2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)公式法解絕對(duì)值得即可解決.【詳解】由題知，，因?yàn)?，即，所以，所?故選：B2．命題“”的否定為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“”的否定為“”.故選：A3．如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，則下列各式一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由矩形的幾何性質(zhì)，結(jié)合各線段對(duì)應(yīng)向量的關(guān)系判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由圖知：，故A錯(cuò)誤；不相等，即，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D4．為響應(yīng)“健康中國2030”的全民健身號(hào)召，某校高一年級(jí)舉辦了學(xué)生籃球比賽，甲?乙兩位同學(xué)在6場(chǎng)比賽中的得分莖葉圖如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲得分的極差比乙得分的極差小B．甲得分的平均數(shù)比乙得分的平均數(shù)小C．甲得分的方差比乙得分的方差大D．甲得分的分位數(shù)比乙得分的分位數(shù)大【答案】C【分析】根據(jù)莖葉圖求出甲，乙兩位同學(xué)得分的極差，平均分，方差，百分位數(shù)即可解決.【詳解】由題知，甲同學(xué)6場(chǎng)比賽得分分別為14,16,23,27,32,38，極差為，平均數(shù)，方差，因?yàn)?，所以得分?5%分位數(shù)為16，乙同學(xué)6場(chǎng)比賽得分分別為13,22,24,26,28,37，極差為，平均數(shù)，方差，因?yàn)?，所以得分?5%分位數(shù)為22，所以ABD錯(cuò)誤；故選：C5．已知，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷的大小關(guān)系.【詳解】由，所以.故選：B6．已知射擊運(yùn)動(dòng)員甲擊中靶心的概率為，射擊運(yùn)動(dòng)員乙擊中靶心的概率為，且甲?乙兩人是否擊中靶心互不影響.若甲?乙各射擊一次，則至少有一人擊中靶心的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和對(duì)立事件的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)甲擊中靶心為事件，乙擊中靶心為事件，則，，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以與也相互獨(dú)立，則甲、乙都不擊中靶心的概率為，所以甲、乙至少有一人擊中靶心的概率為.故選：A7．“”是“”成立的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義確定答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，則有成立，充分性成立；當(dāng)時(shí)，則有成立，必要性成立.故“”是“”成立的充分必要條件.故選：C8．已知函數(shù)，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用題意先得到，，然后利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由可得，，對(duì)于A，令，定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以不是奇函?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以是奇函?shù)，故B正確；對(duì)于C，由于，定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B9．某校航模小組進(jìn)行無人機(jī)飛行測(cè)試，從某時(shí)刻開始15分鐘內(nèi)的速度（單位：米/分鐘）與飛行時(shí)間（單位：分鐘）的關(guān)系如圖所示.若定義“速度差函數(shù)”（單位：米/分鐘）為無人機(jī)在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)的最大速度與最小速度的差，則的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖像分析，即可得到答案【詳解】由題圖知,當(dāng)時(shí),無人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng),,“速度差函數(shù)”;當(dāng)時(shí),無人機(jī)做勻減速運(yùn)動(dòng),速度從160開始下降,一直降到80,“速度差函數(shù)”;當(dāng)時(shí),無人機(jī)做勻減速運(yùn)動(dòng),從80開始下降,,“速度差函數(shù)”;當(dāng)時(shí)無人機(jī)做勻加速運(yùn)動(dòng),“速度差函數(shù)”.所以函數(shù)在和兩個(gè)區(qū)間上都是常數(shù).故選：C10．已知集合都是的子集，中都至少含有兩個(gè)元素，且滿足：①對(duì)于任意，若，則；②對(duì)于任意，若，則.若中含有4個(gè)元素，則中含有元素的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】令且，，根據(jù)已知條件確定可能元素，進(jìn)而寫出且時(shí)的可能元素，討論、，結(jié)合確定的關(guān)系，即可得集合A、B并求出并集中元素個(gè)數(shù).【詳解】令且，，如下表行列分別表示，集合可能元素如下：----------則，若，不妨令，下表行列分別表示，---------------------由，而，且，顯然中元素超過4個(gè)，不合題設(shè)；若，則，下表行列分別表示，---------------由，而，且，要使中元素不超過4個(gè)，只需，此時(shí)，顯然，即，則，即且，故，所以，即，而，故，共7個(gè)元素.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令且，，結(jié)合已知寫出可能元素，由且時(shí)的可能元素且研究的關(guān)系.二、填空題11．某學(xué)校有教師志愿者80人，其中小學(xué)部有24人，初中部有32人，高中部有24人.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從全校教師志愿者中抽出20人參加周末社區(qū)服務(wù)活動(dòng)，那么應(yīng)從初中部抽出的人數(shù)為__________.【答案】8【分析】利用分層抽樣直接求解.【詳解】從80人中抽取20人，抽樣比為，所以應(yīng)從初中部抽出的人數(shù)為.故答案為：8.12．已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則__________.【答案】【分析】由圖知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得，即可得結(jié)果.【詳解】由圖知：，則，又，則.故答案為：13．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且在上是減函數(shù)，則符合條件的函數(shù)的解析式可以是__________.（寫出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得.【詳解】的定義域?yàn)?，想到作分母，，說明函數(shù)為偶函數(shù)，所以的指數(shù)為偶數(shù)，所以想到冪函數(shù)，驗(yàn)證在單調(diào)遞減成立.故答案為：（答案不唯一）三、雙空題14．已知函數(shù)，則__________；的最小值為__________.【答案】

4

-1【分析】根據(jù)單調(diào)性分別討論分段函數(shù)每段的最小值，再綜合判斷.【詳解】，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故在上無最小值，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，故答案為：-115．某學(xué)校為了調(diào)查高一年級(jí)600名學(xué)生年平均閱讀名著的情況，通過抽樣，獲得了100名學(xué)生年平均閱讀名著的數(shù)量（單位：本），將數(shù)據(jù)按照分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中的值為__________；估計(jì)高一年級(jí)年平均閱讀名著的數(shù)量不少于10本的人數(shù)為__________.【答案】

##

【分析】由頻率和為1列方程求參數(shù)a，由圖知數(shù)量不少于10本的頻率為，進(jìn)而求人數(shù).【詳解】由直方圖知：，所以，則高一年級(jí)年平均閱讀名著的數(shù)量不少于10本為人.故答案為：，16．已知定義在上的函數(shù)，則的零點(diǎn)是__________；若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，則__________.【答案】

和

【分析】令結(jié)合即可求出零點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為與有四個(gè)不同交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象并令，易知、分別是、的兩個(gè)根，進(jìn)而求.【詳解】令，則，即，可得或，又，故的零點(diǎn)是和；由有四個(gè)不等實(shí)根，即且與有四個(gè)不同交點(diǎn)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，在上遞減，在上遞增，綜上，和上，上，則、上遞減，、上遞增，所以函數(shù)圖象如下，由圖知：，又，則，解得，若，則，故，，所以是的兩個(gè)根，是的兩個(gè)根，則，故.故答案為：和，四、解答題17．如圖，在中，.設(shè).(1)用表示；(2)若為內(nèi)部一點(diǎn)，且.求證：三點(diǎn)共線.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）由圖中線段的位置及數(shù)量關(guān)系，用表示出，即可得結(jié)果；（2）用表示，得到，根據(jù)向量共線的結(jié)論即證結(jié)論.【詳解】（1）由題圖，，.（2）由，又，所以，故三點(diǎn)共線.18．已知集合.(1)求；(2)若集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求解一元二次不等式，再求補(bǔ)集；（2）由可分類討論與時(shí)畫圖分析即可.【詳解】（1）∵∴（2）∵∴①當(dāng)時(shí)，，解得：，②當(dāng)時(shí)，即：，∴或∴∴綜述：.19．為了踐行“節(jié)能減排，綠色低碳”的發(fā)展理念，某企業(yè)加大了對(duì)生活垃圾處理項(xiàng)目的研發(fā)力度.經(jīng)測(cè)算，企業(yè)每月平均處理生活垃圾的增量y（單位：噸）與每月投入的研發(fā)費(fèi)用（單位：萬元）之間的函數(shù)關(guān)系式為.(1)若要求每月平均處理生活垃圾的增量不低于100噸，則每月投入的研發(fā)費(fèi)用應(yīng)該在什么范圍？(2)當(dāng)每月投入的研發(fā)費(fèi)用為多少時(shí)，每月平均處理生活垃圾的增量達(dá)到最大值？最大值是多少？【答案】(1)每月投入的研發(fā)費(fèi)用的范圍是萬元(2)每月投入的研發(fā)費(fèi)用為20萬元時(shí)，每月平均處理生活垃圾的增量達(dá)到最大值，最大值是120噸.【分析】（1）根據(jù)題意得到，然后解不等式即可求解；（2）利用基本不等式即可求解【詳解】（1）根據(jù)題意，，因?yàn)樗圆坏仁睫D(zhuǎn)化為化簡(jiǎn)可得，解得所以每月投入的研發(fā)費(fèi)用的范圍是萬元（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以每月投入的研發(fā)費(fèi)用為20萬元時(shí)，每月平均處理生活垃圾的增量達(dá)到最大值，最大值是120噸.20．2022年11月29日23時(shí)08分，搭載神舟十五號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十五運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射成功，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)飛行乘組首次太空“會(huì)師”.下表記錄了我國已發(fā)射成功的所有神舟飛船的發(fā)射時(shí)間和飛行時(shí)長(zhǎng).名稱發(fā)射時(shí)間飛行時(shí)長(zhǎng)神舟一號(hào)1999年11月20日21小時(shí)11分神舟二號(hào)2001年1月10日6天18小時(shí)22分神舟三號(hào)2002年3月25日6天18小時(shí)39分神舟四號(hào)2002年12月30日6天18小時(shí)36分神舟五號(hào)2003年10月15日21小時(shí)28分神舟六號(hào)2005年10月12日4天19小時(shí)32分神舟七號(hào)2008年9月25日2天20小時(shí)30分神舟八號(hào)2011年11月1日16天神舟九號(hào)2012年6月16日13天神舟十號(hào)2013年6月11日15天神舟十一號(hào)2016年10月17日32天神舟十二號(hào)2021年6月17日3個(gè)月神舟十三號(hào)2021年10月16日6個(gè)月神舟十四號(hào)2022年6月5日6個(gè)月神舟十五號(hào)2022年11月29日預(yù)計(jì)6個(gè)月為幫助同學(xué)們了解我國神舟飛船的發(fā)展情況，某學(xué)校“航天社團(tuán)”準(zhǔn)備通過繪畫?海報(bào)?數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表等形式宣傳“神舟系列飛船之旅”.(1)繪畫組成員從表中所有的神舟飛船中隨機(jī)選取1艘進(jìn)行繪畫，求選中的神舟飛船的發(fā)射時(shí)間恰好是在10月份的概率；(2)海報(bào)組成員從飛行時(shí)長(zhǎng)（包括預(yù)計(jì)飛行時(shí)長(zhǎng)）大于30天的神舟飛船中隨機(jī)選取2艘制作海報(bào)，求選中的神舟飛船的飛行時(shí)長(zhǎng)（包括預(yù)計(jì)飛行時(shí)長(zhǎng)）均為6個(gè)月的概率；(3)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)組成員在2022年5月計(jì)算了已經(jīng)完成飛行任務(wù)的神舟飛船的飛行時(shí)長(zhǎng)平均值，記為年12月30日又計(jì)算了已經(jīng)完成飛行任務(wù)的神舟飛船的飛行時(shí)長(zhǎng)平均值，記為.試判斷和的大小.（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)“神舟飛船的發(fā)射時(shí)間恰好是在10月份”為事件列舉出滿足事件的樣本點(diǎn)，即可算出概率；（2）列舉基本事件，根據(jù)古典概型公式求解即可（3）比較和新加入的數(shù)，即可得到結(jié)論【詳解】（1）記名稱為神舟第號(hào)飛船為，則“從表中所有的神舟飛船中隨機(jī)選取1艘”的樣本空間為，共15個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)“神舟飛船的發(fā)射時(shí)間恰好是在10月份”為事件則，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以（2）“從飛行時(shí)長(zhǎng)（包括預(yù)計(jì)飛行時(shí)長(zhǎng)）大于30天的神舟飛船中隨機(jī)選取2艘”的樣本空間為,共10個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)“選中的神舟飛船的飛行時(shí)長(zhǎng)(包括預(yù)計(jì)飛行時(shí)長(zhǎng))均為6個(gè)月”為事件B，則，共3個(gè)樣本點(diǎn)，所以（3）易得2022年5月計(jì)算神舟一號(hào)到神舟十三號(hào)的平均數(shù)小于6個(gè)月，年12月30日又計(jì)算了一遍，新加入神舟十四號(hào)和神舟十五號(hào)的數(shù)據(jù)，一定會(huì)比要大，故會(huì)拉高平均數(shù)，所以21．設(shè)有限集合，對(duì)于集合，給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則稱A為的封閉子集；②對(duì)于集合A中任意兩個(gè)元素，都有，則稱A為的開放子集.(1)若，集合，判斷集合為的封閉子集還是開放子集；（直接寫出結(jié)論）(2)若，且集合A為的封閉子集，求的最小值；(3)若，且為奇數(shù)，集合A為的開放子集，求的最大值.【答案】(1)A為的封閉子集，B為E的開放子集(2)9(3)【分析】對(duì)于（1），利用封閉子集，開放子集定義可得答案；對(duì)于（2），，設(shè).因集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則，其中.據(jù)此可得，得，后排除8，再說明9符合題意即可；對(duì)于（3），因，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)，將里面的奇數(shù)組成集合A，說明集合A為E開放子集，且為最大值即可.【詳解】（1）對(duì)于A，因，且，則A為E的封閉子集；對(duì)于B，由題可得，注意到其中任意兩個(gè)元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他兩個(gè)元素之和，且，故B為E的開放子集；（2）由題：，設(shè).因集合A中任意一個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，在集合A中存在元素，使得，則，其中.得，，，.因，則.若，則，則在A中存在元素，使它們的和為.又，則當(dāng)時(shí)，，得，則在A中存在元素，使它們的和為.又當(dāng)時(shí)，，得，則在A中存在元素，使它們的和為.注意到奇數(shù)，且，故不存在元素，使，這與集