§3.1引出導(dǎo)數(shù)概念的例題§3.2導(dǎo)數(shù)的概念§3.3導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則§3.4高階導(dǎo)數(shù)§3.5函數(shù)的微分第三章導(dǎo)數(shù)與微分§3.4高階導(dǎo)數(shù)或二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)．函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)．相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù)叫做它的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),記作如果導(dǎo)函數(shù)仍是的可導(dǎo)函數(shù)，則稱數(shù)，記作類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)，一般地函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的階導(dǎo)解:例1

求函數(shù)的二階及三階導(dǎo)數(shù)．解:因?yàn)樗岳?求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)．解之得解：方程求導(dǎo)數(shù)，的兩邊同時(shí)對(duì)的二階導(dǎo)數(shù).例3求由方程所確定的隱函數(shù)得§3.1引出導(dǎo)數(shù)概念的例題§3.2導(dǎo)數(shù)的概念§3.3導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則§3.4高階導(dǎo)數(shù)§3.5函數(shù)的微分第三章導(dǎo)數(shù)與微分一、微分的概念二、微分的幾何意義三、微分的基本公式與運(yùn)算法則四、微分的形式不變性五、微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用§3.5函數(shù)的微分

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)關(guān)于自變量變化的快慢程度(變化率)．但在許多情況下，需要考察或者估算函數(shù)改變量的大小，特別是當(dāng)自變量發(fā)生微小變化時(shí)函數(shù)改變量的大小．這就需要引進(jìn)微分的概念．一、微分的概念引例已知正方形的面積其邊長(zhǎng)由變化到是邊長(zhǎng)的函數(shù)若正方形的面積改變的近似面積相應(yīng)的改變量為:如圖中藍(lán)色部分區(qū)域即表示很微小時(shí),當(dāng)問(wèn)正方形的面積改變了多少?值是多少?當(dāng)邊長(zhǎng)由變化到可以把分成兩部分:近似地表示即因此,當(dāng)很少時(shí)，第二部分:(圖中深的線性函數(shù)(圖中天藍(lán)部分)，第一部分:是時(shí)，當(dāng)藍(lán)部分)，是比較高階的無(wú)窮小量,可用

設(shè)函數(shù)yf(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義

x0及x0Dx在這區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)的增量Dyf(x0Dx)f(x0)可表示為DyADxo(Dx)

其中A是不依賴于Dx的常數(shù)o(Dx)是比Dx高階的無(wú)窮小那么稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0是可微的而ADx叫做函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Dx的微分記作dy即dyADx

微分的定義

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)

函數(shù)在點(diǎn)x0的微分一定是dyf

(x0)Dx

可微與可導(dǎo)的關(guān)系:yf(x)在點(diǎn)x0可微DyADxo(Dx)

dy=ADx

這是因?yàn)橐环矫?/p>

另一方面其中a0(當(dāng)Dx0)且A=f(x0)是常數(shù)

aDx

o(Dx)

,

函數(shù)yf(x)在任意點(diǎn)x的微分稱為函數(shù)的微分記作dy或df(x)即dyf

(x)Dx

例如

dcosx(cosx)Dxsinx

Dx

dex(e

x)DxexDx

自變量的微分

因?yàn)楫?dāng)y=x時(shí)

dy=dx=(x)Dx=Dx

所以通常把自變量x的增量Dx稱為自變量的微分記作dx即dxDx

因此函數(shù)yf(x)的微分又可記作

dyf

(x)dx

例1求下列函數(shù)的微分解(1)因?yàn)樗钥梢?函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即是函數(shù)的微分與自變量的微分的商,因此常常把導(dǎo)數(shù)也稱為微商.的關(guān)系.它反映了函數(shù)的微分與其導(dǎo)數(shù)之間到注:對(duì)兩邊同時(shí)除以得解:解之得故例2

已知求

及并把看作的函數(shù),得(2)

方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),二、微分的幾何意義當(dāng)x從x0變到x0+Dx時(shí)Dy是曲線上點(diǎn)M的縱坐所以dy是過(guò)點(diǎn)(x0f(x0))的切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)

當(dāng)|Dx|很小時(shí)|Dydy|比|Dx|小得多因此在點(diǎn)M的鄰近我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段

標(biāo)的增量;而的增量.同時(shí)有根據(jù)定義，函數(shù)微分就是函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量微分之積，所以由導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則得到相應(yīng)的微分基本公式和運(yùn)算法則．

（9）

三、微分的基本公式與運(yùn)算法則d(x

)

x1dx

d(sinx)cosxdx

d(cosx)sinxdx

d(tanx)sec2xdx

d(cotx)csc2xdx

d(secx)secxtanxdx

d(cscx)cscxcotxdx

d(a

x)ax

lnadx

d(e

x)exdx

(x

)

x1

(sinx)cosx

(cosx)sinx(tanx)sec2

x

(cotx)csc2x

(secx)secxtanx

(cscx)cscxcotx

(a

x)ax

lna

(ex)ex微分公式:

導(dǎo)數(shù)公式:

1.基本初等函數(shù)的微分公式

三、微分的基本公式與運(yùn)算法則微分公式:

導(dǎo)數(shù)公式:

2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則公式(uv)uv(Cu)Cu

(uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdu

d(uv)vduudv求導(dǎo)法則

微分法則

所以d(uv)vduudv而udxdu

vdxdv因?yàn)閐(uv)(uvuv)dxuvdxuvdxd(uv)vduudv的證明

四、微分形式的不變性

由此可見，無(wú)論是自變量還是其它變量的函數(shù)，其微分的形式均保持不變．這一性質(zhì)稱為微分形式的不變性．其微分為:設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，當(dāng)是自變量時(shí)，代入上式得而函數(shù)的微分則為復(fù)合函數(shù),且若其微分為例3求解:解:對(duì)方程兩邊求微分,得dxyxdyyxy)2()23(2+=--ydyydxxdyxdxdyy2232+++=所以的微分．例4求由方程所確定的隱函數(shù)例5在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)慕?一般有函數(shù)，使等式成立.

一般有五、微分在近似計(jì)算上的應(yīng)用可以用該式計(jì)算函數(shù)增量的近似值.