初中數(shù)競(jìng)專題培第講恒等式證明代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它涉及的基礎(chǔ)知識(shí)較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運(yùn)算法則，因式分解的知識(shí)與技能技巧等等，因此代數(shù)式的恒等變形是學(xué)好初中代數(shù)必備的基本功之一．本講主要介紹恒等式的證明．首先復(fù)習(xí)一下基本知識(shí)，然后進(jìn)行例題分析．兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等．把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形．恒等式的證明，就是通過(guò)恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等．證明恒等式，沒(méi)有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問(wèn)題，采用不同的變形技巧，使證明過(guò)程盡量簡(jiǎn)捷．一般可以把恒等式的證明分為兩類：一類是無(wú)附加條件的恒等式證明；另一類是有附加條件的恒等式的證明．對(duì)于后者，同學(xué)們要善于利用附加條件，使證明簡(jiǎn)化．下面結(jié)合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧．1由繁到簡(jiǎn)和相趨進(jìn)恒等式證明最基本的思路“由繁到簡(jiǎn)(由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo))“相向趨進(jìn)”(將等式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)化為同一形式)例已知x+y+z=xyz，明：

證令1989x=1991y=1993z=k(k＞0)，則又因?yàn)樗运哉f(shuō)明本例的證明思路是“相向趨進(jìn)”，在證明方法上，通過(guò)設(shè)參數(shù)使左右兩邊同時(shí)變形為同一形式，從而使等式成立．2比較法a=b(比法)這也是證明恒等式的重要思路之一．例3求證：x(1-y

)(1z

)+y(1-

)(1-z

)+z(1-x

)(1-y

)=4xyz．分析將左邊展開(kāi)，利用條x+y+z=xyz，將等式左邊化簡(jiǎn)成右邊．證因x+y+z=xyz所以

分析用比差法證明左-右=0．本例中，左邊=x(1--y

-y

z

)+y(1-z

-x

+xz

)+(1-y-

+x

y

)

這個(gè)式子具有如下特征：如果取出它的第一項(xiàng)，把其中的字=(x+y+z)xz

-xy

+xy

-yz

+yx

+yx

z

-zy

-zx

+zx

y

母輪換，即以代a，c代b，c，則可得出第二項(xiàng)；若對(duì)第=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyzy)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右邊．說(shuō)明本例的證明思路就是“由繁到簡(jiǎn)”．

二項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，則可得出第三項(xiàng)；對(duì)第三項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換可得第一項(xiàng)有這種特性的式子叫作輪換式用這種特性，可使輪換式的運(yùn)算簡(jiǎn)化．證因?yàn)槔阎?989x

=1991y

=1993z

，0，＞0，0且

所以說(shuō)明本例若采用通分化簡(jiǎn)的方法將很繁這種把一個(gè)分式分解成幾個(gè)部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧．

a+b+c+b-2ac-，只要證ab=ac+bc，只要證c(a+b)=ab，只要證這最后的等式正好是題設(shè)，而以上推理每一步都可逆，故所求證的等式成立．說(shuō)明本題采用的方法是典型的分析法．例6已知

+b

+c

+d

=4abcd且abcd是正數(shù)求證：全

a=b=c=d．證由已知可得不為零．證明：

a+d-4abcd=0(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．

(a

-

)

+(c

-d

)

+2a

b

+2c

-4abcd=0，所以(a-)+(c-d)+2(ab-cd)=0因?yàn)?a

b

)

≥0，-d2)2≥，-cd)2≥0，所以同理所以

a-b=c-d=ab-cd=0，所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因?yàn)閍，b，，d都為正數(shù)，所以a+b≠0，c+d≠0，所以abc=d所以ab-cd=a

c

=(a+c)(a-c)=0，所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1q)(1-．說(shuō)明本例采用的是比商法．3分析法與綜合根據(jù)推理過(guò)程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法．分析法是從要求證的結(jié)論出發(fā)，尋求在什么情況下結(jié)論是正確的，這樣一步一步逆向推導(dǎo)，尋求結(jié)論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結(jié)論正確，即所謂“執(zhí)果索因”．而綜合法正好相反，它是“由因?qū)Ч?，即從已知條件出發(fā)順向推理，得到所求結(jié)論．證要證+b+c=(a+b-，只要證

所以a＝c．故a=bc=d立．說(shuō)明本題采用的方法是綜合法．4其他證明方法技巧求證：8a+9b+5c=0．a(chǎn)+b=k(ab)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)．所以6(a+b)=6k(ab)3(b+c)=6k(bc)2(c+a)=6k(ca)以上三式相加，得

6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(ab+b-c+c-a)，即8a+9b+5c=0．說(shuō)明本題證明中用到了“遇連比設(shè)k的設(shè)參數(shù)法，前面的例2用也是類似方法．這種設(shè)參數(shù)法也是恒等式證明中的常用技巧．例已知a+b+c=0，證

y+z2x=a①z+x2y=b②x+y2z=c③則要證的等式變?yōu)閍3+b+c=3abc聯(lián)想到乘法公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)所以將①，②，2(a

+b

+c

)(a

+b

+c

)

．

③相加有分析與證用比差法，注意利用a+b+c=0的條件．左-右=2(a+b+c)-(a+b)2

a+b+c=y+z2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以a+b+c-3abc=0，=a

+b

+c

-2a

b

-2b

c

-2c

a

所以=(a

-b

-c

)

-4b

c

(y+z-2x)

+(z+x-2y)

+(x+y-2z)

=(a

-b

-c

+2bc)(a

-

-c

-2bc)

=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y2z)=[a

-(b-c)

][a

-(b+c)

]

說(shuō)明由本例可以看出元法也可以在恒等式證明中發(fā)揮效=(a-b+c)(a+b--b-c)(a+b+c)=0．所以等成立．

力．說(shuō)明本題證明過(guò)程中主要是進(jìn)行因式分解．分析本題的兩個(gè)已知條件中，包含字a，，和z而在求證的結(jié)論中，卻只包含a，和z，因此可以從消去y手，得到如下證法．證由已知

例11設(shè)x，，為互相等的非零實(shí)數(shù)，且求證：x2yz=1．分析本題yz具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn)我們不妨先看二元的所以x

y

=1．三元與二元的結(jié)構(gòu)類似．證由已知有說(shuō)明本題利用的“消元法它是證明條件等式的常用方

①×②×③得x

y

z

=1法．

說(shuō)明這種欲進(jìn)先退的解題策略經(jīng)常用于探索解決問(wèn)題的思例10證明：

路中．(y+z-2x)+(z+x-2y)

+(x+y-2z)

總之，從上面的例題中可以看出，恒等式證明的關(guān)鍵是代數(shù)=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)分析與證此題看起來(lái)很復(fù)雜但仔細(xì)觀察可使用換元法．令

式的變形技能．同學(xué)們要在明確變形目的的基礎(chǔ)上，深刻體會(huì)例題中的常用變形技能與方法，這對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要．練習(xí)五

-yz=y-xz=z1已知(-yz=y-xz=z

-4(a-b)(bc)