也連續(xù)．四、有閉域上連續(xù)數(shù)的性定16.8(有性最大最值理若函數(shù)f在有界閉域取得最大值與最小值．

R2上連續(xù)，則f上有界，且能證證明

f

在D上若不然每正整數(shù)

n

存

n

D得

fn

.于是得到一個(gè)有界點(diǎn)列

n

，且總能使中窮多個(gè)同的點(diǎn)．由1定16．3(聚定的推n論，

n

存在收斂子列

P

n

，設(shè)

limPk

n

P因D閉域，從而0

0

D．由于在D連續(xù)然點(diǎn)也續(xù)此0

limfPk

n

fP與式3)相矛盾以f是D0上的有界函數(shù)．定（致續(xù)定）若數(shù)

f

在有界閉域

DR

上連續(xù)，則

f

在D上連續(xù)。即對(duì)任何

0

，總存在只依賴于的正，對(duì)一切點(diǎn)，只要

P

，就有

ffQ

.定16.10（介性理）函f在D

連續(xù)，若

P1

2

為中任意兩點(diǎn)，且

fP1

fP2

，則對(duì)任何滿足不等式

f1

f2

的實(shí)數(shù)，存在點(diǎn)

0

，得fP0

。證作輔函數(shù)

FPfPD易F在D上續(xù)，且FP1

2

0

。這里不妨假設(shè)

P1

2

是

D

的內(nèi)點(diǎn)下明必存在

0

，使

0

。由于

為區(qū)域，我們可以用有限段都在

中的折線連結(jié)

PP12

（圖16-10某連結(jié)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為,則理已得證。否則從一端開始逐個(gè)檢查直線段必定存在某直線段，F(xiàn)在兩端的函數(shù)值異號(hào),失一般性，設(shè)連結(jié)

Pxx,y111222

的直線段含于

D

,方程為

xy

,t在此直線段上,

表示為關(guān)于

t

的復(fù)合函