山西省呂梁市育德中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某產(chǎn)品的廣告費x（萬元）與銷售額y（萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：廣告費用x2356銷售額y20304050由最小二乘法可得回歸方程=7x+a，據(jù)此預(yù)測，當(dāng)廣告費用為7萬元時，銷售額約為（）A．56萬元 B．58萬元 C．68萬元 D．70萬元參考答案：A【考點】線性回歸方程．【專題】函數(shù)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】求出數(shù)據(jù)中心（，），代入回歸方程求出，再將x=7代入回歸方程得出答案．【解答】解：==4，==35．∴35=4×7+，解得=7．∴回歸方程為=7x+7．∴當(dāng)x=7時，y=7×7+7=56．故選：A．【點評】本題考查了線性回歸方程的特點與數(shù)值估計，屬于基礎(chǔ)題．2.已知函數(shù)，則（

）A．1

B．0

C．-1

D．4參考答案：C3.已知且，則（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A4.（3分）sin300°=（） A． ﹣ B． C． D． 參考答案：A考點： 運用誘導(dǎo)公式化簡求值；任意角的三角函數(shù)的定義．專題： 計算題；三角函數(shù)的求值．分析： 運用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可化簡求值．解答： sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．故選：A．點評： 本題主要考查了誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.已知與的夾角為，則的值為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D6.若α、β的終邊關(guān)于y對稱，則下列等式正確的是(

)A.sinα=sinβ

B.cosα=cosβ

C.tanα=tanβ

D.cotα=cotβ參考答案：A7.化簡（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用二倍角降冪公式代入進行計算，可得出所求結(jié)果.【詳解】由題意可得，故選：A.【點睛】本題考查二倍角降冪公式的應(yīng)用，意在考查利用二倍角降冪公式在化簡求值中的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.8.已知cosα=－,且tanα<0，則sin2α的值等于

（

）

A．

B．

C．－

D．－參考答案：C略9.設(shè)函數(shù)，則=（

）A.

3

B.6

C.

9

D.12參考答案：C10.（5分）已f（x）=2sin（x+），f（x）的最小正周期是（） A． 2 B． 4π C． 2π D． 4參考答案：D考點： 三角函數(shù)的周期性及其求法．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 由條件根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，可得結(jié)論．解答： f（x）=2sin（x+）的最小正周期為=4，故選：D．點評： 本題主要考查三角函數(shù)的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于T=，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，為平面外一點，且，則平面與平面的位置關(guān)系是

；參考答案：垂直略12.已知集合A，且A中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合A的個數(shù)為

參考答案：613.正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AA1和BD1所成角的余弦值是________.參考答案：【分析】由，可得異面直線和所成的角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】因為，所以異面直線和所成角，設(shè)正方體的棱長為，則直角三角形中，，，故答案為.【點睛】本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角，先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對值.14.一個長為8cm，寬為6cm，高為10cm的密封的長方體盒子中放一個半徑為1cm的小球，無論怎樣搖動盒子，則小球在盒子中總不能到達的空間的體積為cm3．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；球的體積和表面積．【專題】計算題；方程思想；綜合法；立體幾何．【分析】小球在盒子不能到達的空間要分以下幾種情況，在長方體頂點處的小正方體中，其體積等于小正方體體積減球的體積，再求出在以長方體的棱為一條棱的12個的四棱柱空間內(nèi)小球不能到達的空間，其他空間小球均能到達，即可得到結(jié)果．【解答】解：在長方體的8個頂點處的單位立方體空間內(nèi)，小球不能到達的空間為：8[1﹣]=8﹣，除此之外，在以長方體的棱為一條棱的12個的四棱柱空間內(nèi)，小球不能到達的空間共為4[1×1×6+1×1×4+1×1×8﹣]=72﹣18π．其他空間小球均能到達．故小球不能到達的空間體積為．故答案為：．【點評】本題考查的知識點是球的體積，棱柱的體積，其中熟練掌握棱柱和不堪的幾何特征，建立良好的空間想象能力是解答本題的關(guān)鍵．15.用列舉法表示=

；參考答案：{1}16.（3分）設(shè)、、是單位向量，且，則與的夾角為

．參考答案：60°考點： 數(shù)量積表示兩個向量的夾角．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 向量表示錯誤，請給修改，謝謝將已知等式變形，兩邊平方；利用向量模的平方等于向量的平方及向量的數(shù)量積公式求出、兩個向夾角的余弦值，求出、的夾角，再由以為鄰邊的平行四邊形為菱形，即可求得與的夾角．解答： 設(shè)、兩個向量的夾角為θ，由，、、是單位向量，兩邊平方可得1+2+1=1，即=﹣．即1×1×cosθ=﹣，∴θ=120°．由題意可得，以為鄰邊的平行四邊形為菱形，故與的夾角為60°．故答案為60°．點評： 本題考查要求兩個向量的夾角關(guān)鍵要出現(xiàn)這兩個向量的數(shù)量積，解決向量模的問題常采用將模平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，屬于中檔題．17.若點在角的終邊上，則______________（用表示）。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分14分)已知，求的值參考答案：由

....4分

又由，所以

....4分=...6分19.（9分）經(jīng)市場調(diào)查，某超市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的銷售量（件）與價格（元）均為時間t（天）的函數(shù)，且銷售量近似滿足g（t）=80﹣2t（件），價格近似滿足f（t）=20﹣|t﹣10|（元）．（1）試寫出該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數(shù)關(guān)系表達式；（2）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．參考答案：考點： 分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)解析式的求解及常用方法．專題： 計算題；應(yīng)用題；分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）根據(jù)y=g（t）?f（t），可得該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數(shù)表達式；（2）分段求最值，可求該種商品的日銷售額y的最大值和最小值．解答： （1）依題意，可得：，所以；（2）當(dāng)0≤t≤10時，y=（30+t）（40﹣t）=﹣（t﹣5）2+1225，y的取值范圍是，在t=5時，y取得最大值為1225；當(dāng)10＜t≤20時，=（50﹣t）（40﹣t）=（t﹣45）2﹣25，y的取值范圍是解答： （1）∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），∴f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，∵f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，∴，又∵a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1．∵ax單調(diào)遞減，a﹣x單調(diào)遞增，∴f（x）在R上單調(diào)遞減．不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0化為：f（x2+tx）＜f（x﹣4），∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜t＜5．（2）∵f（1）=，∴，即2a2﹣3a﹣2=0．∴a=﹣（舍去）或a=2，∴a=2，∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知t=f（x）=2x﹣2﹣x為增函數(shù)，∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥），若m≥，當(dāng)t=m時，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2若m＜，當(dāng)t=時，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去綜上可知m=2．點評： 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，屬于中檔題．20.如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，，動點M，N滿足，.（1）當(dāng)時，求的值；（2）若，求的值.參考答案：（1）（2）【分析】(1)時，分別為的中點，可得，根據(jù)模長的計算公式得到結(jié)果；（2）根據(jù)平面向量基本定理得到按照向量點積公式展開得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，分別為的中點，此時易得且的夾角為，則;（2），故.【點睛】(1)向量的運算將向量與代數(shù)有機結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)問題;(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法;(3)向量的兩個作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.21.已知<<<,(1)求的值.

（2）求.參考答案：略22.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，為等腰三角形，，平面PAD⊥平面ABCD，且分別為的中點．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面；（3）求三棱錐的體積．參考答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】