直線與平面的夾角學(xué)案編號：GEXX2-1T3-2-2【學(xué)習(xí)要求】1．理解斜線和平面所成的角的定義，體會夾角定義的唯一性，合理性．2．會求直線AB與平面α的夾角θ.【學(xué)法指導(dǎo)】通過對公式①的推導(dǎo)過程，體會探究思想在數(shù)學(xué)知識中的應(yīng)用．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)我們探求知識的欲望，感受數(shù)學(xué)知識間的相互聯(lián)系，同時通過相互交流，達(dá)到共同提高目的．1．直線與平面所成的角探究點一定義法求直線與平面所成的角問題1斜線和平面所成的角具有什么性質(zhì)？試一試PA、PB、PC是從P點引出的三條射線，每兩條射線夾角都是60°，則直線PC與平面APB所成角的余弦值為________．問題2怎樣利用定義求直線與平面的夾角？例1如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD與平面PAB所成的角．跟蹤訓(xùn)練1在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD探究點二用向量法求線面角問題怎樣利用向量求直線和平面所成的角？例2如圖在五棱錐P－ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°，AB＝2eq\r(2)，BC＝2AE＝4，三角形PAB是等腰三角形．(1)求證：平面PCD⊥平面PAC；(2)求直線PB與平面PCD夾角的大?。櫽?xùn)練2如圖所示，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，點F是AE的中點．求AB與平面BDF所成角的正弦值．【達(dá)標(biāo)檢測】1．如果平面的一條斜線段長是它在這個平面上的射影長的3倍，那么斜線段與平面所成角的余弦值為 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2\r(2),3) C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2,3)2．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，則l與α所成的角為 ()A．30° B．60° C．120° D．150°3．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于150°，則直線l與平面α所成的角等于()A．30° B．60° C．150° D．以上均錯4．正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值為 A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),3) C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(3),2)【課堂小結(jié)】1．線面角可以利用定義在直角三角形中解決．2．線面角的向量求法：設(shè)直線的方向向量為a，平面的法向量為n，直線與平面所成的角為θ,則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a|·|n|).3.2.3直線與平面的夾角一、基礎(chǔ)過關(guān)1．平面的一條斜線和這個平面所成角θ的范圍是 ()A．0°<θ<90° B．0°≤θ<90°C．0°<θ≤90° D．0°<θ<180°2．正方體ABCD—A1B1C1D1中，B1C與平面ABCD所成的角是A．90° B．30°C．45° D．60°3．正四面體ABCD中棱AB與底面BCD所成角的余弦值為 ()\f(1,2) \f(1,3) \f(\r(3),3) \r(3)4．在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是棱長為1的正三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，點D在棱BB1上，且BD＝1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則sin\f(\r(3),2) \f(\r(2),2) \f(\r(10),4)\f(\r(6),4)5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為 \f(\r(2),3) \f(\r(3),3) \f(2,3) \f(\r(6),3)6．如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么這條斜線與平面所成的角是________．二、能力提升7．已知三棱錐S－ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為()\f(\r(3),4) \f(\r(5),4) \f(\r(7),4) \f(3,4)8.如圖，∠BOC在平面α內(nèi)，OA是平面α的一條斜線，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝eq\r(2)a，OA與平面α所成的角為________．9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中側(cè)棱長為eq\r(2)，底面邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角是_____.10．在正四面體ABCD中，E為棱AD的中點，連接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值．

11.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面＝DC，E是PC的中點．求EB與平面ABCD夾角的余弦值．12.如圖，已知點P在正方體ABCD—A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP與CC′所成角的大小；(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大?。?、探究與拓展13.已知幾何