專(zhuān)訓(xùn)1.巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)名師點(diǎn)金：求最短距離的問(wèn)題，第一種是通過(guò)計(jì)算比較解最短問(wèn)題；第二種是平面圖形，將分散的條件通過(guò)幾何變換(平移或軸對(duì)稱(chēng))進(jìn)行集中，然后借助勾股定理解決；第三種是立體圖形，將立體圖形展開(kāi)為平面圖形，在平面圖形中將路程轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距離)．用計(jì)算法求平面中最短問(wèn)題1．如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人從A走到B，為了避免拐角C走“捷徑”，在花圃?xún)?nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路(假設(shè)2步為1m)，卻踩傷了花草．(第1題)2．小明聽(tīng)說(shuō)“武黃城際列車(chē)”已經(jīng)開(kāi)通，便設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：如圖，以往從黃石A坐客車(chē)到武昌客運(yùn)站B，現(xiàn)在可以在黃石A坐“武黃城際列車(chē)”到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車(chē)到武昌客運(yùn)站B.設(shè)AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.請(qǐng)你幫助小明解決以下問(wèn)題：(1)求A，C之間的距離．(參考數(shù)據(jù)eq\r(21)≈(2)若客車(chē)的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車(chē)的平均速度為40km/h，“武黃城際列車(chē)”的平均速度為180km/h，為了在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)選擇哪種乘車(chē)方案？請(qǐng)說(shuō)明理由．(不計(jì)候車(chē)時(shí)間)(第2題)用平移法求平面中最短問(wèn)題3．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是50cm，30cm，10cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只壁虎，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只壁虎從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，至少需爬()A．13cmB．40cmC．130cmD．169cm(第3題)(第4題)4．如圖，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，則AF的長(zhǎng)是________．用對(duì)稱(chēng)法求平面中最短問(wèn)題5．如圖，在正方形ABCD中，AB邊上有一點(diǎn)E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一點(diǎn)P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短長(zhǎng)度．(第5題)6．高速公路的同一側(cè)有A、B兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線(xiàn)MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km.要在高速公路上A′、B′之間建一個(gè)出口P，使A、B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最?。筮@個(gè)最短距離．(第6題)用展開(kāi)法求立體圖形中最短問(wèn)題類(lèi)型1圓柱中的最短問(wèn)題(第7題)7．如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為eq\f(2,π)，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑．若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)度是________(結(jié)果保留根號(hào))．類(lèi)型2圓錐中的最短問(wèn)題8．已知：如圖，觀(guān)察圖形回答下面的問(wèn)題：(1)此圖形的名稱(chēng)為_(kāi)_______．(2)請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它沿AS剪開(kāi)，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)________．(3)如果點(diǎn)C是SA的中點(diǎn)，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出蝸牛爬行的最短路線(xiàn)嗎？(4)SA的長(zhǎng)為10，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90°，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程．(第8題)類(lèi)型3正方體中的最短問(wèn)題9．如圖，一個(gè)正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒(méi)有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．(1)請(qǐng)你在正方體木柜的表面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2)當(dāng)正方體木柜的棱長(zhǎng)為4時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)．(第9題)類(lèi)型4長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題10．如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲(chóng)爬行的最短路程．(第10題)專(zhuān)訓(xùn)2.巧用勾股定理解折疊問(wèn)題名師點(diǎn)金：折疊圖形的主要特征是折疊前后的兩個(gè)圖形繞著折線(xiàn)翻折能夠完全重合，解答折疊問(wèn)題就是巧用軸對(duì)稱(chēng)及全等的性質(zhì)解答折疊中的變化規(guī)律．利用勾股定理解答折疊問(wèn)題的一般步驟：(1)運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線(xiàn)段或角；(2)在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線(xiàn)段的長(zhǎng)為x，將此直角三角形的三邊長(zhǎng)用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來(lái)；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問(wèn)題．巧用全等法求折疊中線(xiàn)段的長(zhǎng)1．(中考·泰安)如圖①是一直角三角形紙片，∠A＝30°，BC＝4cm，將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C′處，折痕為BD，如圖②，再將圖②沿DE折疊，使點(diǎn)A落在DC′的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)A′處，如圖③，則折痕DE的長(zhǎng)為()(第1題)\f(8,3)cmB．2eq\r(3)cmC．2eq\r(2)cmD．3cm巧用對(duì)稱(chēng)法求折疊中圖形的面積2．如圖所示，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線(xiàn)BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．(第2題)巧用方程思想求折疊中線(xiàn)段的長(zhǎng)3．(中考·東莞)如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，連接AG.(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長(zhǎng)．(第3題)巧用折疊探究線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系4．如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線(xiàn)EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接CE.(1)求證：AE＝AF＝CE＝CF；(2)設(shè)AE＝a，ED＝b，DC＝c，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系式．(第4題)專(zhuān)訓(xùn)3.利用勾股定理解題的6種常見(jiàn)題型名師點(diǎn)金：勾股定理建立起了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，應(yīng)用勾股定理可以解與直角三角形有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，證明含有平方關(guān)系的幾何問(wèn)題，作長(zhǎng)為eq\r(n)(n為正整數(shù))的線(xiàn)段，解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題及專(zhuān)訓(xùn)一、專(zhuān)訓(xùn)二中的最短問(wèn)題、折疊問(wèn)題等，在解決過(guò)程中往往利用勾股定理列方程(組)，有時(shí)需要通過(guò)作輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)造直角三角形，化斜為直來(lái)解決問(wèn)題．利用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)1．如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，F(xiàn)C＝3，求EF的長(zhǎng)．(第1題)利用勾股定理作長(zhǎng)為eq\r(n)的線(xiàn)段2．已知線(xiàn)段a，作長(zhǎng)為eq\r(13)a的線(xiàn)段時(shí)，只要分別以長(zhǎng)為和的線(xiàn)段為直角邊作直角三角形，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)就為eq\r(13)a.利用勾股定理證明線(xiàn)段相等3．如圖，在四邊形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求證：AB＝BC.(第3題)利用勾股定理解非直角三角形問(wèn)題4．如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的長(zhǎng)．(第4題)利用勾股定理解實(shí)際生活中的應(yīng)用5．在某段限速公路BC上(公路視為直線(xiàn))，交通管理部門(mén)規(guī)定汽車(chē)的最高行駛速度不能超過(guò)60km/heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(50,3)m/s))，并在離該公路100m處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)A.在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A位于y軸上，測(cè)速路段BC在x軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏西60°方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東45°方向上．另外一條公路在y軸上，AO為其中的一段．(1)求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)一輛汽車(chē)從點(diǎn)B勻速行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間是15s，通過(guò)計(jì)算，判斷該汽車(chē)在這段限速路上是否超速．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈(第5題)利用勾股定理探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線(xiàn)BC以1cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)求BC邊的長(zhǎng)；(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，借助圖①求t的值；(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，借助圖②求t的值．(第6題)答案eq\a\vs4\al(專(zhuān)訓(xùn)1)1．4(第2題)2．解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.在Rt△CBE中，∵BC＝20km，∴BE＝10km.由勾股定理可得CE＝10eq\r(3)km.在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝8100＋300＝8400，∴AC＝20eq\r(21)≈20×＝92(km)．(2)選擇乘“武黃城際列車(chē)”．理由如下：乘客車(chē)需時(shí)間t1＝eq\f(80,60)＝1eq\f(1,3)(h)，乘“武黃城際列車(chē)”需時(shí)間t2≈eq\f(92,180)＋eq\f(20,40)＝1eq\f(1,90)(h)．∵1eq\f(1,3)>1eq\f(1,90)，∴選擇乘“武黃城際列車(chē)”．3．C點(diǎn)撥：將臺(tái)階面展開(kāi)，連接AB，如圖，線(xiàn)段AB即為壁虎所爬的最短路線(xiàn)．因?yàn)锽C＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC＝50cm，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16900，所以AB＝130cm.所以壁虎至少爬行130cm.(第3題)(第5題)4．105．解：如圖，連接BD交AC于O，連接ED與AC交于點(diǎn)P，連接BP.易知BD⊥AC，且BO＝OD，∴BP＝PD，則BP＋EP＝ED，此時(shí)最短．∵AE＝3，AD＝1＋3＝4，由勾股定理得ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52，∴ED＝BP＋EP＝5.6．解：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接AC交MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所建的出口．此時(shí)A、B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最小，最短距離為AC的長(zhǎng)．作AD⊥BB′于點(diǎn)D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8km，DC＝6km.∴AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝10km，∴這個(gè)最短距離為10km.(第6題)(第7題)7．2eq\r(2)點(diǎn)撥：將圓柱體的側(cè)面沿AD剪開(kāi)并鋪平得長(zhǎng)方形AA′D′D，連接AC，如圖．線(xiàn)段AC就是小蟲(chóng)爬行的最短路線(xiàn)．根據(jù)題意得AB＝eq\f(2,π)×2π×eq\f(1,2)＝2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8，∴AC＝eq\r(8)＝2eq\r(2).8．解：(1)圓錐(2)扇形(3)把此立體圖形的側(cè)面展開(kāi)，如圖所示，AC為蝸牛爬行的最短路線(xiàn)．(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC＝eq\r(125)＝5eq\r(5).故蝸牛爬行的最短路程為5eq\r(5).(第8題)(第9題)9．解：(1)螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC′1和AC1.(2)如圖，AC′1＝eq\r(42＋（4＋4）2)＝4eq\r(5).AC1＝eq\r(（4＋4）2＋42)＝4eq\r(5).所以螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)是4eq\r(5).10．解：分為三種情況：(1)如圖①，連接EC，在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝eq\f(1,2)×30＝15(cm)．(第10題)由勾股定理，得EC＝eq\r(202＋152)＝25(cm)．(2)如圖②，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求CE＝eq\r(673)cm>25cm.(3)如圖③，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求CE＝eq\r(122＋（30＋8＋15）2)＝eq\r(2953)(cm)>25cm.綜上可知，小蟲(chóng)爬行的最短路程是25cm.eq\a\vs4\al(專(zhuān)訓(xùn)2)1．A2．解：由題意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3.∵△BC′D與△BCD關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng)，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED.設(shè)EB＝x，則ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5.∴DE＝5.∴S△BED＝eq\f(1,2)DE·AB＝eq\f(1,2)×5×4＝10.3．(1)證明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°.∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.設(shè)BG＝FG＝x，則GC＝6－x，∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x.∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴BG＝2.4．(1)證明：由題意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，故AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF＝EC＝CF.(2)解：由題意知，AE＝EC＝a，ED＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.eq\a\vs4\al(專(zhuān)訓(xùn)3)(第1題)1．解：如圖，連接BD.∵等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC(等腰三角形三線(xiàn)合一)，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又易知∠C＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD.∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.∴∠FDC＝∠EDB.在△EDB與△FDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBD＝∠C，,BD＝CD，,∠EDB＝∠FDC，))∴△EDB≌△FDC(ASA)，∴BE＝FC＝3.∴AB＝7，則BC＝7.∴BF＝4.在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，∴EF＝5.2．2a；3a3．證明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2，故BC2＝AB2，即AB＝BC.方法總結(jié)：當(dāng)已知條件中有線(xiàn)段的平方關(guān)系時(shí)，應(yīng)選擇用勾股定理證明，應(yīng)用勾股定理證明兩條線(xiàn)段相等的一般步驟：①找出圖中證明結(jié)論所要用到的直角三角形；②根據(jù)勾股定理寫(xiě)出三邊長(zhǎng)的平方關(guān)系；③聯(lián)系已知，等量代換，求之即可．4．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，(第4題)∴CD＝eq\f(1,2)AC＝5.∴在Rt△ACD中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(102－52)＝5eq\r(3).∴在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝11.∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.方法總結(jié)：利用勾股定理求非直角三角形中線(xiàn)段的長(zhǎng)的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合條件，采用推理或列方程的方法解決問(wèn)題．5．解：(1)在Rt△AOB中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝eq\f(1,2