2021-2022學(xué)年甘肅省慶陽市寧縣高二（下）期末數(shù)學(xué)試

卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.下列命題的證明最適合用分析法的是（）

A.若a>4,￡>>8,證明：Ina+Inb>5ln2

B.證明：V7+2V2>V5+V10

C.證明：V2,后"U不可能成等比數(shù)列

D.證明：sin2a+cos2a—sin2a<y/2

2.下列各式正確的是（）

A.（sin，'=cos：B.（COST）'=s沅％

C.（Znx）/=D.（x+5）'=5

3.已知函數(shù)f（%）的導(dǎo)函數(shù)f'（%）=爐,a=f（log2^）yb=/（2-4）?c=/（一23,則（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

4.函數(shù)/（%）=》的圖像與g（%）=/的圖像所圍成的圖形的面積為（）

A.%B.-C.-D.|

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式+專+?“+W>總5N2,neN）的過程中，由7i=

k遞推到n=k+l時(shí)，不等式左邊增加了（）

A---R———I———

2（k+1）2k+l2k+2

C------D------—

?2k+lk+1?2fc+l2k+2

6.已知復(fù)數(shù)z滿足（i-l）z=1+i,其中i是虛數(shù)單位，則W的虛部為（）

A.-1B.1C.0D.2

7.隨著北京冬奧會(huì)的開幕，吉祥物“冰墩墩”火遍國內(nèi)外，現(xiàn)有3個(gè)完全相同的“冰

墩墩”，甲、乙、丙、丁4位運(yùn)動(dòng)員要與這3個(gè)“冰墩墩”站成一排拍照留念，則有

且只有2個(gè)“冰墩墩”相鄰的排隊(duì)方法數(shù)為（）

A.240B.480C.1440D.2880

8.（；-2y）（2x-y）s的展開式中/y4的系數(shù)為（）

A.80B.24C.-12D.—48

9.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)((x)存在，且/'(1)=2,則A.t。儂少)-膽=()

-2Ax

A.-B.--C.1D.—1

22

10.已知隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(0,o2),若P(f>2)=0.023,則P(-24fW

2)=()

A.0.977B.0.954C.0.5D.0.023

11.某機(jī)構(gòu)對(duì)兒童的記憶能力指標(biāo)》和識(shí)圖能力指標(biāo)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到1=7,y=

5.5,且求得線性回歸方程為;=bx-0.1，若某兒童的記憶能力指標(biāo)為I。，則估計(jì)

他的識(shí)圖能力指標(biāo)為()

A.7.8B.7.9C.8D.8.1

12.已知函數(shù)f(x)=52-(1四以一蠟有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,》B.(0,e)C.(土+8)D.(e,+8)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知函數(shù)f(x)=x2+2%ex-1,則函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0)(0))處的切線方程為

14.如圖，點(diǎn)4(1,0),點(diǎn)C(3,9),函數(shù)/'(x)=x2,若在矩形4BCD內(nèi)

隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于.

15.運(yùn)動(dòng)會(huì)上甲、乙、丙、丁四人參加100米比賽，A,B,C,。四位旁觀者預(yù)測(cè)比賽

結(jié)果，4說：甲第三，乙第四；B說：甲第二，丙第一；C說：乙第二，丙第三；。說：

乙第三，丁第一.比賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)，四位旁觀者每人預(yù)測(cè)的兩句話中，有且只有一

句是正確的，比賽結(jié)果沒有并列名次，則甲是第名.

16.已知一袋中有標(biāo)有號(hào)碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號(hào)碼

后放回，當(dāng)四種號(hào)碼的卡片全部取出時(shí)即停止，則恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為

三、解答題(本大題共6小題，共70.()分)

第2頁，共14頁

17.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足Zi2=a+i.

(1)若|z|=2,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若復(fù)數(shù)z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.如今大家對(duì)運(yùn)動(dòng)越來越重視，討論也越來越多，時(shí)常聽到有人說“有氧運(yùn)動(dòng)”和

“無氧運(yùn)動(dòng)”，有氧運(yùn)動(dòng)主要的作用是健身，而無氧運(yùn)動(dòng)主要的作用是塑形，一般

的健身計(jì)劃都是有氧運(yùn)動(dòng)配合無氧運(yùn)動(dòng)以達(dá)到強(qiáng)身健體的目的.某健身機(jī)構(gòu)對(duì)其60

位會(huì)員的健身運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)有氧運(yùn)動(dòng)為主的有42人，30歲以下

無氧運(yùn)動(dòng)為主的有12人，占30歲以下調(diào)查人數(shù)的|.

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2x2列聯(lián)表;

有氧運(yùn)動(dòng)為主無氧運(yùn)動(dòng)為主總計(jì)

30歲以下12

30歲及以上

總計(jì)4260

(2)能否有99%的把握認(rèn)為運(yùn)動(dòng)方式與年齡有關(guān)？

附：

Pg

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

>fc)

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考公式：d-"('(a+As+d),其中"a+b+c+d

o1

19.已知數(shù)列｛須｝中，其前幾項(xiàng)和為無,當(dāng)nN2時(shí)，an=Sn^---2.

3

(I)計(jì)算Si，S2,S3,S4；

(II)依據(jù)(I)的計(jì)算結(jié)果，猜想％的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

20.某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的

總材積量，隨機(jī)選取了io棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位：HI?)和

材積量(單位：m3),得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面積判0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量為0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

并計(jì)算得2理療=0.038,鵡*=1.6158,2昌項(xiàng)％=0.2474.

(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫

截面積總和為186nl2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上

數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

附：相關(guān)系數(shù)"聲春嬴短帚際=1377-

21.甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得

0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.己知甲學(xué)校在

三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

22.已知函數(shù)/(%)=%—((2—a)x2—^ax2lnx(e=2.71828…)

(1)當(dāng)。=一機(jī)寸，證明函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)；

2

(2)當(dāng)0VQ41時(shí)，函數(shù)g(x)=/(%)-^bx-bx在(0,+8)上單調(diào)遞減，證明：b>

1+4-

e3

第4頁，共14頁

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：選項(xiàng)A和。的證明最適合用綜合法，

選項(xiàng)C的證明最適合用反證法，

選項(xiàng)B的證明最適合用分析法.

故選：B.

根據(jù)推理論證的特點(diǎn)即可判斷.

本題考查了推理論證的方法，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：對(duì)于46也今'=0,A錯(cuò)誤：

對(duì)于B,(cosx)'=—sinx,8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,(，nx)'=%C正確；

對(duì)于D,(x+5)'=l,。錯(cuò)誤.

故選：C.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ).

3.【答案】A

【解析】解：f(%)=則=[/+以

故/Xx)為偶函數(shù)，

又，(x)=%3>0在(0,+8)恒成立，故/(%)在(0,+8)恒增,

iog23=一1。9并E(一2,一i),

2^6(2-1,2。)，W2-4e

-25e(-3,-2)，/(25)>f(log23)>/(2-力，

*?c>a>b,

故選：A.

首先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到f(x)解析式可知f(x)為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性比較大小

即可.

本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)奇偶性，屬于中檔題.

4.【答案】C

(V=x

【解析】解：根據(jù)題意，匕一”3,解可得》=±1或。，

則f(%)與9(%)的交點(diǎn)為(-1,一1)，(0,0),(1,1),

則圖像所圍成的圖形的面積S=/^(%3一x)dx+-x3)dx=(^--y)|-i+(y—

9虛=3

故選：C.

根據(jù)題意，聯(lián)立函數(shù)的解析式，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，由定積分的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

本題考查定積分的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意定積分的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：當(dāng)n=k時(shí)，左端=±+2+-,+士,

K~rLK+NK'TK

那么當(dāng)n=k+1時(shí)左端=...++-777+—,

KvZ.Kv3K>K￡,K~rLZK+Z

故由k到k+1時(shí)不等式左端的變化是增加了力，三;兩項(xiàng)，同時(shí)減少了白這一項(xiàng),

即念+康一31=/一康

故選：D.

當(dāng)n=k時(shí)，寫出左端，并當(dāng)n=k+l時(shí)，寫出左端，兩者比較，可得答案.

本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：由(i-l)z=l+i,得z=^=黑號(hào)=言言=雷=7，

.，.z=i,貝ijz的虛部為1.

故選：B.

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由共朝復(fù)數(shù)的概念得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

第6頁，共14頁

【解析】解：因?yàn)?個(gè)“冰墩墩”完全相同，將其中2個(gè)“冰墩墩”捆綁，記為元素a,

另外1個(gè)“冰墩墩”記為元素b,先將甲、乙、丙、丁4位運(yùn)動(dòng)員全排列，然后將a、b元

素插入這4位運(yùn)動(dòng)員所形成的空中且a、b元素不相鄰，則不同的排法種數(shù)為北?展=480.

故選：B.

將其中2個(gè)“冰墩墩”捆綁，記為元素a,另外1個(gè)“冰墩墩”記為元素b,將a、b元素

插入這4位運(yùn)動(dòng)員所形成的空中，結(jié)合插空法可求得結(jié)果.

本題考查排列組合及簡單計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題，插空法是關(guān)鍵.

8.【答案】A

【解析】解：(^-2y)(2x-y)5=i(2x-y)5-2y(2x-y)5,

二項(xiàng)式(2x-y)5的通項(xiàng)為7；+i=CJ(2x)5-r(_y)r=Cr.2S-r.(一1)。5-，乙

2323

令r=3得，T4=C^-2-(-l)xy,

23

.1.(|-2y)(2x-的展開式中％2丫4的系數(shù)為-x-2■(-1)=80,

故選：A.

把已知多項(xiàng)式展開得?-2y)(2x-y)5=i(2x-y)5-2y(2x-y)5,再利用二項(xiàng)式

(2x-y)5的通項(xiàng)求解即可.

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?(1)=2,所以o，SMi)=一三咚0“1+-⑴

-2AX2Ax

故選：D.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及極限的運(yùn)算即可求出答案.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義，極限的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：：?隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(0,小),

P(f>2)=P(f<-2)=0.023,

P(-2<<<2)=1->2)-<-2)=1-0.023-0.023=0.954.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.

本題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

1I.【答案】B

【解析】解：由1=7,y=5.5,且線性回歸方程為;=bx_01，解得：b=史羅=0.8-

所以回歸直線為：y=0.8x-O.「

所以當(dāng)x=10時(shí)，y=0,8x10-0.1=7.9-

故選:B.

先求出回歸方程，把x=10代入即可求得.

本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】D

【解析】解：由f(%)=ax2—axlnx—e”有兩個(gè)零點(diǎn)，得a7—axlnx—ex=0有兩個(gè)

根，

BPax(x—/nx)=e”有兩個(gè)根，令g(x)=x—Inx,g'(x)=1—：=？1,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，/(%)<0,當(dāng)％E(1,+8)時(shí)，/(%)>0,

:.g(x)>g(l)=1>0,可得％(%-Inx)>0在(0,+8)上恒成立，

a=e一有兩根，

x^-xlnx

令八(X)=則h，(x)==嘰：;)(丁產(chǎn),

''x2-xlnx(x2-xlnx)2(x2-xlnx)2

由上可知無—Inx>1,A%—1—Inx>0,

，當(dāng)X6(0,1)時(shí)，九'(%)<0,九(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)％W(l,+8)時(shí),九(%)>0,九(%)單調(diào)遞增，

???h(x)的極小值為九(1)=：=e,

又當(dāng)％->0+時(shí)，九(%)T+8,當(dāng)％T++8時(shí)，九(%)T+8,

??.函數(shù)/(%)=ax2-axlnx-e”有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(e,+8).

故選：D.

問題轉(zhuǎn)化為a=一《「有兩根，令八(%)=三一，利用導(dǎo)數(shù)求其極小值，即可求得實(shí)數(shù)

xz-xlnx、/x2-xlnx

a的取值范圍.

本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定及應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求極值，考查

第8頁，共14頁

運(yùn)算求解能力，屬難題.

13.【答案】2x-y-l=0

【解析】解：由/'（x）=/+2xe，-1,得/（久）=2x+2e*+2xe”,

???/（0）=2,又/（0）=-1,

函數(shù)f（乃在點(diǎn)（0,f（0））處的切線方程為y=2x-l,即2%-y-1=0.

故答案為：2x-y-l=0.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=0時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，再求出/（0）,利用直線方程的斜

截式得答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),

是基礎(chǔ)題.

14.【答案】葛

3

【解析】解：陰影部分面積為J：（9-—）dx=（9%_[/流=（9x3-ix3）-（9x

11428

1一h1）=寸

矩形ABCD的面積為（3-1）x9=18,

28

所以在矩形4BCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于工=11.

1827

故答案為：號(hào).

用定積分計(jì)算陰影部分面積除以矩形ABCD的面積即得答案.

本題考查定積分應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】二

【解析】解：四位旁觀者每人預(yù)測(cè)的兩句話中，有且只有一句是正確的，

所以假設(shè)4說：甲第三正確，乙第四錯(cuò)誤；則B說：甲第二錯(cuò)誤，丙第一正確；

則C說：乙第二（正確），丙第三（錯(cuò)誤）；則。說：乙第三（錯(cuò)誤），丁第一（正確），與丙第

一矛盾.

所以假設(shè)4說：甲第三錯(cuò)誤，乙第四正確；則C說：乙第二（錯(cuò)誤），丙第三（正確）；則B說：

甲第二正確，丙第一錯(cuò)誤；

則。說：乙第三（錯(cuò)誤），丁第一（正確），符合題意.

故答案為：二.

根據(jù)條件作假設(shè)分析可得結(jié)論.

本題考查簡單的合情推理，屬中檔題.

16.【答案噎

【解析】解：由分步計(jì)數(shù)原理知，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，進(jìn)行6次一共

有45種不同的取法.

恰好取6次卡片時(shí)停止，說明前5次出現(xiàn)了3種號(hào)碼且第6次出現(xiàn)第4種號(hào)碼，三種號(hào)碼出

現(xiàn)的次數(shù)分別為3,1,1或者2,2,1.

三種號(hào)碼分別出現(xiàn)3,1,1且6次時(shí)停止的取法由題第萼XI=240種，

三種號(hào)碼分別出現(xiàn)2,2,1且6次時(shí)停止的取法由用哭xlxl=360種，

由分步加法計(jì)數(shù)原理知恰好取6次卡片時(shí)停止，共有240+360=600種取法，

所以恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為P=筆=$，

4,512

故答案為弟.

恰好取6次卡片時(shí)停止，說明前5次出現(xiàn)了3種號(hào)碼且前6次出現(xiàn)第四種號(hào)碼.分兩類，

三種號(hào)碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,1,1或者2,2,1.每類中可以分步完成，先確定三種號(hào)

碼卡片出現(xiàn)順序?yàn)?種，再分別確定這三種號(hào)碼卡片出現(xiàn)的位置(注意平均分組問題),

最后讓第四種號(hào)碼卡片出現(xiàn)有一種方法，相乘可得，最后根據(jù)古典概型求概率即可.

本題主要考查了概率的求法，計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了排列組合的應(yīng)用，難點(diǎn)在于

平均分組問題，屬于難題.

17.【答案】解：(1)由zi2=a+i,得—z=a+i,所以z=—a—i,

因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以|z|=J(—a)2+(—1)2=Va2+1=2,

所以a?—3,解得a=V5或a=—y/3-

(2)由(1)知2=-a-i,所以z?=a?-1+2ai,

因?yàn)閺?fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且a是實(shí)數(shù)，

所以行工解得a<T?

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,-1).

【解析】(1)由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模長公式可求;

(2)由己知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義可求.

第10頁，共14頁

本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長公式及復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)2x2列聯(lián)表如下表所示:

有氧運(yùn)動(dòng)為主無氧運(yùn)動(dòng)為主總計(jì)

30歲以下181230

30歲及以上24630

總計(jì)421860

(2)由題意，依=喋然建以2.857<6.635,

所以沒有99%的把握認(rèn)為運(yùn)動(dòng)方式與年齡有關(guān).

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合列聯(lián)表之間的數(shù)據(jù)關(guān)系，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解.

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解:(/)當(dāng)n=l時(shí)，Si=a1=|,

a=

當(dāng)7122時(shí)，n^n~Sn-i=Sn+2,

二Sn=S22),

N-3n-1

.c_]_3s—1_4<_1_5

,,S2一二;一RS3一9一9S4-

(〃)由(/)可猜想Sn=^(n€N*),

證明：①當(dāng)n=l時(shí)，$1=|=言，猜想成立，

②假設(shè)n=fc(fceN*)時(shí)猜想成立，即除=震成立，

「11k+2(fc+l)+l

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，Sa1=—=口^=^3=(女+1)+2,

k+2

即幾=k+1.時(shí),猜想成立，

由①②可知，對(duì)任意正整數(shù)九，猜想結(jié)論均成立.

【解析】(/)結(jié)合首項(xiàng)的值，以及a"=Sn+*-2,即可依次求解.

(〃)猜想%=登|(neN*),再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法，即可求解.

本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）設(shè)這棵樹木平均一棵的根部橫截面積為x，平均一棵的材積量為y,

則根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：x=^=0.06,y=^=0.39；

（2）由題可知‘-JZiOi（z.J）2EiOi（y._-）2-J硝X”馬明*_.）-V0.002X0.0948

0.0134=吧134=097?

0.01XV1.8960.01377*'

（3）設(shè)從根部面積總和X,總材積量為匕則9故丫=粵*186=1209（63）.

Yy0.06

【解析】根據(jù)題意結(jié)合線性回歸方程求平均數(shù)、樣本相關(guān)系數(shù)，并估計(jì)該林區(qū)這種樹木

的總材積量的值即可.

本題考查線性回歸方程，屬于中檔題.

21.【答案】解：（1）中學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,可以得到兩

個(gè)學(xué)校每場比賽獲勝的概率如下表：

第一場比賽第二場比賽第三場比賽

甲學(xué)校獲勝概率0.50.40.8

乙學(xué)校獲勝概率0.50.60.2

甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在3場比賽中至少獲勝2場，

①甲學(xué)校3場全勝，概率為：?!=0.5x0.4x0.8=0.16,

②甲學(xué)校3場獲勝2場敗1場，概率為：P2=0.5x0,4x0.2+0.5x0,6x0.8+0.5x

0.4x0.8=0.44,

所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為：P=Pi+22=0.6；

(2)乙學(xué)校的總得分X的可能取值為：0,10,20,30,其概率分別為：

p(x=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.8=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06,

則x的分布列為：

X0102030

P0.160.440.340.06

X的期望EX=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

【解析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可以求出中學(xué)校獲勝2場或者3場的概率,

可以得到甲學(xué)校獲得冠軍的概率；乙學(xué)校的總得分X的值可取0,10,20,30,分別求

第12頁，共14頁

出X取上述值時(shí)的概率，可得分布列與數(shù)學(xué)期望.

本題考查隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，難度不大.

22.【答案】證明：⑴f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)a=-T時(shí)，/(x)=x—|%2+^x2lnx,f'(x)=1—|x+1xlnx+=1—x+^xlnx,

令F(x)=1—x+1xlnx,尸'(x)=|(/nx—1),

Vxe(0,e)時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,F(x)單調(diào)遞減：

x6(e,+8)時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,F(x)單調(diào)遞增，

尸⑺*=尸⑹=l-ieO,F(i)=l-^>0,F(e2)=1>0.

所以e(0,e),3X2e?+8)使F(%I)=F(x2)=0,