圓錐曲線復(fù)習(xí)題

1.已知橢圓C；務(wù)*l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為憶點(diǎn)A(-a,0)與點(diǎn)8(0,b)是橢

圓的頂點(diǎn)，|BF|=(|AF|.

(I)求橢圓C的離心率e；

(II)設(shè)以離心率e為斜率的直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與橢圓C相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上)

(i)證明：點(diǎn)尸在以線段AP為直徑的圓上；

(ii)AP-BF+AB-BP=8,求橢圓C的方程.

【分析】(I)由題意可得尸(c,0),A(-小0),8(0,b),則|AF|=a+c,|BF|=Vc2+b2=a,

結(jié)合|BF|=||4F|,解得離心率為e.

第2y2

(II)由(I)可知層=〃2-02=3(?,則B(0,V3c),橢圓的方程為--4--r=l,

4c23c2

寫出直線/的方程為)，=~(x+2c),聯(lián)立直線I與橢圓的方程結(jié)合韋達(dá)定理，可得XAXP，

則XP，)，P，解得P點(diǎn)坐標(biāo)，(i)寫出左，而坐標(biāo)，計(jì)算數(shù)量積小?而，即可得出答案.(ii)

寫出G,BF,AB,BP,再由G?加■+6?薪=8,解得c2,a2,b2,即可得出答案.

【解答】解：(I)由題意可得尸(c,0),A(-a,0),8(0,b),

所以[AF]=Q+C,|3F|=Vc24-b2=a,

9

因?yàn)?，\BF\=^\AF\f

所以q=W(a+c)?解得。=2c,

所以離心率為

(II)由(I)可知b1=a2~<?=3(?,

%2y2

所以3(0,V3c),橢圓的方程為--+—7=1，

因?yàn)橐噪x心率e為斜率的直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

所以直線/的方程為y=；(x+2c),

聯(lián)立直線I與橢圓的方程得/+%-2c2=0,

所以XAXP=-2c2,即-2cxp=-2c2，

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解得xp=c,

所以yp=.(c+2c)=等,

所以P(c,—),

2

(i)所以*=(3c,0),PF=(0,一竽)，

所以嘉而=0.

(ii)AP=(3c,—),BF=(c,-V3c),

2

AB—(2c,V3c),BP—(c,——V3c),

因?yàn)??麻?+/?誦=8,

所以3c2-歲02+2°2+孥°2-3?=8,

解得C2-4,

所以“2=4,2=16,b2—3c2—12,

x2y2

所以一+—=1.

1612

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量與橢圓，解題中需要一定的計(jì)算能力，屬于中檔題.

2.如圖，從橢圓C：捻+，=l(a>b>0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為右焦點(diǎn)22,

點(diǎn)A是橢圓與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與>?軸正半軸的交點(diǎn)，且ABIIOP,\AF2\=

2+V2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)乃，傾斜角為60°的直線/交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，求|MN|.

【分析】(1)由4BII0P,\AF2\=2+y/2,列關(guān)于a,b,c的方程組，即可得解得a,b,

c,進(jìn)而可得橢圓的方程.

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（2）解法1：根據(jù)題意寫出直線/的方程，聯(lián)立直線/與橢圓的方程可得關(guān)于x的一元二

次方程，解方程組可得M,N的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)之間距離公式可得

解法2：據(jù)題意寫出直線/的方程,聯(lián)立直線I與橢圓的方程可得關(guān)于x的一元二次方程，

由韋達(dá)定理可得X1+X2,X\X2,由弦長(zhǎng)公式可得|MN|.

【解答】解：（1）由題意知，直線「尸2的方程為x=c,

x2y2b2

代入橢圓的方程=+77=1,解得P（c,一）,

b乙a

,2>

又A（-〃，0）,B（0,b）,所以而，履6=工，

廬b

因?yàn)锳8〃0P,所以一=一，解得Z?=c,

aca

由〃2=b2+c2知，a=V2c,

因?yàn)閨AF2|=〃+C=2+&,所以&C+C=2+VL解得C=VL

所以/=2d=4,b1=a2-C2=2,

x2y2

所以橢圓的方程為二+J=l.

42

（2）由（1）知，點(diǎn)乃（V2,0）,直線/的斜率為tan60°=時(shí),

所以直線/的方程為了=遮（X—V2）①,

（y=V3（x-V2）

由卜2y2得7?-12岳+8=0,

解得見(jiàn)="袈，％2=駕外,

將為，X2的值分別代入①，得y尸百（一,+4）,”=同一尸）,

所以M（俎，―十旬）,N（一，）（"4））,

7777

所以|MN|=-g）2+（%-y2-=

—

/,65/24-46^/2—4^2~i~rV3（V2+4）V3（—>[2.—4）,216

4（—7-------7—）+I-----7-----------7----」=T-

解法2：△=（-12V2）2-4X7X8=64>0,且兌+刈=號(hào)也，小2=等

22

所以J1+（遮）2陽(yáng)-x2|=Jl+（V3）7（%i+x2）-4Xi%2=2J（竿1―4*3=

16

T'

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問(wèn)題，解題中需要一定的計(jì)算能力,

屬于中檔題.

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3.已知曲線C上的點(diǎn)都在y軸及其右側(cè)，且C上的任一點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離比它到圓尸：/+）?

-2x+1|=0的圓心的距離小1.

（1）求曲線C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)尸分別作直線/1，/2,其中直線/|交曲線C于點(diǎn)A,B,直線/2交曲線C于點(diǎn)

M,N,且直線AM過(guò)定點(diǎn)。（0,V2）,求證：直線BN的斜率為定值.

【分析】（1）解法1：配方法可得圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得圓心F坐標(biāo)，設(shè)P的坐標(biāo)

為（x,y）,由C上的任一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離比它到圓心F的距離小I,可得

V（x-l）2+y2=x+\,化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論.

解法2：配方可得圓尸的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得圓心為尸坐標(biāo)，由拋物線的定義可得知，

點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)尸為焦點(diǎn)的拋物線，即可得出答案.

（2）設(shè)其方程為（y-V2）,聯(lián)立拋物線的方程，則由△＞（）,可得反或胴＜0,

設(shè)A（xi，yi）,M（X2，＞2），結(jié)合韋達(dá)定理可得yi+”，yi”，設(shè)B（也”），N（%一,

44

），4），設(shè)直線A3方程為x=〃y+l,聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得力”=-4,進(jìn)

而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)，寫出直線的斜率，即可得出答案.

【解答】解：（1）解法1：配方法可得圓尸的方程為（x-1）2+/=（L）2,

4

即圓尸的圓心為尸（1,0）,

設(shè)P的坐標(biāo)為（居y）,

由己知可得-1尸+y2=/[,

化簡(jiǎn)得，曲線。的方程為夕=4K

解法2：配方可得圓尸的方程為（x-1）2+/=（-）2＞

4

即圓尸的圓心為F（1,0）,

由題意可得C上任意一點(diǎn)尸到直線x=-1的距離等于該點(diǎn)到圓心產(chǎn)的距離，

由拋物線的定義可得知，點(diǎn)尸的軌跡為以點(diǎn)尸（1,0）為焦點(diǎn)的拋物線，

所以曲線C的方程為尸=4x.

（2）證明：依題意可知直線AM不與坐標(biāo)軸垂直，故可設(shè)其方程為x=m（y-夜），

代入，=4x,得J-4m）＞+4＞/2m=0,

其判別式△=16川-16V2/n＞0,

所以機(jī)〉應(yīng)或加＜0,

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設(shè)A（xi，yi）,Mqxi，”），

則yi+”=4m,yi”=4企機(jī)，

因?yàn)辄c(diǎn)8,N在曲線C上，

V3y.2

所以可設(shè)其坐標(biāo)為3（-7-,”），N（號(hào)一，*）,

44

因?yàn)橹本€4