目錄電介質(zhì)中靜電場的分析靜電場中的導(dǎo)體電容和部分電容靜電場的能量靜電力的虛位移求解一、電介質(zhì)中靜電場的分析1、基本方程折射定律一、電介質(zhì)中靜電場的分析【例題】厚度為t、介電常數(shù)為ε=3ε0的無限大介質(zhì)板，放置于均勻電場中，板與成θ1角，如圖所示。試求：（1）使的θ1值；（2）介質(zhì)板兩表面的極化電荷密度?！窘狻浚?）根據(jù)靜電場的邊界條件，在介質(zhì)板的表面上有（2）設(shè)介質(zhì)板中的電場為，根據(jù)分界面上的邊界條件，有一、電介質(zhì)中靜電場的分析【例題】厚度為t、介電常數(shù)為ε=3ε0的無限大介質(zhì)板，放置于均勻電場中，板與成θ1角，如圖所示。試求：（1）使的θ1值；（2）介質(zhì)板兩表面的極化電荷密度?！窘狻考?/p>

介質(zhì)板左表面的極化電荷面密度介質(zhì)板右表面的極化電荷面密度一、電介質(zhì)中靜電場的分析2、分析方法一、電介質(zhì)中靜電場的分析3、電位參考點的選擇原則場中任意兩點的電位差與參考點無關(guān)。

同一個物理問題，只能選取一個參考點。選擇參考點盡可能使電位表達式比較簡單，且要有意義。例如：點電荷產(chǎn)生的電場：表達式無意義

電荷分布在有限區(qū)域時，選擇無窮遠處為參考點；

電荷分布在無窮遠區(qū)時，選擇有限遠處為參考點。一、電介質(zhì)中靜電場的分析【例1】計算電偶極子的電場強度。

x-q+qzylrr-r+O【解】電偶極子產(chǎn)生的電位應(yīng)為

若觀察距離遠大于兩電荷的間距l(xiāng)，則可認(rèn)為，與平行，則求得l的方向規(guī)定由負電荷指向正電荷一、電介質(zhì)中靜電場的分析【例1】計算電偶極子的電場強度。

x-q+qzylrr-r+O【解】定義電偶極子的電矩，以p表示，即那么電偶極子產(chǎn)生的電位為

利用關(guān)系式，求得電偶極子的電場強度為:一、電介質(zhì)中靜電場的分析

電場線微分方程：

等位線方程：一、電介質(zhì)中靜電場的分析【例2】半徑為R0的介質(zhì)球，介電常數(shù)，其內(nèi)均勻分布電荷ρ，試證明：介質(zhì)球中心點的電位

【解】由高斯定理可得一、電介質(zhì)中靜電場的分析【解】采用球坐標(biāo)系，分區(qū)域建立方程【例3】設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為ρ，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。體電荷分布的球形域電場

積分之，得通解一、電介質(zhì)中靜電場的分析【解】采用球坐標(biāo)系，積分得通解【例3】設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為ρ，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。體電荷分布的球形域電場

一、電介質(zhì)中靜電場的分析【解】采用球坐標(biāo)系，由邊界條件得定解【例3】設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為ρ，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。體電荷分布的球形域電場

由于電場強度的方向為電位梯度的負方向，電場線與等位面一定處處保持垂直電場線等位面E二、靜電場中的導(dǎo)體靜電平衡：當(dāng)孤立導(dǎo)體放入靜電場中以后，導(dǎo)體中自由電子發(fā)生定向運動，電荷重新分布。由于自由電子逆電場方向反向移動，因此重新分布的電荷產(chǎn)生的二次電場與原電場方向相反，使導(dǎo)體中的合成電場逐漸削弱，一直到導(dǎo)體中的合成電場消失為零，自由電子的定向運動方才停止，因而電荷分布不再改變，這種狀態(tài)稱為靜電平衡。二、靜電場中的導(dǎo)體當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡時，自由電荷只能分布在導(dǎo)體的表面上。處于靜電平衡狀態(tài)的導(dǎo)體是一個等位體，導(dǎo)體表面是一個等位面。電場強度必須垂直于導(dǎo)體的表面?！纠?】兩個半徑為R和R的導(dǎo)體球，相距甚遠（可以看成孤立導(dǎo)體球），其中球1帶電量q，球2不帶電?，F(xiàn)用一根細長導(dǎo)線連接兩球，且分析中忽略導(dǎo)線對周圍電場的影響。求：兩個球上的電荷量；兩個球面上的電場強度；概括電荷分布規(guī)律性。二、靜電場中的導(dǎo)體【分析】根據(jù)題意，本題是屬兩孤立導(dǎo)體球的合成電場問題?！坝靡桓氶L導(dǎo)線連接兩球”表征兩導(dǎo)體球等電位。二、靜電場中的導(dǎo)體【解】根據(jù)題意，可建立方程組：其中⑴解得⑵由邊界條件得⑶由

得結(jié)論：曲率半徑越大，電荷分布越少二、靜電場中的導(dǎo)體【解】由于結(jié)構(gòu)為球?qū)ΨQ，場也是球?qū)ΨQ的，應(yīng)用高斯定理求解十分方便。取球面作為高斯面，由于電場必須垂直于導(dǎo)體表面，因而也垂直于高斯面。

【例2】已知半徑為r1

的導(dǎo)體球攜帶的正電量為q，該導(dǎo)體球被內(nèi)半徑為r2

的導(dǎo)體球殼所包圍，球與球殼之間填充介質(zhì)，其介電常數(shù)為1

，球殼的外半徑為r3

，球殼的外表面敷有一層介質(zhì)，該層介質(zhì)的外半徑為r4

，介電常數(shù)為2

，外部區(qū)域為真空，如左下圖示。r1r2r3r4

0

2

1試求：①各區(qū)域中的電場強度；②各個表面上的自由電荷和束縛電荷。二、靜電場中的導(dǎo)體【解】在r<r1及r2<r<r3

區(qū)域中，因?qū)w中不可能存靜電場，所以E=0。r1r2r3r4

0

2

1在r3<r<r4區(qū)域中在r>r4區(qū)域中在r1<r<r2

區(qū)域中二、靜電場中的導(dǎo)體【解】r1r2r3r4

0

2

1根據(jù)及，可以求得各個表面上的自由電荷及束縛電荷面密度分別為r=r1:r=r4:r=r2:r=r3:三、電容和部分電容靜電獨立系統(tǒng)雙導(dǎo)體的電容

?

靜電獨立系統(tǒng)——D線從這個系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即

?電容的計算思路：電位系數(shù)和電容例如半徑為a的孤立導(dǎo)體球：為便于衡量儲存電荷的能力開放系統(tǒng)雙導(dǎo)體的部分電容三、電容和部分電容q1q2C12C21C11C22電位系數(shù)表明導(dǎo)體上的電荷對導(dǎo)體電位的貢獻；————感應(yīng)系數(shù)表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻。多導(dǎo)體的部分電容三、電容和部分電容三、電容和部分電容部分電容性質(zhì):?所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的ε值有關(guān)；?互有部分電容Cij=Cji

，即[C]為對稱陣；?(n+1)個導(dǎo)體靜電獨立系統(tǒng)中，共應(yīng)有n(n+1)/2個部分電容；?部分電容是否為零,取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連。三、電容和部分電容【解】設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則由【例1】同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為εo的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。圖球形電容器同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時三、電容和部分電容【解】設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為+ρl和-ρl

，

則由【例2】同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓同軸線故得同軸線單位長度的電容為三、電容和部分電容【解】建立球坐標(biāo)系，設(shè)內(nèi)球帶電q1，球殼帶電q2，則由高斯定理可求得球與球殼間的電場Ei以及球殼外的電場Eo（忽略地面的影響）【例3】已知金屬內(nèi)球半徑為a，同心金屬球殼（無限?。┌霃綖閎，球殼不接地。球與球殼之間以及球殼以外均為空氣。試求：該系統(tǒng)的部分電容以及對地總電容。ab12C12C22三、電容和部分電容【解】建立球坐標(biāo)系，設(shè)內(nèi)球帶電q1，球殼帶電q2【例3】已知金屬內(nèi)球半徑為a，同心金屬球殼（無限薄）半徑為b，球殼不接地。球與球殼之間以及球殼以外均為空氣。試求：該系統(tǒng)的部分電容以及對地總電容。ab12C12C22四、靜電場的能量庫侖定律靜電場是保守場各向同性的線性介質(zhì)四、靜電場的能量Vt時刻帶電體V的電位和電荷密度?建立電場過程緩慢（忽略動能與能量輻射）。假設(shè):(根據(jù)靜電場是保守場的基本特性)?電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的；?電場的建立與充電過程無關(guān),導(dǎo)體上電荷與電位的最終值為

,在充電過程中，的增長比例為α，

t至t＋dt時間P點充電所做的功導(dǎo)體系統(tǒng)四、靜電場的能量【例1】半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場能量。

【解】方法一：利用計算。根據(jù)高斯定理求得電場強度

方法二：利用計算。先求出電位分布

五、靜電力的虛位移求解廣義坐標(biāo)：描述一個完整系統(tǒng)的獨立變數(shù)廣義力：企圖改變廣義坐標(biāo)的力功＝廣義力×廣義坐標(biāo)對應(yīng)的位移增量廣義坐標(biāo)參數(shù)數(shù)目N例：如圖所示廣義力功圖：單擺約束方程就是轉(zhuǎn)動力矩M=r×F圖

多導(dǎo)體系統(tǒng)五、靜電力的虛位移求解設(shè)(n+1)個導(dǎo)體組成的系統(tǒng),只有P號導(dǎo)體發(fā)生位移，此時系統(tǒng)中帶電體的電壓或電荷將發(fā)生變化，其功能關(guān)系為外源提供能量靜電能量增量=+電場力所作功常電荷系統(tǒng)（K打開）常電位系統(tǒng)（K合上）：五、靜電力的虛位移求解【例1】計算帶電肥皂泡的膨脹力?！窘狻吭O(shè)肥皂泡的電量為q，半徑為a。利用常電荷系統(tǒng)公式，令式中廣義坐標(biāo)l代表體積V，則受到的膨