上次課內(nèi)容回顧第8章結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與穩(wěn)定逆迭代法行列式搜索法二、子空間迭代法§8.5行列式搜索法和子空間迭代法子空間迭代法是求解大型特征值問(wèn)題低階特征對(duì)的有效方法。它實(shí)質(zhì)上是Rayleigh-Ritz方法和逆迭代方法的組合。1.Rayleigh-Ritz法（1）Rayleigh商及其極值原理{x}是n維空間的任意一個(gè)非零向量，則稱(chēng)為Rayleigh商Rayleigh商極值原理當(dāng){x}等于廣義特征值問(wèn)題的某一特征向量時(shí)，Rayleigh商達(dá)到它的一個(gè)極值。證明：將任意非零向量{x}表示成以特征向量為基向量的線(xiàn)性組合注意到,得Rayleigh商為當(dāng)Rayleigh商取極值時(shí)有利用二次型對(duì)向量求偏導(dǎo)的法則上式表明：當(dāng){x}等于某一個(gè)特征向量時(shí)，Rayleigh商達(dá)到極值。（2）Rayleigh-Ritz解法解法特點(diǎn)：將一個(gè)n維空間的問(wèn)題化為一個(gè)維數(shù)較低的q維空間的問(wèn)題求導(dǎo)近似解若要求系統(tǒng)的前p階特征對(duì)，則先選取q≥p個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的n維向量｛yi｝，i＝1，2，…，q，令｛x｝為這些向量的線(xiàn)性組合，有由Rayleigh商得R(｛x｝)取極小的必要條件是若記K*=YTKY，M*=YTMY，則K*，M*均為q×q階方陣，稱(chēng)為原來(lái)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的在q維子空間的投影。利用二次型對(duì)向量求偏導(dǎo)的法則，得：即因此由于同時(shí)，還可得到原問(wèn)題的q個(gè)子空間的特征向量而且計(jì)算出的特征值是原問(wèn)題特征值的上界，即：這是個(gè)q階的廣義特征值問(wèn)題，所得的特征值是原問(wèn)題的特征方程的近似值。｛α｝稱(chēng)為Ritz坐標(biāo)向量由上節(jié)討論知道，逆迭代法可以使迭代向量向最低階特征向量靠近。利用這一點(diǎn)，把逆迭代法和Rayleigh-Ritz法相結(jié)合，交替使用逆迭代法和Rayleigh-Ritz法，即用逆迭代中的初始向量組作為Ritz基向量，利用Rayleigh-Ritz法在子空間中求解低階廣義特征值問(wèn)題，再用子空間中的特征向量作為Ritz基的坐標(biāo)，得到一組新的Ritz基向量，即迭代向量。不斷改善Ritz向量基，使得Ritz基向量空間不斷向原問(wèn)題的q階向量空間靠攏，從而求得越來(lái)越精確的解，這就是子空間迭代法的基本思想。2.子空間迭代法子空間迭代法步驟：（1）為了避免丟根，如果計(jì)算p個(gè)特征對(duì)，則選取q個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的初始迭代向量，這里q大于p，一般可取q=min(2p,p+8)，它們構(gòu)成n×q階矩陣X0，為了敘述方便，這里寫(xiě)出的是第k步到第k+1步的迭代計(jì)算過(guò)程，由迭代式（2）形成子空間投影矩陣和解出（3）求解子空間特征問(wèn)題可用廣義雅可比法解出全部的q個(gè)特征值q個(gè)特征向量其中，ρk+1

i（i=1，2，…，q）即是原系統(tǒng)的前q個(gè)特征值的近似值，計(jì)算即為原系統(tǒng)的前q個(gè)特征向量的近似值。（4）作收斂性判斷。若則停止迭代，否則，以Xk+1作為新的迭代向量回到步驟（1）進(jìn)行下一次迭代。注意：新的近似的特征向量，也就是改進(jìn)的新Ritz基向量滿(mǎn)足因此，Xk+1可作為新的迭代向量矩陣，而且當(dāng)k→∞時(shí)，有：在上面的步驟中，每一次迭代都要解q個(gè)線(xiàn)性方程組，求q個(gè)子空間特征對(duì)。同樣，迭代初向量X0=[(x1)0,(x2)0,(x3)0,…,(xq)0]的選擇是否恰當(dāng)，直接影響迭代次數(shù)和結(jié)果的精度。如何選??？例如，選取[M]的對(duì)角元素作為(x1)0的向量元素，其他的(xi)0,(i=2,3,…,q)向量元素，依次在Mjj/Kjj(i=1,2,,…,n)的最大，次大，第三大…的行號(hào)上取1，余下元素全部取零的的單位向量作業(yè)：閱讀并調(diào)試教材中給出的子空間迭代法程序，或閱讀并調(diào)試從其他參考書(shū)給出的子空間迭代程序，給出算例。

Lanczos方法目前被認(rèn)為是求解大型矩陣特征值問(wèn)題的最有效方法，與子空間迭代法相比，其計(jì)算量要少得多。

Lanczos方法用于標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)Lanczos法，用于廣義特征值問(wèn)題稱(chēng)為廣義Lanczos法。

補(bǔ)充：Lanczos方法（1）標(biāo)準(zhǔn)Lanczos法

設(shè)標(biāo)準(zhǔn)特征值問(wèn)題其中：K為n×n階矩陣。首先選取適當(dāng)?shù)某跏嫉蛄浚鸘1｝，且｛U1｝T｛U1｝=1計(jì)算其中，這里，k=1,2,…,m-1≤n；‖

‖

2為2范數(shù)。于是得求解此矩陣的特征值，就是K的m個(gè)最高階特征值。（2）廣義逆Lanczos法

廣義逆Lanczos法的運(yùn)算過(guò)程，基本上與標(biāo)準(zhǔn)方法相同。設(shè)廣義特征值問(wèn)題其中K為n×n階實(shí)對(duì)稱(chēng)正定陣，M為對(duì)稱(chēng)陣。選取適當(dāng)?shù)某跏枷蛄縶U1}，且{U1}TM{U1}=1，計(jì)算令β1=1，作（1）（2）（3）這里，k=1,2,…,m。當(dāng)k＝m時(shí)，作完第（1）步，即求出αm就停止迭代，于是得到全部的αk和βk就構(gòu)成的