第二節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)主要內(nèi)容

一、傳遞函數(shù)的概念

二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)

三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)引言

控制系統(tǒng)的微分方程：是在時(shí)域描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用及初始條件下，求解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。傳遞函數(shù)：對(duì)線性常微分方程進(jìn)行拉氏變換，得到的系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型為傳遞函數(shù)。

傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，而且可以研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本也是最重要的概念一、傳遞函數(shù)的概念

圖2-4所示的RC電路。

(2.13)

(2.14)消去中間變量i(t)，得到輸入ur(t)與輸出uc(t)之間的線性定常微分方程:(2.15)

圖2-4RC電路

電容的端電壓uc(t)。根據(jù)基爾霍夫定律，可列寫如下微分方程：

現(xiàn)在對(duì)上述微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，令電容上的初始電壓uc(0)=0，得:

(2.16)式中Uc(s)——輸出電uc(t)的拉氏變換；Ur(s)——輸入電壓ur(t)的拉氏變換。

由上式求出Uc(s)的表達(dá)式:

(2.17)

用式(2.67)來(lái)表征電路本身特性，稱做傳遞函數(shù)，記為：式中T=RC。顯然，傳遞函數(shù)G(s)確立了電路輸入電壓與輸出電壓之間的關(guān)系。

傳遞函數(shù)可用圖2-5表示。該圖表明了電路中電壓的傳遞關(guān)系，即輸入電壓Ur(s)，經(jīng)過G(s)的傳遞，得到輸出電壓Uc(s)=G(s)Ur(s)。

傳遞函數(shù)定義：線性（或線性化）定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比稱為傳遞函數(shù)圖2-5傳遞函數(shù)G(S)Ur(S)Uc(S)

若線性定常系統(tǒng)由下述n階微分方程描述：

(2.18)

式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，a0，a1，…an，b0，b1，…，bm是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。

令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始條件為零時(shí)，對(duì)式(2.18)進(jìn)行拉氏變換，可得到s的代數(shù)方程：[ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s)=[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)由傳遞函數(shù)的定義，由式(2.18)描述的線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：式中

M(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0為傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式；D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0為傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式。(2.19)

二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)

從線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的定義式(2.19)可知，傳遞函數(shù)具有以下性質(zhì)：1.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，分子的階數(shù)m低于或等于分母的階數(shù)n（m≤n），且所有系數(shù)均為實(shí)數(shù)。

2.傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)和元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用及初始條件無(wú)關(guān)。

(2.20)

3.傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖也表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。將式(2.19)中分子多項(xiàng)式及分母多項(xiàng)式因式分解后，寫為如下形式：圖2-6

G(s)=零極點(diǎn)分布圖

4.若取式(2.19)中s=0，則：常稱為傳遞系數(shù)（或靜態(tài)放大系數(shù)）。從微分方程式(2.18)看，S=0相當(dāng)于所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)為零，方程蛻變?yōu)殪o態(tài)方程

或b0/a0恰為輸出輸入時(shí)靜態(tài)比值。5.傳遞函數(shù)無(wú)法全面反映信號(hào)傳遞通路中的中間變量。多輸入多輸出系統(tǒng)各變量間的關(guān)系要用傳遞函數(shù)陣表示。

三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)從動(dòng)態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來(lái)看可以分為以下幾種基本環(huán)節(jié)，也就是典型環(huán)節(jié)。

（一）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=K

(2.21)

輸出量與輸入量成正比，比例環(huán)節(jié)又稱為無(wú)慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié)。圖2-7比例環(huán)節(jié)

圖2-7(a)所示為一電位器，輸入量和輸出量關(guān)系如圖2-7(b)所示。

(a)(b)（二）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為如下形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)：

(2.22)

當(dāng)環(huán)節(jié)的輸入量為單位階躍函數(shù)時(shí)，環(huán)節(jié)的輸出量將按指數(shù)曲線上升，具有慣性，如圖2-8(a)所示。式中

K——環(huán)節(jié)的比例系數(shù)；

T——環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。

圖2-8

慣性環(huán)節(jié)

（三）積分環(huán)節(jié)

它的傳遞函數(shù)為:

(2.23)

當(dāng)積分環(huán)節(jié)的輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，則輸出為t/T，它隨著時(shí)間直線增長(zhǎng)。T稱為積分時(shí)間常數(shù)。T很大時(shí)慣性環(huán)節(jié)的作用就近似一個(gè)積分環(huán)節(jié)。圖2-9(b)為積分調(diào)節(jié)器。積分時(shí)間常數(shù)為RC。

圖2-9

積分環(huán)節(jié)（四）微分環(huán)節(jié)

理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為:G(s)=Ts

(2.24)

輸入是單位階躍函數(shù)1(t)時(shí)，理想微分環(huán)節(jié)的輸出為c(t)=Td(t)，是個(gè)脈沖函數(shù)。

在實(shí)際系統(tǒng)中，微分環(huán)節(jié)常帶有慣性，它的傳遞函數(shù)為：

理想微分環(huán)節(jié)示于圖2-10(a)微分運(yùn)算放大器。(2.25)

它由理想微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成，如圖2-10(b)所示。在低頻時(shí)近似為理想微分環(huán)節(jié)，否則就有式(2.25)的傳遞函數(shù)。圖2-10

微分環(huán)節(jié)（a）(b)（五）振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

(2.26)式中wn

---無(wú)阻尼自然振蕩頻率，wn=1/T；z——阻尼比，0＜z＜1。圖2-11所示為單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)曲線。圖2-11

振蕩環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線

（六）延滯環(huán)節(jié)

延滯環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)，t稱為延滯時(shí)間（又稱死時(shí)）。具有延滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)叫做延滯系統(tǒng)。如圖2-12所示，當(dāng)輸入為階躍信號(hào)，輸出要隔一定時(shí)間t

后才出現(xiàn)階躍信號(hào)，在0＜1＜t內(nèi)，輸出為零。圖2-12延滯環(huán)節(jié)

延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可求之如下：c(t)=r(t－t)其拉氏變換為:式中x=t-t，所以延滯環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)具有延滯環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，延滯越大，影響越大。(2.27)(七)串聯(lián)環(huán)節(jié)等效傳遞函數(shù)的求取相互間無(wú)負(fù)載效應(yīng)的環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，串聯(lián)后的等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于每個(gè)環(huán)節(jié)空載時(shí)傳遞函數(shù)的乘積。如圖2-13兩環(huán)節(jié)串聯(lián)（2.28）X1(S)X2(S)X3(S)圖2-13串聯(lián)環(huán)節(jié)的方框圖G1(S)G2(S)（八）同向并聯(lián)環(huán)節(jié)等效傳遞函數(shù)的求取環(huán)節(jié)同向并聯(lián)時(shí)，并聯(lián)后的等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各個(gè)同向并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和，如圖2-14G1(S)G2(S)X1(S)X2(S)X3(S)X4(S)++圖2-14同向并聯(lián)環(huán)節(jié)方框圖傳遞函數(shù)：（九）反饋回路傳遞函數(shù)的求取G1(S)G2(S)X1(S)X2(S)Y(S)E(S)+-圖2-15反饋回路方框圖反饋回路方框圖如圖2-15傳遞函數(shù)：正反饋回路：G1G2G1G2G1G2GHG1G2幾種傳遞函數(shù)的等效關(guān)系：四、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)方框圖如圖2-16所示圖中:R(S)為控制信號(hào)，F(xiàn)(S)為擾動(dòng)信號(hào)，C(S)為被控信號(hào)，為偏差信號(hào)的拉氏變換。G1(S)、G2(S)、H(S)為前向通道和反饋通道的傳遞函數(shù)--圖2-16控制系統(tǒng)方框圖Y(S)X1(S)X2(S)求得被控信號(hào)對(duì)于控制信號(hào)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：其中被控信號(hào)對(duì)于擾動(dòng)信號(hào)的閉環(huán)傳遞函數(shù):偏差信號(hào)對(duì)于控制信號(hào)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：反饋系統(tǒng)的特征方程：第三節(jié)

控制系統(tǒng)方框圖及其簡(jiǎn)化提綱：

一

、控制系統(tǒng)的方框圖

二、控制系統(tǒng)方框圖的簡(jiǎn)化引言：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，需要對(duì)微分方程組或經(jīng)拉氏變換后的代數(shù)方程組進(jìn)行消元。而采用方框圖（結(jié)構(gòu)圖）或信號(hào)流圖，更便于求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，還能直觀地表明輸入信號(hào)以及各中間變量在系統(tǒng)中的傳遞過程。因此，方框圖和信號(hào)流圖作為一種數(shù)學(xué)模型，在控制理論中得到了廣泛的應(yīng)用。一

、控制系統(tǒng)的方框圖定義

定義：應(yīng)用函數(shù)方框?qū)⒖刂葡到y(tǒng)的全部變量聯(lián)系起來(lái)以描述信號(hào)在系統(tǒng)中流通過程的圖示，稱控制系統(tǒng)方框圖。方框圖也是系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，它實(shí)際上是數(shù)學(xué)模型的圖解化?？刂葡到y(tǒng)可用函數(shù)方框、相加點(diǎn)、分支點(diǎn)構(gòu)成的方框圖表示，如圖2-17。圖2-17反饋系統(tǒng)方框圖G1(S)G2(S)R(S)C(S)Y(S)E(S)+-相加點(diǎn)方框分支點(diǎn)相加點(diǎn)：對(duì)信號(hào)求和的點(diǎn)；分支點(diǎn)：一個(gè)信號(hào)同時(shí)進(jìn)入兩個(gè)以上方框或相加點(diǎn)時(shí)的分離點(diǎn)。

箭頭表示信號(hào)傳遞方向。二、寫出組成系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程

求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，畫出個(gè)體方框圖

從相加點(diǎn)入手，按信號(hào)流向依次連接成整體方框圖，即系統(tǒng)方框圖

繪制方框圖的步驟舉例：畫出圖2-18RC網(wǎng)絡(luò)運(yùn)動(dòng)特性的方框圖。

圖2-18，RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程式為:對(duì)上面二式進(jìn)行拉氏變換，得:

圖2-18RC網(wǎng)絡(luò)

(2.29)(2.31)將式(2.29)表示成:(2.30)1/R1/CS-U1(S)+U2(S)I(S)U2(S)1/R-U1(S)+U2(S)I(S)1/CSI(S)U2(S)由式和式畫出相應(yīng)函數(shù)方框，如圖2-18（a）和（b）所示，最后，按信號(hào)流向?qū)⑸狭袃珊瘮?shù)方框連接起來(lái)，畫出相加點(diǎn)和分支點(diǎn)即得圖（c）的描述RC電路運(yùn)動(dòng)特性的方框圖。（a）（b）（c）圖2-18

RC電路運(yùn)動(dòng)特性的方框圖1．分支點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)則根據(jù)分支點(diǎn)移動(dòng)前后所得的分支信號(hào)保持不變的等效原則，可將分支點(diǎn)順著信號(hào)流向或逆著信號(hào)流向移動(dòng)。（1）前移三、方框圖化簡(jiǎn)規(guī)則圖2-19分支點(diǎn)前向移動(dòng)（2）后移圖2-20分支點(diǎn)后向移動(dòng)2．相加點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則（1）前移圖2-21相加點(diǎn)前移（2）后移圖2-21相加點(diǎn)后移相加點(diǎn)移動(dòng)前后，分出支路信號(hào)保持不變。結(jié)論：相加點(diǎn)前移時(shí)，必須在移動(dòng)的相加支路中，串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的函數(shù)方框；相加點(diǎn)后移時(shí)，必須在移動(dòng)的相加支路中，串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框。分支點(diǎn)移動(dòng)前后，分支路信號(hào)是保持不變的。結(jié)論：分支點(diǎn)前移時(shí)，必須在分出支路串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框；分支點(diǎn)后移時(shí)，必須在分出支路串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的函數(shù)方框。3．等效單位反饋?zhàn)儞Q規(guī)則

圖2-22等效單位反饋?zhàn)儞QG2(S)G1(S)++R(S)C(S)R(s)1G2(S)G2(S)G1(S)++C(S)4、同向并聯(lián)環(huán)節(jié)易位圖2-23同向并聯(lián)環(huán)節(jié)易位4．交換或合并比較點(diǎn)原則圖2-24交換、合并比較點(diǎn)應(yīng)用方框圖簡(jiǎn)化基本規(guī)則簡(jiǎn)化后所得最簡(jiǎn)形式，可根據(jù)下列兩項(xiàng)要求檢驗(yàn)簡(jiǎn)化的正確性：（1）前向通道中傳遞函數(shù)的乘積保持不變；（2）反饋回路中傳遞函數(shù)的乘積保持不變。簡(jiǎn)化方框圖求總傳遞函數(shù)的一般步驟1、確定系統(tǒng)輸入和輸出量，若有多個(gè)輸入量（作用在不同位置），則必須分別對(duì)每個(gè)輸入量逐個(gè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換，求得各自的傳遞函數(shù)。對(duì)于多個(gè)輸出量的情況也應(yīng)分別變換。2、若方框圖中有交叉關(guān)系，應(yīng)運(yùn)用等效變換法則先將交叉消除，化為無(wú)交叉的多回路結(jié)構(gòu)。3、對(duì)于多回路結(jié)構(gòu)，可由里向外進(jìn)行變換，直至變換為一個(gè)等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)。例：圖2-25電路，試?yán)L制其方框圖，并通過等效簡(jiǎn)化求取傳遞函數(shù)U2(S)/U1(S)

1R2RR3R4i1i2i3i4C3U1U2C1C2U3U4圖2-25電路圖圖2-26模擬控制器電路圖例：圖2-26是一個(gè)模擬控制器的電路示意圖。1）建立該控制器的結(jié)構(gòu)圖；2）求閉環(huán)傳遞函數(shù)Uc(s)/Ur(s)；3）當(dāng)R1=R2=R3=R4=100KΩ；；輸入，求的穩(wěn)態(tài)輸出。

例：

簡(jiǎn)化圖2-27所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)GB(s)〔即C(s)/R(s)〕。圖2-27多回路系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：

將綜合點(diǎn)后移，然后交換綜合點(diǎn)的位置，將圖2-27化為圖2-28(a)。然后，對(duì)圖2-28(a)中由G2，G3，H2組成的小回路實(shí)行串聯(lián)及反饋?zhàn)儞Q，進(jìn)而簡(jiǎn)化為圖2-28(b)。圖2-28圖2-27系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的變換第四節(jié)控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖（一）信號(hào)流圖的定義信號(hào)流圖中節(jié)點(diǎn)代表系統(tǒng)變量（或信號(hào)），兩節(jié)點(diǎn)間用標(biāo)明信號(hào)流向的定向線段連接，其上標(biāo)出兩變量間的傳遞函數(shù)。信號(hào)流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。下面介紹幾個(gè)常用術(shù)語(yǔ)：

x1x2x3x3x4a11輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）混合節(jié)點(diǎn)回路輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）輸出節(jié)點(diǎn)（肼點(diǎn)）圖2-29信號(hào)流圖一、控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖

（1）節(jié)點(diǎn)：表示變量或信號(hào)的點(diǎn)稱節(jié)點(diǎn)，用符號(hào)“”表示。（2）傳輸：兩節(jié)點(diǎn)間的增益或傳遞函數(shù)稱傳輸。（3）支路：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)并標(biāo)有信號(hào)流向的定向線段稱支路，支路的增益是傳輸。（4）輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）：只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸入節(jié)點(diǎn)。它一般表示系統(tǒng)的輸入變量。（5）輸出節(jié)點(diǎn)（肼點(diǎn)）：只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸出節(jié)點(diǎn)。它一般表示系統(tǒng)的輸出變量。（6）混合節(jié)點(diǎn)

既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為混合節(jié)點(diǎn)。x1x2x3x3x4a11輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）混合節(jié)點(diǎn)回路輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）輸出節(jié)點(diǎn)（肼點(diǎn)）圖2-29信號(hào)流圖（7）通路

從某一節(jié)點(diǎn)開始沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連支路到另一節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的路徑稱為通路。通路中各支路增益的乘積叫做通路增益。有開通路和閉通路兩種。（8）前向通路

是指從輸入節(jié)點(diǎn)開始并終止于輸出節(jié)點(diǎn)且與其它節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路。該通路的各增益乘積稱為前向通路增益。（9）回路

通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，并且與任何其它節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路稱為回路?；芈分懈髦吩鲆娴某朔e稱為回路增益。（10）不接觸回路一信號(hào)流圖有多個(gè)回路，各回路之間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)，則稱為不接觸回路，反之稱為接觸回路。x1x2x3x3x4a11輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）混合節(jié)點(diǎn)回路輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）輸出節(jié)點(diǎn)（肼點(diǎn)）圖2-29信號(hào)流圖（二）信號(hào)流圖的繪制方法信號(hào)流圖可以根據(jù)系統(tǒng)微分方程繪制，也可以由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖按照對(duì)應(yīng)關(guān)系得出。1、根據(jù)微分方程繪制例：已知某控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的拉氏變換為：其中：、分別為系統(tǒng)輸入、輸出信號(hào)的拉氏變換。2、根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖

圖2-30多回路系統(tǒng)x1x2x3x4x5x6x7

（三）用梅森(S.J.Mason)公式求傳遞函數(shù)借助于梅遜公式，不經(jīng)任何結(jié)構(gòu)變換，便可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

計(jì)算信號(hào)流圖輸入輸出節(jié)點(diǎn)間總增益的梅森公式的表達(dá)式為：P=P,G(s)為待求的總傳遞函數(shù)（總增益）。(2.32)式中Δ——稱為信號(hào)流圖的特征式，且(2.33)

n——從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)所有前向通路的條數(shù)；Pk——從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)第k條前向通路的增益；Dk——在Δ中，將與第k條前向通路相接觸的回路除去后所余下的部分的特征式，稱為第k條前向通路特征式的余子式；

∑Li——所有各回路的回路增益之和；∑LiLj——所有兩兩互不接觸回路的回路增益乘積之和；∑LiLjLk——所有三個(gè)互不接觸回路的增益乘積之和；在回路增益中應(yīng)包含代表反饋極性的正、負(fù)符號(hào)。

圖2-30（b）中共有四個(gè)回路，故：

四個(gè)回路中，只有Ⅱ、Ⅲ回路互不接觸，沒有重合的部分。

而故可得特征式：

圖2-30（b）中只有一條前向通路，故P1=G1G2G3G4G5G6由于所有回路均與前向通路相接觸，故余子式D1=1。

圖2-30（b）系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)為：圖2-31系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例：求圖2-31所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解:

回路有四個(gè)：L1=-G1G2H1，L2=-G2G3H2，

L3=-G1G2G3，L4=-G1G4?；芈分蠰2與L4不接觸，L2L4=（-G2G3H2）（-G1G4）因而特征式：

D=1-L1-L2-L3-L4+L2L4

=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G1G2G3G4H2有兩條前向通路，故k=2。P1=G1G2G3，與每個(gè)回路均有接觸，P1的余子式Δ1=1；P2=G1G4，與回路L2=-G2G3H2不接觸，P2