第25講多邊形與平行四邊形內容索引基礎診斷梳理自測，理解記憶考點突破分類講練，以例求法易錯防范辨析錯因，提升考能基礎診斷返回知識梳理11.多邊形(1)一般地，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連接組成的平面圖形稱為n邊形，又稱多邊形.多邊形具有不穩(wěn)定性(n>3).多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.(n－2)180°360°2.平行四邊形兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.3.平行四邊形的性質(1)平行四邊形兩組對邊分別

且

；(2)平行四邊形對角

，鄰角

；(3)平行四邊形對角線

；(4)平行四邊形是

對稱圖形.平行相等相等互補互相平分中心4.平行四邊形的判定(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；(2)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；(3)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.5.解答平行四邊形中常添的輔助線(1)常用連對角線的方法把四邊形問題轉化為三角形的問題；(2)有平行線時，常作平行線構造平行四邊形；(3)有中線時，常作加倍中線構造平行四邊形；(4)圖形具有等鄰邊特征時(如：等腰三角形、等邊三角形、菱形、正方形等)，可以通過引輔助線把圖形的某一部分繞等鄰邊的公共端點旋轉到另一位置.1.(2016·北京)內角和為540°的多邊形是(

)診斷自測212345CA. B.C. D.解析多邊形的內角和為(n－2)×180°，當n＝5時，內角和為540°.2.(2015·孝感)已知一個正多邊形的每個外角等于60°，則這個正多邊形是(

)

A.正五邊形 B.正六邊形C.正七邊形 D.正八邊形1234解析設所求正n邊形邊數(shù)為n，則60°·n＝360°，解得n＝6，故正多邊形的邊數(shù)是6.B53.(2015·廣州)下列命題中，真命題的個數(shù)有(

)①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.A.3個 B.2個 C.1個 D.0個1234B解析根據(jù)平行四邊形的判定方法，逐一分析作出判斷：①對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，命題是真命題；②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，命題是真命題；③一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形也可能是梯形，命題是假命題.512344.(2016·河北)如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊，使點B落在點B′處.若∠1＝∠2＝44°，則∠B為(

)CA.66° B.104°C.114° D.124°解析∵AB∥CD，∴∠1＝∠B′AB＝44°，∵平行四邊形沿對角線AC折疊，∴∠BAC＝∠B′AC＝22°，∴在△ABC中，∠B＝180°－∠2－∠BAC＝180°－44°－22°＝114°.5123455.(2015·衢州)如圖，在?ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC于點E，則CE的長等于(

)CA.8cm B.6cm C.4cm D.2cm解析

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAE＝∠AEB.又∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠EAB＝∠AEB，∴AB＝BE.∵AD＝12，AB＝8，∴BC＝12，BE＝8，∴CE＝BC－BE＝4(cm).返回考點突破返回例1

(2016·宜昌)設四邊形的內角和等于a，五邊形的外角和等于b，則a與b的關系是(

)A.a＞b B.a＝bC.a＜b D.b＝a＋180°考點一多邊形的內角與外角B分析根據(jù)多邊形的內角和定理與多邊形外角的關系即可得出結論.∵四邊形的內角和等于a，∴a＝(4－2)·180°＝360°，∵五邊形的外角和等于b，∴b＝360°，∴a＝b.答案分析規(guī)律方法本題考查的是多邊形的內角與外角，熟知多邊形的內角和定理是解答此題的關鍵.規(guī)律方法練習1答案分析(2016·沈陽)若一個多邊形的內角和是540°，則這個多邊形是

邊形.五分析設多邊形的邊數(shù)是n，則(n－2)·180°＝540°，解得n＝5.正多邊形考點二例2

(2016·廣安)若一個正n邊形的每個內角為144°，則這個正n邊形的所有對角線的條數(shù)是(

)A.7 B.10 C.35 D.70答案分析規(guī)律方法C分析

∵一個正n邊形的每個內角為144°，∴144×n＝180×(n－2)，解得：n＝10，規(guī)律方法(2016·衡陽)正多邊形的一個內角是150°，則這個正多邊形的邊數(shù)為(

)A.10 B.11 C.12 D.13練習2C答案分析分析正多邊形的外角是：180°－150°＝30°，則正多邊形的邊數(shù)為：360°÷30°＝12.考點三

平行四邊形的性質與判定答案規(guī)律方法例3

(2016·宿遷)如圖，已知BD是∠ABC的角平分線，點E、F分別在邊AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC.求證：BE＝CF.證明∵ED∥BC，EF∥AC，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴DE＝CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∵ED∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，∴EB＝CF.本題考查平行四邊形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用直線知識解決問題，屬于基礎題，中考常考題型.規(guī)律方法練習3答案(2016·永州)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E.(1)求證：BE＝CD；解證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AEB＝∠DAE，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD.答案(2)連接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四邊形ABCD的面積.解∵AB＝BE，∠BEA＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB＝4，∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，在△ADF和△ECF中，答案∴△ADF≌△ECF(AAS)，∴S△ADF＝S△ECF，返回考點四

中點四邊形答案例4

(2016·菏澤)如圖，點O是△ABC內一點，連結OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結，得到四邊形DEFG.(1)求證：四邊形DEFG是平行四邊形；解證明：∵點D、G分別是AB、AC的中點，∵點E、F分別是OB、OC的中點，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四邊形DEFG是平行四邊形.答案規(guī)律方法(2)若M為EF的中點，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的長度.解

∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC＋∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∵點M為EF的中點，OM＝3，∴EF＝2OM＝6，∵四邊形DEFG是平行四邊形，∴DG＝EF＝6.本題是平行四邊形的判定與性質題，主要考查了平行四邊形的判定和性質，三角形的中位線，直角三角形的性質，解本題的關鍵是判定四邊形DEFG是平行四邊形.規(guī)律方法練習4(2016·舟山)如圖1，已知點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點，根據(jù)以下思路可以證明四邊形EFGH是平行四邊形：如圖2，將圖1中的點C移動至與點E重合的位置，F(xiàn)，G，H仍是BC，CD，DA的中點，求證：四邊形CFGH是平行四邊形.答案解證明：如答圖，連接BD，∵C，H是AB，DA的中點，∴CH是△ABD的中位線，返回∴CH∥FG，CH＝FG，∴四邊形CFGH是平行四邊形.易錯防范返回易錯警示系列

25不可將未加證明的條件作為已知條件或推理依據(jù)試題如圖，已知六邊形ABCDEF的六個內角均為120°，CD＝10cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，求此六邊形的周長.錯誤答案展示解：如圖，連接EB、DA、FC，分別交于點M、N、P.∵∠FED＝∠EDC＝120°，∴∠DEM＝∠EDM＝60°，∴△DEM是等邊三角形.同理可得，△MAB、△NFA也是等邊三角形，∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8.∵∠EFA＝120°，∴∠EFC＝60°，∴ED∥FC，同理，EF∥DN，∴四邊形EDNF是平行四邊形.同理可得，四邊形EMAF也是平行四邊形，∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8，∴六邊形ABCDEF的周長＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5＝44(cm).正確解答分析與反思剖析正確解答分析與反思剖析上述解法最根本的錯誤在于多邊形的對角線不是角平分線，從證明的一開始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的這個結論就是錯誤的，所以后面的推理就沒有依據(jù)了.請注意對角線與角平分線的區(qū)別，只有菱形和正方形的對角線才有平分一組對角的特性，其他的不具有這一性質.不可憑直觀感覺就以為對角線AD、BE平分∠CDE、∠DEF.切記：視覺不可代替論證，直觀判斷不能代替邏輯推理.正確解答分析與反思正確解答解：如圖，分別延長ED、BC交于點M，延長EF、BA交于點N.∵∠EDC＝∠DCB＝120°，∴∠MDC＝∠MCD＝60°，∴∠M＝60°，∴△MDC是等邊三角形.∵CD＝10，∴MC＝DM＝10.同理可得，△ANF也是等邊三角形，∴AF＝AN＝NF＝5.∵AB＝BC＝8，∴NB＝8＋5＝13，BM＝8＋10＝18.∵∠E＝120°，∠E＋∠M＝180°，∴EN∥MB.