2021-2022學年北京市第二中學高二下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．已知橢圓與雙曲線焦點相同，且橢圓上任意一點到兩焦點距離和為10，則橢圓的短軸長為（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件求出，,應用關系計算即可．【詳解】因為橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為10，所以，即，因為橢圓與雙曲線的焦點相同，，即，，則橢圓的短軸長為．故選：．2．等差數(shù)列的前項和為，已知，則（

）A．9 B．45 C．81 D．162【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差中項性質(zhì)即可求值．【詳解】因為等差數(shù)列中，所以．故選：C．3．若數(shù)列的前項和，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)列的前項和求出該數(shù)列的通項，再利用裂項相消法求和作答.【詳解】當時，，而滿足上式，則，因此，所以.故選：A4．橢圓的焦距為4，則的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】先把橢圓化為標準形式，分焦點在，軸上兩種情況進行分類討論，能求出的值．【詳解】由橢圓化為標準形式得：，且橢圓的焦距，當橢圓焦點在軸上時，，，則由，所以，此時方程為：不是橢圓，所以不滿足題意，當橢圓焦點在軸上時，，，，解得，此時方程為：，滿足題意綜上所述，的值為．故選：D．5．已知公比為的等比數(shù)列前項和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結合等比數(shù)列的性質(zhì)即可得到結論.【詳解】解：①在等比數(shù)列中，若時，，當時，，則，此時為遞減數(shù)列，即充分性不成立；②若“為遞增數(shù)列”，即時，，則有，而并不能推得，如，故必要性不成立，故“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選：D.6．已知函數(shù)在處有極值10，則（

）A．0或－7 B．0 C．－7 D．1或－6【答案】C【分析】求出，由，可得．【詳解】解：由，得，，即，解得或（經(jīng)檢驗應舍去），，故選：C．7．雙曲線的漸近線與拋物線相切，則該雙曲線的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將雙曲線漸近線方程代入拋物線方程，由可求得，根據(jù)可求得結果.【詳解】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：，將代入拋物線方程得：，，解得：，雙曲線的離心率.故選：A.8．函數(shù)，正確的命題是A．值域為 B．在是增函數(shù)C．有兩個不同的零點 D．過點的切線有兩條【答案】B【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)值域、單調(diào)性、零點與切線.【詳解】因為，所以，因此當時在上是增函數(shù)，即在上是增函數(shù)；當時在上是減函數(shù)，因此；值域不為R;當時,當時只有一個零點，即只有一個零點；設切點為，則，所以過點的切線只有一條；綜上選B.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)值域、單調(diào)性、零點與切線，考查基本分析求解能力，屬中檔題.9．，是拋物線上的兩個動點，為坐標原點，當時，的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．64【答案】C【分析】聯(lián)立直線，的方程和拋物線方程，求出點，的坐標，再求出，，根據(jù)基本不等式即可求出最小值．【詳解】解：設直線的方程為，，，直線的方程為，由，解得，即，，則，由，解得，即，則，，當且僅當時取等號，的最小值為8．故選：C．10．設函數(shù)，，若曲線上存在一點，使得點關于原點的對稱點在曲線上，則（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】A【分析】設，則點關于原點的對稱點為，則，即有解，即可得出答案．【詳解】設，則點關于原點的對稱點為，所以，因為存在這樣的點使得點關于原點的對稱點在曲線上，所以有解，所以，所以，令，所以在處取得最小值，且，令，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在取得最大值，因為方程有解，所以，即，所以，所以的最小值為．故選：A．二、填空題11．已知二項式，則__．【答案】【分析】根據(jù)二項展開式，利用賦值法，即可解出．【詳解】解：令得，①，令得，②①②得，．故答案為：．12．已知點是拋物線上的動點，點在軸上的射影是，點，則的最小值為_____．【答案】##4.5【分析】先根據(jù)拋物線方程求得焦點和準線方程，可把問題轉化為到準線與到點距離之和最小，進而根據(jù)拋物線的定義可知拋物線中到準線的距離等于到焦點的距離，進而推斷出、、三點共線時距離之和最小，利用兩點間距離公式求得，則可求．【詳解】解：依題意可知，拋物線即拋物線焦點為，準線方程為，只需直接考慮到準線與到點距離之和最小即可，（因為軸與準線間距離為定值不會影響討論結果），如圖所示：由于在拋物線中到準線的距離等于到焦點的距離，此時問題進一步轉化為距離之和最小即可為曲線焦點），顯然當、、三點共線時距離之和最小，為，由兩點間距離公式得，那么到的距離與到軸距離之和的最小值為．故答案為：．13．等差數(shù)列中，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列前20項的和____【答案】200或330【分析】根據(jù)等差數(shù)列中，且，，成等比數(shù)列，列出關于首項、公差的方程，解方程可得與的值，再利用等差數(shù)列的求和公式可得結果.【詳解】設數(shù)列的公差為，則，，由成等比數(shù)列，得，即，整理得，解得或，當時，；當時，，于是，故答案為200或330.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式，屬于中檔題.等差數(shù)列基本量的運算是等差數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個基本量一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解.14．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁在內(nèi)的6名同學在比賽后合影留念，若甲、乙二人必須相鄰，且丙、丁二人不能相鄰，則符合要求的排列方法共有__種．（用數(shù)字作答）【答案】144【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將甲乙看成一個整體，與甲、乙、丙、丁之外的兩人全排列，②排好后，有4個空位，在其中任選2個，安排丙、丁，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：①將甲乙看成一個整體，與甲、乙、丙、丁之外的兩人全排列，有種情況，②排好后，有4個空位，在其中任選2個，安排丙、丁，有種情況，則有種排法，故答案為：144．15．設函數(shù)圖像上不同兩點，處的切線的斜率分別是，規(guī)定，（為線段的長度）稱為曲線在點與點之間的“彎曲度”，給出以下命題，其中所有真命題的序號為__．①函數(shù)圖像上兩點與的橫坐標分別為1和，則；②存在這樣的函數(shù)，其圖像上任意不同兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)；③，是拋物線上任意不同的兩點，都有；④曲線是自然對數(shù)的底數(shù)）上存在不同的兩點，，使．【答案】①②③【分析】由新定義，利用導數(shù)逐一求出函數(shù)，在點與點之間的“彎曲度”判斷①、③；舉例說明②正確；求出曲線上兩點，的“彎曲度”，然后結合不等式的性質(zhì)，即可判斷④．【詳解】對于①：因為，所以，所以，，所以，故①正確；對于②：例如，，即曲線上任意一點，都有，所以為常數(shù)，故②正確；對于③：，，所以，因為，，所以，故③正確；對于④：，，，因為，為不同的兩點，所以，所以，故④錯誤．故答案為：①②③．三、解答題16．已知數(shù)列為等差數(shù)列，各項為正的等比數(shù)列的前項和為，且，，_____．現(xiàn)有條件：①；②；③．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)條件①②③中有一個不符合題干要求，請直接指出（無需過程）；(3)從剩余的兩個條件中任選一個作為條件（在答題紙中注明你選擇的條件），求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)③(3)答案見解析【分析】（1）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)，建立關系式，進一步求出數(shù)列的通項公式；（2）直接利用已知條件求出結果；（3）先算得公比為2，再利用分組法的應用求出數(shù)列的和．【詳解】解：（1）由于數(shù)列為等差數(shù)列，各項為正的等比數(shù)列的前項和為，且，，故，整理得，；故；（2）選項③不符合題干，由于，，整理得，所以，與數(shù)列為等比數(shù)列相矛盾，故③錯誤．（3）選①時，，①，當時，整理得，解得；所以，當時，，②，①②得：（常數(shù)），故數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列；故；選條件②時，；設等比數(shù)列的公比為，所以，解得舍去）；所以；故，所以．17．根據(jù)國家高考改革方案，普通高中學業(yè)水平等級性考試科目包括政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門，考生可根據(jù)報考高校要求和自身特長，從6門等級性考試科目中自主選擇3門科目參加考試，在一個學生選擇的三個科目中，若有兩個或三個是文史類（政治、歷史、地理）科目，則稱這個學生選擇科目是“偏文”的，若有兩個或三個是理工類（物理、化學、生物）科目，則稱這個學生選擇科目是“偏理”的．為了了解同學們的選課意向，從北京二中高一年級中隨機選取了20名同學（記為，，2，，19，20其中是男生，是女生），每位同學都各自獨立的填寫了擬選課程意向表，所選課程統(tǒng)計記錄如表：學生科目政治111111111歷史1111111111地理1111111111物理1111111111111化學111111111生物111111111(1)從上述20名同學中隨機選取3名同學，求恰有2名同學選擇科目是“偏理”的概率；(2)從北京二中高一年級中任選兩位同學，以頻率估計概率，記為“偏文”女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(3)記隨機變量，樣本中男生的期望為，方差為；女生的期望為，方差為，試比較與；與的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y論）．【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)，【分析】（1）根據(jù)表格計算出20人中偏理的人數(shù)，再利用古典概型的概率公式求解即可．（2）由表格可知取一名學生，這個學生是偏文女生的概率為，的所有可能取值為0，1，2，結合二項分布的概率公式求出相應的概率，得到的分布列，進而求出即可．（3）由男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，可知，．【詳解】（1）由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，則偏理共有11人，偏文共有9人，設恰有2名同學選擇科目是“偏理”為事件，則（A）．（2）由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人，所以抽取一名學生，這個學生是偏文女生的概率為，則，1，2，，，，所以的分布列為：012．（3）男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，則，，故，．18．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由點斜式求切線方程；(2)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結合即可得到答案.【詳解】（1）由題意得，，則，又，故所求切線方程為y＝－7．（2）函數(shù)的定義域為，由（1）知，，注意到，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，∴在x＝1時取得極大值．而，，則，即．作出函數(shù)在上的大致圖象，由題意只需y=a與y=f(x)有兩個交點觀察圖象可知，實數(shù)a的取值范圍為．【點睛】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結合單調(diào)性作函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象研究方程的解是問題解決的關鍵.19．已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)設出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達式，結合韋達定理確定t的值即可證明直線恒過定點.【詳解】（Ⅰ）因為橢圓的右焦點為，所以；因為橢圓經(jīng)過點,所以，所以，故橢圓的方程為.（Ⅱ）設聯(lián)立得，，，.直線，令得，即；同理可得.因為,所以；，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．20．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）令，是否存在實數(shù)，使得當時，函數(shù)的最小值是3？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，說明理由；（3）當時，證明.【答案】（1）（2）存在，（3）見解析【分析】（1）先求導可得,則可將問題轉化為在上恒成立,即在上恒成立,設,求得,即可求解；（2）先對求導,再分別討論,,時的情況,由最小值為3,進而求解；（3）令,結合（2）中知的最小值為3.再令并求導,再由導函數(shù)在大于等于0可判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而可求得最大值也為3,即有成,，即成立,即可得證.【詳解】（1）解:在上恒成立,即在上恒成立,所以在上恒成立,設,則在上單調(diào)遞減,所以所以（2）解:存在,假設存在實數(shù),使有最小值3,①當時,,則在上單調(diào)遞減,所以,解得（舍去）；②當時,當,則；當,則,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,∴,解得,滿足條件；③當時,,則在上單調(diào)遞減,所以,解得（舍去）,綜上,存在實數(shù),使得當時有最小值3.（3）證明:令,由（2）知,,令,則,當時,,則在上單調(diào)遞增,∴∴,即．【點睛】本題考查利用導函數(shù)由函數(shù)單調(diào)性求參問題,考查利用導函數(shù)求最值問題,考查構造函數(shù)處理不等式恒成立的證明問題.21．已知數(shù)列，，，滿足且，2，，，數(shù)列，，，滿足，2，，，其中，，2，，表示，，，中與不相等的項的個數(shù)．(1)數(shù)列，1，2，3，4，請直接寫出數(shù)列；(2)證明：，2，，(3)若數(shù)列A相鄰兩項均不相等，且與A為同一個數(shù)列，證明：，2，，．【答案】(1)1，1，3，4，5(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)新定義計算即可；（2）分類證明，時，；時，