人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊復(fù)習(xí)資料知識清單第1章空間向量與立體幾何知識清單一、空間向量的有關(guān)概念1．空間向量（1）定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．（2）長度或模：空間向量的大小．（3）表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：，其模記為|a|或．2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－a的相反向量：相等向量相同相等a＝b二、空間向量的線性運算 （1）向量的加法、減法空間向量的運算加法a＋b減法a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)（2）空間向量的數(shù)乘運算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；當λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律a．結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a．b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb．三、共線問題共線向量：（1）定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．（2）方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a．（3）共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb．（4）如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得＝λa．四、向量共面問題共面向量：（1）定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．（2）共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb．（3）空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使或?qū)臻g任意一點O，有．五、空間向量數(shù)量積的運算空間向量的數(shù)量積：（1）定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0．（2）常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0．②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2．③cos〈a，b〉＝．（3）數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c六、垂直問題、夾角問題、距離問題當時，．夾角公式：，向量的模：七、空間向量基本定理及相關(guān)概念的理解空間向量基本定理：如果空間中的三個向量a，b，c不共面，那么對空間中的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空間中不共面的三個向量a，b，c組成的集合{a，b，c}，常稱為空間向量的一組基底.此時，a，b，c都稱為基向量；如果p=xa+yb+zc，則稱xa+yb+zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.八、空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示.正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解.九、用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題1.用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點：(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量．(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立十、空間直角坐標系1.求空間點的坐標：在空間直角坐標系中，i，j，k為坐標向量，對空間任一點A，對應(yīng)一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，則(x，y，z)叫做點A在空間直角坐標系中的坐標．記作A(x，y，z)，其中x叫點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標.2.空間向量的坐標表示：（1）若則.（2）在空間直角坐標系中，給定向量a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，則(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系中的坐標，簡記作a＝(x，y，z).3.求對稱點的坐標在空間直角坐標系中，任一點P(a，b，c)的幾種特殊的對稱點的坐標如下：對稱軸或?qū)ΨQ中心對稱點坐標P(a，b，c)x軸(a，－b，－c)y軸(－a，b，－c)z軸(－a，－b，c)xOy平面(a，b，－c)yOz平面(－a，b，c)xOz平面(a，－b，c)坐標原點(－a，－b，－c)十一、空間向量線性運算的坐標表示空間向量坐標運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空間向量的坐標運算法則如下表所示：運算坐標表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3十二、空間向量的平行與垂直空間向量的平行、垂直的坐標表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則平行(a∥b)a∥b(b≠0)?a＝λb?垂直(a⊥b)a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)十三、空間向量的長度與夾角空間向量的夾角與長度問題設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則模|a|＝＝夾角公式cos〈a，b〉＝＝十四、空間中點、直線和平面的向量表示空間圖形向量表示圖形表示點在空間中，取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示．我們把向量稱為點P的位置向量.直線點A是直線l上的一個點，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達式.平面取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使，這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式.平面的法向量直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.十五、空間中直線與平面、平面與平面的平行位置關(guān)系向量表示圖形表示線線平行設(shè)u1，u2分別是不重合的直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.線面平行設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.面面平行設(shè)n1，n2分別是不重合的平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.十六、空間中直線與平面、平面與平面的垂直位置關(guān)系向量表示圖形表示線線垂直設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.線面垂直設(shè)直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.面面垂直設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.十七、用空間向量研究距離與夾角問題分類向量求法兩點距設(shè)A、B為空間中的任意兩點，則d＝|AB|點線距設(shè)直線l的單位方向向量為u，A∈l，P?l，設(shè)，則點P到直線l的距離.點面距已知平面α的法向量為n，A∈α，P?α，則點P到平面α的距離為.角的分類向量求法范圍兩異面直線l1與l2所成的角為θ設(shè)l1與l2的方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos<u，v>|＝直線l與平面α所成的角為θ設(shè)l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos<u，n>|＝平面α與平面β的夾角為θ設(shè)平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos<n1，n2>|＝第2章直線和圓的方程知識清單一、直線的點斜式與斜截式方程1.直線的點斜式方程的定義已知直線l經(jīng)過點，且斜率為k，則直線l的方程為．這個方程是由直線上一定點及其斜率確定的，因此稱為直線的點斜式方程，簡稱點斜式．當直線l的傾斜角為0°時（如圖1），，即k=0，這時直線l與x軸平行或重合，l的方程就是，或．當直線l的傾斜角為90°時（如圖2），直線沒有斜率，這時直線l與y軸平行或重合，它的方程不能用點斜式表示．因為這時l上每一點的橫坐標都等于，所以它的方程是，或．2.直線的點斜式方程的推導(dǎo)如圖，設(shè)點是直線l上不同于點的任意一點，根據(jù)經(jīng)過兩點的直線的斜率公式得（1），即（2）．注意：方程（1）與方程（2）的差異：點的坐標不滿足方程（1），但滿足方程（2），因此，點不在方程（1）表示的圖形上，而在方程（2）表示的圖形上，方程（1）不能稱為直線l的方程．上述過程可以證明直線上每個點的坐標都是方程（2）的解．對上面的過程逆推，可以證明以方程（2）的解為坐標的點都在直線l上，所以這個方程就是過點，斜率為k的直線l的方程．【微點撥】（1）當直線的斜率存在時，才能用直線的點斜式方程．3.直線的斜截式方程的定義我們把直線l與y軸交點的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距．如果直線l的斜率為k，且在y軸上的截距為b，則方程為，即叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．當b=0時，表示過原點的直線；當k=0且b≠0時，表示與x軸平行的直線；當k=0且b=0時，表示與x軸重合的直線．【微點撥】（1）縱截距不是距離，它是直線與y軸交點的縱坐標，所以可取一切實數(shù)，即可為正數(shù)、零或負數(shù)．縱截距也可能不存在，比如當直線與y軸平行時．（2）由于有些直線沒有斜率，即有些直線在y軸上沒有截距，所以并非所有直線都可以用斜截式表示．4.中點坐標公式若點的坐標分別為，且線段的中點的坐標為，則．此公式為線段的中點坐標公式．直線的兩點式方程1．直線的兩點式方程的定義已知直線過兩點，當時，直線的方程為．這個方程是由直線上的兩點確定的，因此稱為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．2．直線的兩點式方程的推導(dǎo)已知直線過兩點（其中），此時直線的位置是確定的，也就是直線的方程是可求的．當時，所求直線的斜率．任取中的一點，例如取，由點斜式方程，得，當時，可寫為．【微點撥】利用兩點式直線方程公式切記關(guān)注兩點的位置特殊性.3．直線的截距式方程的定義已知直線過點，（），則由直線的兩點式方程可以得到直線的方程為．我們把直線與軸的交點的橫坐標叫做直線在軸上的截距，此時直線在軸上的截距是．這個方程由直線在兩個坐標軸上的截距和確定，因此叫做直線的截距式方程，簡稱截距式．4．直線的截距式方程的推導(dǎo)已知直線與軸的交點為，與軸的交點為，如圖，其中．將兩點，的坐標代入兩點式，得，即．5.兩點式直線方程與截距式直線方程的應(yīng)用【微點撥】利用兩點式直線方程公式時切記兩點的橫、縱坐標不能相同；利用截距式直線方程公式時切記截距為零時的情況的討論.直線的一般式方程1.直線的一般式方程在平面直角坐標系中，任何一個關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關(guān)于x，y的二元一次方程（其中A，B不同時為0）叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．【微點撥】解題時，若無特殊說明，應(yīng)把求得的直線方程化為一般式．2.直線的一般式與斜截式、截距式的互化直線的一般式、斜截式、截距式如下表：一般式斜截式截距式不同時為0）都不為0）直線的一般式方程可以表示坐標平面內(nèi)任意一條直線．因此在一定條件下，直線的一般式方程可以進行如下轉(zhuǎn)化：（1）當時，可化為，它表示在y軸上的截距為，斜率為的直線．（2）當均不為零時，可化為，它表示在x軸上的截距為，在y軸上的截距為的直線．3.一般式方程中兩直線平行與垂直的條件若兩條直線的方程是用一般式給出的，設(shè)直線的方程分別為，，則可以在條件允許時將兩方程化為斜截式方程，從而得出兩直線平行與垂直的結(jié)論如下：（1）若，當斜率存在時，；當斜率不存在時，且．即，且或．（2）若，當斜率存在時，；當斜率不存在時，或．即．四、直線系方程1.過定點的直線系方程當直線過定點時，我們可設(shè)直線方程為．由此方程可知，k取不同的值時，它就表示不同的直線，且每一條直線都經(jīng)過定點，當k取遍所允許的每一個值后，這個方程就表示經(jīng)過定點的許多直線，所以把這個方程叫做過定點的直線系方程．由于過點與x軸垂直的直線不能被表示，因此直線系（）中沒有直線．2．平行直線系方程把平面內(nèi)具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系．一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為（其中為參數(shù)且≠C），然后依據(jù)題設(shè)中另一個條件來確定的值．3．垂直直線系方程一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為（其中為參數(shù)），然后依據(jù)題設(shè)中的另一個條件來確定的值．五、兩條直線的交點坐標1．基礎(chǔ)知識幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點M直線l不同時為0）點M在直線l上直線與的交點是M方程組的解是.2．兩條直線的交點已知兩條不重合的直線不同時為0），不同時為0），如果這兩條直線相交，則交點一定同時在這兩條直線上，交點坐標是這兩個直線方程的唯一公共解；如果這兩個二元一次方程組成的方程組只有一個解，那么以這個解為坐標的點必是和的交點．3．兩條直線的位置關(guān)系與對應(yīng)直線方程組成的方程組的解的聯(lián)系直線與的位置關(guān)系相交重合平行直線與的公共點個數(shù)一個無數(shù)個零個方程組的解一組無數(shù)組無解【微點撥】本節(jié)課中的平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是相交與平行.4.直線過定點問題【微點撥】如果是不論參數(shù)為何值，那么過定點的直線為直線系.六、兩點間的距離公式1.兩點間的距離公式平面上任意兩點間的距離公式為.特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離．2．兩點間距離公式的推導(dǎo)法一：已知平面上的任意兩點，向量，則.因此得到平面上的任意兩點的距離公式為：.法二：已知平面上的任意兩點，如何求點間的距離?如圖，過點分別向y軸和x軸作垂線和，垂足分別為，，直線與相交于點Q．在中，，過點向x軸作垂線，垂足為；過點向軸作垂線，垂足為，所以，同理可得．所以．由此得到平面上任意兩點間的距離公式為．七、坐標法（解析法）1．坐標法的定義通過建立平面直角坐標系，設(shè)出已知點的坐標，求出未知點的坐標，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而利用代數(shù)知識使問題得以解決，這種解決問題的方法叫做坐標法，也稱為解析法．2．坐標法解決問題的基本步驟（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；?）設(shè)出已知點的坐標，求出未知點的坐標；（3）利用已學(xué)的坐標公式列出方程（組），通過計算得出代數(shù)結(jié)論；（4）反演回去，得到幾何問題的結(jié)論．也可簡記為：【微點撥】對解析幾何的理解就是將幾何問題代數(shù)化，也就是用代數(shù)方法解決平面幾何問題，是數(shù)與形的最好結(jié)合.八、對稱問題對稱問題包括點關(guān)于點的對稱、點關(guān)于直線的對稱、直線關(guān)于點的對稱．1．點關(guān)于點對稱點關(guān)于點的對稱是對稱問題中最基本的問題，是解決其他對稱問題的基礎(chǔ)，一般用中點坐標公式解決這種對稱問題．設(shè)點關(guān)于點M（a，b）的對稱點為P′（x，y），則有，所以，即點．特別地，點P關(guān)于坐標原點O的對稱點為．2．點關(guān)于直線對稱對于點關(guān)于直線的對稱問題，若點P關(guān)于直線l的對稱點為，則直線l為線段的中垂線，于是有等量關(guān)系：①（直線l的斜率存在且不為零）；②線段的中點在直線l上；③直線l上任意一點M到P，的距離相等，即．常見的點關(guān)于直線的對稱點：點關(guān)于x軸的對稱點；點關(guān)于y軸的對稱點；點關(guān)于直線y=x的對稱點；點關(guān)于直線y=?x的對稱點；⑤點關(guān)于直線x=m（m≠0）的對稱點；點關(guān)于直線y=n（n≠0）的對稱點．【微點撥】對稱與距離有關(guān)，與垂直有關(guān).九、點到直線的距離1．點到直線的距離點到直線的距離，是指從點到直線的垂線段的長度，其中為垂足．實質(zhì)上，點到直線的距離是直線上的點與直線外一點所連線段的長度的最小值．2．點到直線的距離公式平面上任意一點到直線l：Ax+By+C=0（A，B不同時為0）的距離為．3．點到直線的距離公式的推導(dǎo)如圖，設(shè)，則直線l與x軸和y軸都相交，過點分別作x軸和y軸的平行線，交直線l于R和S，則直線的方程為，R的坐標為；直線的方程為，S的坐標為，于是有，，．設(shè)，由三角形面積公式可得，于是得．因此，點到直線l：Ax+By+C=0的距離．可以驗證，當A=0，或B=0時，上述公式也成立．【微點撥】用向量法推導(dǎo)點P到直線l的距離|PQ|公式的向量法推導(dǎo)，在直線上取任意一點M，與直線方向向量垂直的單位向量為n，則有，所以有.4.點到直線的距離問題（1）求點到直線的距離時，若給出的直線方程不是一般式，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點到直線的距離公式求解即可．（2）對于與坐標軸平行（或重合）的直線x=a或y=b，求點到它們的距離時，既可以用點到直線的距離公式，也可以直接寫成或．（3）若已知點到直線的距離求參數(shù)或直線方程時，只需根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．十、兩條平行直線間的距離1．兩條平行直線間的距離兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長．2．兩條平行直線間的距離公式一般地，兩條平行直線（其中A與B不同時為0，且）間的距離．3．兩條平行直線間的距離公式的推導(dǎo)對于兩條平行直線（其中A與B不同時為0，且）．在直線上任取一點，則點到的距離即為與之間的距離，則．∵點在直線上，∴，即．∴兩條平行直線，（其中A與B不同時為0，且）之間的距離為．4.直線關(guān)于直線對稱（1）直線與關(guān)于直線l對稱，它們具有以下幾種幾何性質(zhì)：①若與相交，則直線l是、夾角的平分線；②若與平行，則直線l在、之間且到、的距離相等；③若點A在上，則點A關(guān)于直線l的對稱點B一定在上，此時AB⊥l，且線段AB的中點M在l上（即l是線段AB的垂直平分線）．充分利用這些性質(zhì)，可以找出多種求直線的方程的方法．（2）常見的對稱結(jié)論有：設(shè)直線l為Ax+By+C=0，①l關(guān)于x軸對稱的直線是Ax+B（?y）+C=0；②l關(guān)于y軸對稱的直線是A（?x）+By+C=0；③l關(guān)于直線y=x對稱的直線是Bx+Ay+C=0；④l關(guān)于直線y=?x對稱的直線是A（?y）+B（?x）+C=0．十一、圓的標準方程基本要素當圓心的位置與半徑的大小確定后，圓就唯一確定了，因此，確定一個圓的基本要素是圓心和半徑.標準方程圓心為，半徑為r的圓的標準方程是.圖示說明若點在圓上，則點的坐標適合方程；反之，若點的坐標適合方程，則點M在圓上.十二、圓的標準方程的推導(dǎo)如圖，設(shè)圓的圓心坐標為，半徑長為r(其中a,b,r都是常數(shù)，r>0).設(shè)為該圓上任意一點，那么圓心為C的圓就是集合.由兩點間的距離公式，得圓上任意一點M的坐標(x,y)滿足的關(guān)系式為①，①式兩邊平方，得.十三、點與圓的位置關(guān)系圓C：，其圓心為，半徑為，點，設(shè).位置關(guān)系與的大小圖示點P的坐標的特點點在圓外點在圓上點在圓內(nèi)【微點撥】判斷點與圓的位置關(guān)系主要是根據(jù)點到圓心的距離與半徑做比較.十四、圓的一般方程1．圓的一般方程的定義當時，方程表示一個圓，這個方程叫做圓的一般方程，其中圓心為，半徑.2．圓的一般方程的推導(dǎo)把以為圓心，為半徑的圓的標準方程展開，并整理得.取，得：①.把①的左邊配方，并把常數(shù)項移到右邊，得.當且僅當時，方程表示圓，且圓心為，半徑長為；當時，方程只有實數(shù)解，所以它表示一個點；當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．【微點撥】判斷圓存在的相關(guān)條件時需將圓的方程轉(zhuǎn)化為一般式.十五、軌跡和軌跡方程1．軌跡和軌跡方程的定義平面上一動點M，按照一定規(guī)則運動，形成的曲線叫做動點M的軌跡.在坐標系中，這個軌跡可用一個方程表示，這個方程就是軌跡方程.2．求軌跡方程的五個步驟①建系：建立適當?shù)淖鴺讼?，用表示曲線上任意一點M的坐標；②設(shè)點：寫出適合條件的點的集合；③列式：用坐標表示條件，列出方程；④化簡：化方程為最簡形式；⑤査漏、剔假：證明化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點．十六、點與圓的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系是：在圓內(nèi)?，在圓上?，在圓外?.十七、待定系數(shù)法求圓的一般方程求圓的方程常用“待定系數(shù)法”，用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：①根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于或的方程組；③解出或，代入標準方程或一般方程．【微點撥】求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量．確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì)：①圓心在過切點且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．十八、軌跡和軌跡方程1．軌跡和軌跡方程的定義平面上一動點M，按照一定規(guī)則運動，形成的曲線叫做動點M的軌跡.在坐標系中，這個軌跡可用一個方程表示，這個方程就是軌跡方程.2．求軌跡方程的五個步驟①建系：建立適當?shù)淖鴺讼?，用表示曲線上任意一點M的坐標；②設(shè)點：寫出適合條件的點的集合；③列式：用坐標表示條件，列出方程；④化簡：化方程為最簡形式；⑤査漏、剔假：證明化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點．十九、直線與圓的位置關(guān)系及判斷1．直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓相交，有兩個公共點；（2）直線與圓相切，只有一個公共點；（3）直線與圓相離，沒有公共點．2．直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法（1）幾何判定法：設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離：d>r?圓與直線相離；d＝r?圓與直線相切；③d<r?圓與直線相交．（2）代數(shù)判定法：由消元，得到一元二次方程的判別式，則①?直線與圓相交；②?直線與圓相切；③?直線與圓相離.二十、弦長問題設(shè)直線的方程為，圓的方程為，弦長的求法有幾何法和代數(shù)法：（1）幾何法:如圖（1）,直線與圓交于兩點,設(shè)弦心距為,圓的半徑為,弦長為,則有QUOTE|AB|22QUOTE,即QUOTEr2-d2QUOTE.（2）代數(shù)法:如圖（2）,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點分別是,則(直線的斜率存在).幾何法比代數(shù)法運算量小,也比較直觀、簡單,故通常采用幾何法解決圓的有關(guān)弦長問題．二十一、直線與圓相切直線與圓相切的相關(guān)性質(zhì)：（1）直線與圓有且只有一個公共點(2)直線所在的方程與圓所在的方程組成的方程組有且只有一組解.（3）從圓外一點引圓的切線，切線長相等.(4)過切點過圓心的直線與切線垂直.二十二、直線和圓的方程的應(yīng)用直線與圓的方程在實際生活以及平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用,用坐標法解決平面幾何問題的“三步曲”:第一步:建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?用坐標和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步:通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題;第三步:把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.【微點撥】用坐標法解決幾何問題時應(yīng)注意以下幾點：（1）應(yīng)在利于解題的原則下建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，不可隨便建立；（2）在實際問題中，有些量具有一定的限制條件，轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題時要注意取值范圍；（3）最后一定要將代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化成幾何結(jié)論.二十三、圓與圓的位置關(guān)系1．圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種:外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含,如圖所示：外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離；外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.兩圓相離——沒有公共點，兩圓相切——有惟一公共點，兩圓相交——有兩個不同的公共點.2．圓與圓位置關(guān)系的判斷（1）幾何法位置關(guān)系公共點個數(shù)圓心距與半徑的關(guān)系圖示兩圓相離0兩圓內(nèi)含兩圓相交2兩圓內(nèi)切1兩圓外切其中和分別是圓和圓的半徑,.（2）代數(shù)法聯(lián)立兩圓的方程組成方程組,則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下:方程組解的個數(shù)210兩圓的公共點個數(shù)210兩圓的位置關(guān)系相交.外切或內(nèi)切相離或內(nèi)含【微點撥】通過兩圓的位置關(guān)系可以求某待定參數(shù)的值時，要關(guān)注兩圓相離時的外離與內(nèi)含，相切時的內(nèi)切與外切.第3章圓錐曲線的方程知識清單一橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．(1)若a＞c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線段；(3)若a＜c，則集合P為空集．二橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：(0,0)頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a，短軸B1B2的長為2b焦距eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b21．焦半徑：橢圓上的點P(x0，y0)與左(下)焦點F1與右(上)焦點F2之間的線段的長度叫做橢圓的焦半徑，分別記作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.(1)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；(2)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；(3)焦半徑中以長軸為端點的焦半徑最大和最小(近日點與遠日點)．2．焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中(1)當P為短軸端點時，θ最大．(2)S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當|y0|＝b時，即點P為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.(3)焦點三角形的周長為2(a＋c)．3．焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmin＝eq\f(2b2,a).4．AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則(1)弦長l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0). 三雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\