第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則要發(fā)明，就要挑選恰當(dāng)?shù)姆?，要做到這一點(diǎn)，就要用含義簡明的少量符號來表達(dá)和比較忠實(shí)地描繪事物的內(nèi)在本質(zhì)，從而最大限度地減少人的思維活動.-------F.萊布尼茨求函數(shù)的變化率——導(dǎo)數(shù)，是理論研究和實(shí)踐應(yīng)用中經(jīng)常遇到的一個普遍問題.但根據(jù)定義求導(dǎo)往往非常繁難，有時(shí)甚至是不可行的.能否找到求導(dǎo)的一般法則或常用函數(shù)的求導(dǎo)公式，使求導(dǎo)的運(yùn)算變得更為簡單易行呢？從微積分誕生之日起，數(shù)學(xué)家們就在探求這一途徑.牛頓和萊布尼茨都做了大量的工作.特別是博學(xué)多才的數(shù)學(xué)符號大師萊布尼茨對此作出了不朽的貢獻(xiàn).今天我們所學(xué)的微積分學(xué)中的法則、公式，特別是所采用的符號，大體上是由萊布尼茨完成的.分布圖示★引言 ★和、差、積、商的求導(dǎo)法則★例1-2 ★例3-4 ★例5★例6★應(yīng)用舉例——作為變化率的導(dǎo)數(shù)★反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ★例10 ★例11★復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ★初等函數(shù)的求導(dǎo)法則★例12 ★例13 ★例14★例15★例16 ★例17 ★例18★例19★例20★例21 ★例22 ★例23★例24－25 ★例26★雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ★例27★內(nèi)容小結(jié) ★課堂練習(xí)★習(xí)題2-2 內(nèi)容要點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3若函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo),而在點(diǎn)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為或注:復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可敘述為：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).這一法則又稱為鏈?zhǔn)椒▌t.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),首先要分清函數(shù)的復(fù)合層次，然后從外向里,逐層推進(jìn)求導(dǎo)，不要遺漏,也不要重復(fù).在求導(dǎo)的過程中，始終要明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個函數(shù)對哪個變量(不管是自變量還是中間變量)的導(dǎo)數(shù).在開始時(shí)可以先設(shè)中間變量,一步一步去做.熟練之后，中間變量可以省略不寫，只把中間變量看在眼里，記在心上，直接把表示中間變量的部分寫出來，整個過程一氣呵成.四、初等函數(shù)的求導(dǎo)法則：函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則五、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例題選講導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用例1(E01)求的導(dǎo)數(shù).解例2(E02)求的導(dǎo)數(shù).解例3(E03)求的導(dǎo)數(shù);解即同理可得例4(E04)求的導(dǎo)數(shù);解同理可得例5求的導(dǎo)數(shù).解因?yàn)樗宰?此題如果利用后面講到的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則則計(jì)算過程更為簡單.那時(shí)，不必按本題那樣拆開為兩項(xiàng)來計(jì)算.例6(E04)人體對一定劑量藥物的反應(yīng)有時(shí)可用方程：來刻畫，其中，C為一正常數(shù)，M表示血液中吸收的藥物量。衡量反應(yīng)R可以有不同的方式：若反應(yīng)R是用血壓的變化來衡量，單位是毫米水銀柱；若反應(yīng)R用溫度的變化衡量，則單位是攝氏度。解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例7(E05)（瞬時(shí)變化率）圓面積A和其直徑D的關(guān)系方程為A=,當(dāng)D=10m時(shí)，面積關(guān)于直徑的變化是多大？解面積關(guān)于直徑的變化率是，當(dāng)D=10m時(shí)，面積的變化率是（）即當(dāng)直徑由D由10米增加1米變?yōu)?1米后圓面積約增加5平方米例8(E06)（質(zhì)點(diǎn)的垂直運(yùn)動模型）一質(zhì)點(diǎn)以每秒50米的發(fā)射速度垂直射向空中，秒后達(dá)到的高度為（米）（見圖），假設(shè)在此運(yùn)動過程中重力為唯一的作用力，試求(1)該質(zhì)點(diǎn)能達(dá)到的最大高度？(2)該質(zhì)點(diǎn)離地面120米時(shí)的速度是多少？(3)何時(shí)質(zhì)點(diǎn)重新落回地面？解依題設(shè)及§1.1引例1的討論,易知時(shí)刻t的速度為(米/秒).當(dāng)秒時(shí)，變?yōu)?，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)達(dá)到最大高度(米).令,解得或6，故(米/秒)或(米/秒).(3)令,解得(秒),即質(zhì)點(diǎn)10秒后重新落回地面.例9(E07)(經(jīng)濟(jì)學(xué)中的導(dǎo)數(shù))某產(chǎn)品在生產(chǎn)8到20件的情況下，其生產(chǎn)件的成本與銷售件的收入分別為=(元)與=(元)，某工廠目前每天生產(chǎn)10件，試問每天多生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為多少?每天多銷售一件產(chǎn)品面獲得的收入為多少?解在每天生產(chǎn)10件的基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)一件的成本大約為:（）,(元),即多生產(chǎn)一件的附加成本為272元.邊際收入為（）=3，=250(元)，即多銷售一件產(chǎn)品而增加的收入為250元.例10(E08)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),且在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)有同理可得例11(E09)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)有特別地復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例12(E10)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解設(shè)則例13(E11)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解設(shè)則注：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要從外層,逐層推進(jìn).先求對大括號內(nèi)的變量的導(dǎo)數(shù)再求對中括號內(nèi)的變量的導(dǎo)數(shù)最后求對小括號內(nèi)的變量的導(dǎo)數(shù).在這里，首先要始終明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個函數(shù)對哪個變量(不管是自變量還是中間變量)的導(dǎo)數(shù);其次,在逐層求導(dǎo)時(shí),不要遺漏,也不要重復(fù).熟練之后可以不設(shè)中間變量的字母,心中記住,一氣呵成.例14(E13)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例15求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解一設(shè)中間變量,令于是解二不設(shè)中間變量.例16(E12)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例17求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例18求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解例19求導(dǎo)數(shù)解在函數(shù)表達(dá)式中,考慮到對數(shù)的底是變量,可用對數(shù)換底公式,將其變形為這時(shí)例20求導(dǎo)數(shù)解例21求導(dǎo)數(shù)解例22設(shè)求解當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),即所以例23(E14)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，在每一段內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可按一般求導(dǎo)法則求之，但在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)要用左右導(dǎo)數(shù)的定義求之.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),由知,所以例24已知可導(dǎo)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解注:求此類含抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)特別注意記號表示的真實(shí)含義，此例中,表示對求導(dǎo)，而表示對求導(dǎo).例25求導(dǎo)數(shù)且可導(dǎo).解例26求導(dǎo)數(shù):且可導(dǎo).解雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例27(E15)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解課堂練習(xí)1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):