第三篇電磁場變化的電磁與電磁波Electromagnaticfield第七章1

1819年奧斯特通過實驗發(fā)現了電流的磁效應。人們自然想到:電流既然能夠產生磁場,那么,能否利用磁效應來產生電流呢?從1822年起,法拉第就開始對這個問題進行有目的的實驗研究。經過多次的失敗,終于在1831年取得突破性進展,發(fā)現了電磁感應現象及其基本規(guī)律。電磁感應現象的發(fā)現,不僅深刻地揭示了電和磁之間的內在聯系,進一步推動了電磁理論的發(fā)展,而且在生產技術上具有劃時代的意義。根據電磁感應原理,人們設計了發(fā)電機、感應電動機和變壓器等電力設備,為現代大規(guī)模生產、傳輸和使用電能開辟了道路,成為第二次工業(yè)革命的開端。2§7-1電磁感應的基本定律

首先介紹幾種簡單的電磁感應現象。IiIi

共同點：當一個閉合回路面積上的磁通量發(fā)生變化時，回路中便產生感應電流。這就是電磁感應現象。下面我們來研究感應電流方向和大小。I(t)Ii31.楞次定律

閉合導體回路中感應電流的方向,總是企圖使它自身產生的通過回路面積的磁通量,去反抗引起感應電流的磁通量的改變。這一結論叫做楞次定律。反抗的意思是：

感應電流Ii與原磁場B的反方向成右手螺旋關系。BIiBIi

若m增加,感應電流的磁力線與B反向;

若m減少,感應電流的磁力線與B同向;

感應電流Ii與原磁場B的正方向成右手螺旋關系。4企圖

感應電流總是企圖用它產生的磁通,去反抗原磁通的改變，但又無法阻止原磁通的變化，因而感應電流還是不斷地產生。楞次定律是能量守恒定律的必然結果。要想維持回路中電流，必須有外力不斷作功。這符合能量守恒定律。

則不需外力作功，導線便會自動運動下去，從而不斷獲得電能。這顯然違背能量守恒定律。按楞次定律，如果把楞次定律中的“反抗”改為“助長”，52.法拉第電磁感應定律

法拉第從實驗中總結出回路中的感應電動勢為

(1)m

是通過回路面積的磁通量；“-”的意義：負號是楞次定律的數學表示。對勻強磁場中的平面線圈：(2)用法拉第電磁感應定律解題的步驟如下：(i)首先求出回路面積上的磁通量(取正值)：(ii)求導：6用楞次定律或如下符號法則判定感應電動勢的方向:

若i>0,則i的方向與原磁場的正方向組成右手螺旋關系；若i<0,則i的方向與原磁場的負方向組成右手螺旋關系。i

例如:m，

由符號法則，i的方向與原磁場的負方向組成右手螺旋關系。這顯然和由楞次定律的結果一致。7

應當指出，只要一個回路中的磁通量發(fā)生變化，這個回路中便一定有感應電動勢存在，這和回路由什么材料組成無關。是否有感應電流，那就要看回路是否閉合。(3)若回路線圈有面積相同的N匝，則

Nm稱為線圈的磁通鏈。因此上式的意義是：線圈中的感應電動勢等于該線圈的磁通鏈對時間的一階導數。8

(5)設在t1和t2兩個時刻,通過回路所圍面積的磁通量分別為1和2,則在t1→t2這段時間內,通過回路任一截面的感應電量為即

(4)如果閉合回路的總電阻為R,則回路中的感應電流9

例題7-1一圓線圈有100匝，通過線圈面積上的磁通量m=8×10-5sin100t(wb),如圖所示。求t=0.01s時圓線圈內感應電動勢的大小和方向。i

解=-0.8cos100t代入t=0.01,得i=0.8=2.51(v)也可由楞次定律確定方向：因t=0.01s時，函數sin100t是減小的，所以通過線圈面積上的磁通量m也是減小的。

由于i>0,i的方向與原磁場的正方向組成右手螺旋關系,即順時針方向。由楞次定律可知，此時圓線圈內感應電動勢的方向應是順時針的。10

例題7-2一長直螺線管橫截面的半徑為a,單位長度上密繞了n匝線圈，通以電流I=Iocost(Io、為常量)。一半徑為b、電阻為R的單匝圓形線圈套在螺線管上，如圖所示。求圓線圈中的感應電動勢和感應電流。

解由m=BScos得m=μonI·b2a2BIab如果b<a,結果怎樣？11

解應當注意，對勻速轉動的線圈：

m=BScos

(1)一矩形線圈(a×b)在勻強磁場中轉動，t=0時如圖10-4所示。m=Babcos(t+)

例題7-3一面積為S、匝數為N的平面線圈，以角速度在勻強磁場B中勻速轉動;轉軸在線圈平面內且與B垂直。求線圈中的感應電動勢。=BScos(t+o)式中o為t=0時磁場B與線圈法線方向的夾角。

Bab=Babcost=Babsin(t+)12

我們連接bd組成一個三角形回路bcd。m=BScos(t+o)

由于bd段不產生電動勢，所以回路(

bcd)中的電動勢就是導線bcd中電動勢的。

(2)一導線彎成角形(bcd=60o,bc=cd=a)，在勻強磁場B中繞oo′軸轉動，轉速每分種n轉,t=0時如圖所示，求導線bcd中的i。cBoo′bd13對轉動的線圈：本題中的磁場是勻強磁場嗎？是！m=BScos(t+o)=-BoScos2t=Bosint.Scost

(3)面積為S的平面單匝線圈,以角速度在磁場B=Bosint

k(Bo

和為常量)中作勻速轉動。轉軸在線圈平面內且與B垂直，t=0時線圈的法線與k同向，求線圈中的感應電動勢。14

例題7-4長直導線中通有電流I=Iocost(Io和為常量)。有一與之共面的三角形線圈ABC,已知AB=a,BC=b。若線圈以垂直于導線方向的速度向右平移,當B點與長直導線的距離為x時,求線圈ABC中的感應電動勢。

解先求磁通：

將三角形沿豎直方向分為若干寬為dr的矩形積分。tg=a/bm=xbABCaIdrr15,I=Iocost,x(t),xbABCaIdrr16

例題7-5如圖所示，兩條平行長直導線和一個矩形導線框共面，且導線框的一條邊與長直導線平行，到兩長直導線的距離分別為r1和r2。已知兩導線中的電流都為I=Iosint(其中Io和均為常量),導線框長為a寬為b,求導線框中的感應電動勢。r1r2abIIdrr

解先求磁通。adrm=17,I=Iosint18

例題7-6一長圓柱狀磁場，磁場方向沿軸線并垂直圖面向里，如圖所示。磁場大小既隨到軸線的距離r成正比,又隨時間t作正弦變化,即:B=Borsint,Bo和均為常量。若在磁場內放一半徑為R的金屬圓環(huán)，環(huán)心在圓柱狀磁場的軸線上，求金屬環(huán)中的感應電動勢。

解

RdrRr19

例題7-7如圖所示，在馬蹄形磁鐵的中間A點處放置一半徑r=1cm、匝數N=10匝、電阻R=10的小線圈，且線圈平面法線平行于A點的磁感應強度。今將此線圈移到足夠遠處，在這期間若線圈中流過的總電量Q=×10-6C，

試求A點出的磁感應強度。

解始末磁通鏈為可得NS1=NBr2=RQ由公式1=NBr2，2=0所以20§7-2動生電動勢

1.現象

導體在磁場中運動并切割磁力線時，導體中便產生電動勢—動生電動勢。

按原因不同，感應電動勢可分為四種：感生電動勢動生電動勢自感電動勢互感電動勢

2.原因：運動電荷受洛侖茲力作用。

abB--++21

電子所受的洛侖茲力可用一個非靜電性電場來等效，即3.計算公式

按電動勢的定義：或(方向由a到b)abB--++dr.)dr得22計算步驟：(2)解由得若i>0,則i的方向與dl同向；若i<0,則i的方向與dl反向。dr

(1)首先規(guī)定一個沿導線的積分方向(即dl的方向

)。

例題7-8一長l的直導線以恒定的速度

在勻強磁場B中平移，求導線中的動生電動勢。drabB--++dl23

(2)任意形狀的導線在勻強磁場中平移時，abBdll

在勻強磁場中,彎曲導線平移時所產生的動生電動勢等于從起點到終點的直導線所產生的動生電動勢。=Bl因i>0,所以i的方向與l同向,即由a到b。

(1)三垂直(B直導線l)。drabB--++l首先規(guī)定l的方向由a到b，如圖所示。24ab=bc=l,求ua-uc=?

dabc=adc=ad=Bl(1-cos)

電動勢的方向由c指向a;a點比c點電勢高。所以ua-uc=Bl(1-cos)如果向右運動，則ua-uc=Blsin例：導線在勻強磁場中運動，

B。abcab=BlBablbc=Bl,cbcos,bacua-uc=Bl(1-cos)abc25求ua-ub=?ua-ub=ab=ab=45o45oRbaoab26

例7-9如圖所示，均勻磁場被限制在兩平面之間，一邊長為l的正方形線圈勻速自左側無場區(qū)進入均勻磁場又穿出，進入右側的無場區(qū)。下列圖形中哪一個符合線圈中的電流隨時間的變化關系？(設逆時針為電流的正方向，不計線圈的自感)(D)當線圈各邊都在磁場中時，ua-ub=問題：ab+BlIto(A)Ito(C)Ito(B)Ito(D)27

解:=

負號說明：i的方向由p指向o，o點電勢高。請記住這個轉動公式:

例題7-10一條金屬細直棒op(長為l)繞o點以角速度在垂直于勻強磁場B的平面內勻速轉動,求uo-up=?)opBxdx28Ao=l1,oC=l2uA-uC=ACo若l1>l2,

則A點電勢高；若l1<l2,

則C點電勢高。棒op=l,繞豎直軸oo轉動。uo-up=op=op=op的方向由o指向p。BACooopBl29

例題7-11一長直電流I與直導線AB(AB=l)共面，如圖所示。AB以速度沿垂直于長直電流I的方向向右運動，求圖示位置時導線AB中的動生電動勢。IABd解,(dlsin=dr)AB=由于AB>0,所以AB的方向由A指向B，B點電勢高。dlcos)dlr30

i=BlIi

例題7-12有一很長的長方的U形導軌,與水平面成角,裸導線ab可在導軌上無摩擦地下滑,導軌位于磁感應強度為B的垂直向上的均勻磁場中,如圖所示。設導線ab的質量為m,長度為l,導軌上串接有一電阻R，導軌和導線ab的電阻略去不計,abcd形成電路,t=0,=0;試求:導線ab下滑的速度與時間t的函數關系。

解導線ab在安培力和重力作用下，沿導軌斜面運動。cosRabcdB知:由31Fm=IilB

沿斜面方向應用牛頓第二定律：-dtIiRabcdB×BmgFm32-dt由

t=0,=0,得C2=-gsin33

導體不動,磁場隨時間變化,導體中便產生感應電動勢—感生電動勢。

§7-3感生電動勢

渦旋電場1.現象2.原因

當螺線管中電流發(fā)生變化，引起螺線管中的磁場變化時，套在外邊的圓環(huán)中便產生電動勢。

是什么力驅使導線中的電荷運動，從而產生電動勢呢？不是靜電力。也不是洛侖茲力。BIab34

麥克斯韋的這個假設已為實踐所證實，是麥克斯韋電磁理論的基本原理之一。

麥克斯韋認為：變化的磁場要在其周圍的空間激發(fā)一種電場,叫做感生電場(渦旋電場)E(2)。

圓環(huán)導線中的感生電動勢正是感生電場對自由電子作用的結果。

BIab35

靜電場：由電荷產生，是保守力場；電力線起于正電荷，止于負電荷，不形成閉合曲線。

感生電場：由變化的磁場激發(fā)，是非保守力場；其電力線是閉合曲線,故又稱為渦旋電場。

3.計算公式按電動勢的定義：感生電場的方向可用楞次定律來確定。(2)感生電場與靜電場的比較：

(1)感生電場E(2)的電力線是圍繞磁力線的閉合曲線；36

例題7-13一半徑為R的圓柱形空間區(qū)域內存在著由無限長通電螺線管產生的均勻磁場,磁場方向垂直紙面向里，如圖所示。當磁感應強度以dB/dt的變化率均勻減小時,求圓柱形空間區(qū)域內、外各點的感生電場。

由楞次定律判定，感生電場的方向是順時針的，Rr=E(2)·2rr<R:

解由問題的對稱性知，感生電場E(2)的電力線是圍繞磁力線的圓周曲線。

且圓周上各點E(2)

的大小相等。由37r>R:E(2)·2rE(2)·2rr<R:Rr38

解由楞次定律判定，感生電場的方向是逆時針的。

例題7-14一半徑為R的圓柱形空間區(qū)域內存在著均勻磁場,磁場方向垂直紙面向里，如圖所示；磁感應強度以dB/dt的變化率均勻增加。一細棒AB=2R,中點與圓柱形空間相切，求細棒AB中的感生電動勢，并指出哪點電勢高。r>R:

你能完成這個積分嗎？不妨試試。RABordl39

連接oA、oB組成回路。

由楞次定律知，回路電動勢方向為逆時針，因此導線AB中的感生電動勢由A指向B。B點電勢高。

由于oA和oB不產生電動勢,故回路電動勢就是導線AB中的電動勢。=0RABo40o.(填>、<或=)連接oA、oB組成回路,由得知。AB

(2)如圖所示的長直導線中的感生電動勢:o.R問題:圓柱形空間區(qū)域內存在著均勻磁場，(1)對直導線AB和彎曲的導線AB：41

4.電子感應加速器

大型電磁鐵的兩極間安放一個環(huán)形真空室。電磁鐵用強大的交變電流來勵磁,使環(huán)形真空室處于交變的磁場中，從而在環(huán)形室內感應出很強的渦旋電場。用電子槍將電子注入環(huán)形室,它們在洛侖茲力的作用下沿圓形軌道運動，同時又被渦旋電場加速,，能量可達到幾百Mev。這種加速器常用在醫(yī)療、工業(yè)探傷中。42431.自感現象自感系數§10-4自感和互感

現象：由于回路電流變化，引起自已回路的磁通量變化，而在回路中激起感應電動勢的現象叫做自感現象。相應的電動勢叫做自感電動勢。

設回路有N匝線圈，通過線圈面積上的磁通量為m,則通過線圈的磁通鏈數:

式中比例系數L,叫做線圈的自感系數,簡稱自感。Nm=LI

自感系數的大小與線圈的大小、幾何形狀、匝數及周圍磁介質有關。

BINmI44自感電動勢為

如果線圈自感系數L為常量,則

在SI制中,自感L的單位為亨利,簡稱亨(H)。由上可得計算自感系數的方法：Nm=LI45

例題7-15一單層密繞、長為l、截面積為S的長直螺線管,單位長度上的匝數為n,管內充滿磁導率為的均勻磁介質。求該長直螺線管的自感系數。

解設在長直螺線管中通以電流I，則B=

nIm=BS=nIS

Sl=V最后得問題：如何用線繞方法制作純電阻？雙線并繞。46

例題7-16

求同軸電纜單位長度上的自感。解(a<r<b)mIabcIdrr47

例題7-17一矩形截面螺線環(huán)，共N匝，如圖所示，求它的自感。解drr482.互感現象互感系數

現象：由于一個線圈中電流發(fā)生變化而在附近的另外一個線圈中產生感應電動勢的現象叫做互感現象。這種感應電動勢叫做互感電動勢。N221=M1I1N112=M2I2

在非鐵磁介質的情況下,互感系數M與電流無關，僅僅與兩線圈的形狀大小、相對位置及周圍的磁介質有關。在鐵磁質中,M將受線圈中電流的影響。實驗證明，M1=M2=M。比例系數M,叫做兩線圈的互感系數,簡稱互感。12I1B49當M不變時，互感電動勢為：由上可得計算互感系數的方法：計算自感系數的方法：比較！N221=MI1N112=MI250

例題7-18一無限長直導線與一矩形線框在同一平面內，如圖所示。當矩形線框中通以電流I2=Iocost(式中Io和為常量)時，求長直導線中的感應電動勢。解假定長直導線中通以電流I1,則drrcbaI251問題：兩線圈怎樣放置，M=0？drrcbaI2M=052

例題7-19一長直磁棒上繞有自感分別為L1和L2的兩個線圈，如圖所示。在理想耦合的情況下，求它們之間的互感系數。

解設自感L1長l1、N1匝，L2長l2、N2匝，并在L1中通以電流I1。考慮到理想耦合的情況，有1234SL1L253同理，若在L2中通以電流I2，則有前已求出：得1234SL1L2

必須指出,只有在理想耦合的情況下,才有的關系;一般情形時,,而0≤k≤1,k稱為耦合系數,視兩線圈的相對位置而定。54問題：

1.將2、3端相連接，這個線圈的自感是多??？

設線圈中通以電流I，則穿過線圈面積的磁通鏈為

2.將2、4端相連接，這個線圈的自感是多小？1234SL1L21234SL1L255§7-5磁場的能量1.通電線圈中的磁能

當閉合K后,回路方程為電源發(fā)出的總功電源反抗自感的功電阻上的焦耳熱KRL56

電源反抗自感作功過程，也是線圈中磁場的建立的過程?？梢?，電源克服自感電動勢所作的功，就轉化為線圈L中的磁能:2.磁場能量

設螺線管單位長度上n匝，體積為V，其中充滿磁導率為μ的均勻磁介質,L=μn2V,B=μnI=

μH57

因為長直螺線管內磁場是均勻的,所以磁場能量的分布也是均勻的。于是磁場能量密度為上式雖然是從載流長直螺線管為例導出的,但可以證明該式適用于一切磁場(鐵磁質除外)。58

例題7-20一細螺線環(huán)有N=200匝，I=1.25A,通過環(huán)截面積的磁通量m=5×10-4wb,求螺線環(huán)中儲存的磁能。解

=0.125J··························59

例題7-21一根長直同軸電纜由兩個同軸薄圓筒構成,其半徑分別為R1和R2,流有大小相等、方向相反的軸向電流I,兩筒間為真空，如圖所示。試計算電纜單位長度內所儲存的磁能。解(R1<r<R2)也可用計算。IIR2R11drr60

前面講到，變化的磁場激發(fā)電場(渦旋電場)。那么，會不會有相反的情況：變化的電場也會激發(fā)磁場？麥克斯韋在研究了安培環(huán)路定律應用于交流電路中出現的茅盾以后，提出了位移電流的概念，對上述問題作出了圓滿的回答。§7-1位移電流

1.位移電流的概念

在穩(wěn)恒電流條件下,安培環(huán)路定律為式中,I內是穿過以閉合回路l為邊界的任意曲面S的傳導電流的代數和。61

在非穩(wěn)恒的條件下,情況又如何？

I(圓面)0(曲面S)

可見，在非穩(wěn)恒的條件下,式(11-1)所示的安培環(huán)路定律不再適用,必須加以修正。

在圖中，電路是不閉合，電荷沿導線運動，它運動到哪里去了呢？

結果我們發(fā)現，電荷在電容器的極板上堆積起來了。

下面我們來研究導體中的傳導電流和電場變化的關系。而兩極板間出現了電場。kIlES62(q為極板上的電量)

傳導電流強度及電流密度分別為

兩極板間，沒有電荷運動，但有變化的電場：電位移通量e對時間的變化率(極板中的傳導電流強度)(極板中的傳導電流密度)

金屬板中有傳導電流，kIlE+q-q63

如果把電場的變化看作是一種電流，則整個回路的電流就是連續(xù)的了。位移電流密度：位移電流強度：即:電場中某點的位移電流密度等于該點電位移矢量對時間的變化率；通過電場中某面積的位移電流強度等于通過該面積的電位移通量對時間的變化率。

把電場的變化看作是一種電流，這就是麥克斯韋位移電流的概念。麥克斯韋指出：kIlE+q-q64全電流=傳導電流+位移電流。全電流總是連續(xù)的。2.位移電流的磁場

麥克斯韋指出：位移電流(電場的變化)與傳導電流一樣，也要在周圍的空間激發(fā)磁場。

因此,在非穩(wěn)恒情況下,安培環(huán)路定律的一般形式為傳導電流位移電流kIlE+q-q65比較：

位移電流：僅僅意味著電場的變化；可存在于任何介質(包括真空)中；無焦耳熱。

傳導電流：電荷的運動；只存在于導體中；有焦耳熱。66

例題7-22給電容為C的平行板電容器充電，電流i=0.2e-t(SI),t=0時電容器極板上無電荷，求：(1)極板間的電壓；(2)兩板間的位移電流強度。(忽略邊緣效應)解(1)由所以

(2)由全電流的連續(xù)性，得67

例題7-23如圖所示,一電量為q的點電荷,以勻角速度作半徑R的圓周運動。設t=0時，q所在點的坐標為(R,0),求圓心o處的位移電流密度。解

xyRoqt68

例題7-24一圓形極板的平行板電容器,極板半徑R=0.1m,板間為真空。給電容器充電的過程中,板間電場對時間的變化率dE/dt=1.0×1013V/m.s,求:(1)兩板間的位移電流強度；(2)離中心r(r<R)處的磁感應強度。解(1)位移電流密度的大小為R兩板間的位移電流強度：=2.78A

由于E，所以位移電流密度與E的方向相同，即從正極流向負極。69B.2r=μoJd.r2

(2)電流呈柱形分布，磁場方向如圖中的圓周切線。由安培環(huán)路定律得Rr70

例題7-25一圓形極板的真空平行板電容器，板間距離為d，兩極板之間有一長寬分別為a和b的矩形線框,矩形線框的一邊與圓極板的中心軸線重合，如圖所示。兩極板上加上電壓V12=Vocost，求矩形線框的電壓V=?解板間電場：位移電流密度：dV=?ab71B.2r=μoJd.r2V=idV=?abrdr72麥克斯韋在總結前人成就的基礎上,再結合他極富創(chuàng)見的渦旋電場和位移電流的假說,建立起系統(tǒng)完整的電磁場理論,稱為麥克斯韋方程組。在變化電磁場中情況下，

§7-2麥克斯韋方程組靜電場渦旋電場空間任一點的電場：產生電場電荷變化磁場73=qo(自由電荷代數和)(渦旋電場的電力線是閉合曲線)電場的環(huán)流為電場的高斯定理為074