1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)收斂的必要條件:習(xí)題課常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂一、主要內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法(1)比較審斂法(2)比較審斂法的極限形式是同階無(wú)窮小特別（等價(jià)無(wú)窮小）3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法Leibniz定理絕對(duì)收斂，條件收斂附：正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂程序發(fā)散NYYNN改用它法Y收斂收斂發(fā)散收斂發(fā)散N發(fā)散YY收斂N用檢比法用比較法用L—準(zhǔn)則或考察部分和NNY條件收斂例1求極限解考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)由檢比法收斂由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得二、典型例題例2設(shè)試證發(fā)散證不妨設(shè)a>0

由極限保號(hào)性知由于故由比較法的極限形式得發(fā)散例3若都發(fā)散則A必發(fā)散B必發(fā)散C必發(fā)散D以上說(shuō)法都不對(duì)例3解根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散．解從而有原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)也發(fā)散．例4解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂．由萊布尼茨定理：所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂．都收斂且例5設(shè)試證收斂證由知因都收斂故正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂再由比較審斂法知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂而即可表為兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)之和故收斂例6設(shè)且若收斂則也收斂證由題設(shè)知而收斂由比較法得收斂Cauchy積分審斂法設(shè)單調(diào)減少則與同斂散例7證由f(x)單調(diào)減少知即故與同斂散例8設(shè)是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列試證明收斂證記則且而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和又單調(diào)增加且有界故由單調(diào)有界原理知存在即收斂進(jìn)而收斂由比較法得收斂設(shè)正數(shù)數(shù)列單調(diào)減少，級(jí)數(shù)發(fā)散考察的斂散性證記由單調(diào)減少故由單調(diào)有界原理知存在且若由Leibniz審斂法得交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂與題設(shè)矛盾由檢根法知收斂例9已知證明⑴⑵⑶由知對(duì)有證⑴例10而收斂故由比較法知收斂⑵由知有而發(fā)散故由比較法知發(fā)散⑶如但討論的斂散性解對(duì)級(jí)數(shù)收斂絕對(duì)收斂發(fā)散發(fā)散分情況說(shuō)明例11級(jí)數(shù)成為收斂發(fā)散級(jí)數(shù)成為絕對(duì)收斂條件收斂例12對(duì)的值，研究一般項(xiàng)為的級(jí)數(shù)的斂散性解由于當(dāng)n充分大時(shí)，定號(hào)故級(jí)數(shù)從某一項(xiàng)以后可視為交錯(cuò)級(jí)數(shù)總有級(jí)數(shù)發(fā)散非增地趨于0由Leibniz審斂法知收斂但而發(fā)散故由比較法的極限形式發(fā)散條件收斂級(jí)數(shù)顯然收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)由級(jí)數(shù)收斂的必要條件要使收斂必須但在一般項(xiàng)趨于0的級(jí)數(shù)中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則更能說(shuō)明問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，使用起來(lái)也更有效的階問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是級(jí)數(shù)收斂與否取決于關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂和作為變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù)作比較，雖然使用起來(lái)較方便但都會(huì)遇到“失效”的情況。這一結(jié)論將許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問(wèn)題歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定注①比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)方可使用的一種估計(jì)②檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件③L—準(zhǔn)則也是充分條件而非必要條件④通項(xiàng)中含