理論力學(xué)第2章平面匯交力系與平面力偶系平面匯交力系和平面力偶系是平面力系中兩種基本力系，它們的理論是研究復(fù)雜力系的基礎(chǔ)。本章將研究平面匯交力系和平面力偶系的合成與平衡問(wèn)題。

2.1平面匯交力系

所謂平面匯交力系，是指各力作用線(xiàn)位于同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)的力系。本節(jié)將用幾何法和解析法研究平面匯交力系的合成和平衡問(wèn)題。設(shè)有作用于剛體上、作用線(xiàn)匯交于一點(diǎn)A的四個(gè)力F1、F2、F3、F4，如圖2-1a所示。

1．平面匯交力系的合成與平衡――幾何法

由力的可傳性和力的三角形法則合成一合力FR，如圖2-1b所示。圖2-1c所示顯示，合力矢與各分力矢的作圖順序無(wú)關(guān)。

上述方法推廣到由n個(gè)力組成的平面匯交力系的情況，得結(jié)論如下：平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線(xiàn)通過(guò)各力作用線(xiàn)的匯交點(diǎn)，其大小和方向可由力矢多邊形的封閉邊來(lái)表示，即等于各力矢的矢量和。矢量式為

FR=F1

+F2

+------+Fn=∑

F(2-1)

各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱(chēng)為力矢多邊形,表示合力矢的邊稱(chēng)為力矢多邊形的封閉邊，用力矢多邊形求合力的幾何作圖規(guī)則稱(chēng)為力的多邊形法則，這種作圖方法稱(chēng)為幾何法。

所以，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：力系中各力矢構(gòu)成的力矢多邊形自行封閉，或各力矢的矢量和等于零。有矢量式為或

根據(jù)封閉的力矢多邊形的幾何關(guān)系，用三角公式求解所需量的方法，稱(chēng)為求解平面匯交力系平衡問(wèn)題的幾何法。

例2-1

門(mén)式剛架如圖2-2a所示。在C點(diǎn)受到力F=30kN作用，不計(jì)剛架自重，求支座A、B的約束力。

解：剛架受三力作用平衡。受力圖如圖2-2b所示。選取適當(dāng)?shù)谋壤撸鞒鲎孕蟹忾]的力矢三角形，三角形的形狀如圖2-2c所示。量得這種方法稱(chēng)為圖解法。

由圖2-2b可知再參考圖2-2c，亦可由三角關(guān)系計(jì)算出2．平面匯交力系的合成與平衡――解析法解析法是建立在力在坐標(biāo)軸上的投影的基礎(chǔ)上，下面對(duì)這一概念加以分析。1）力在直角坐標(biāo)軸上的投影（2-3）

即力在某軸的投影等于力的大小乘以力與坐標(biāo)軸正向間夾角的余弦。力的投影是代數(shù)量正負(fù)看夾角：當(dāng)夾角是銳角時(shí)，力的投影為正；當(dāng)夾角是鈍角時(shí)，為負(fù)。

力的解析表達(dá)式

(2-4)其中i、j分別為x、y軸的單位矢量。

力F的大小和方向余弦分別為

(2-5)2）平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系合成的解析法是以下述合力投影定理為依據(jù)的。

設(shè)有n個(gè)力組成的平面匯交力系匯交于O點(diǎn)，在O點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系oxy，如圖2-4a所示。

由平面匯交力系合成的幾何法，已得出由合力和力系中各力在x、y軸上的投影比較二式等式兩邊，可得（2-6）

合力的大小和方向（2-7）

由式（2-6）得合力投影定理：合力在某軸上的投影，等于其分力在同一軸上的投影的代數(shù)和。

解：建立直角坐標(biāo)系Oxy，合力在坐標(biāo)軸上的投影為上述投影定理不光對(duì)力矢適應(yīng)，對(duì)其它矢量也同樣適應(yīng)，那么相應(yīng)的矢量投影定理可表示為：

合矢量在某軸上的投影，等于其分矢量在同一軸上的投影的代數(shù)和。

例2-2

剛體受匯交于一點(diǎn)O的四個(gè)力作用，各力大小分別為F1=2kN，F(xiàn)2=3kN，F(xiàn)3=1kN，F(xiàn)4=2.5kN，方向如圖2-5所示。試求合力的大小和方向

。合力的大小方向余弦為則合力與x、y軸的夾角分別為合力作用線(xiàn)過(guò)匯交點(diǎn)O。3）平面匯交力系平衡的解析法從前面知道，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力等于零。由式（2-7），則有亦即

（2-8）

平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在各個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。式（2-8）稱(chēng)為平面匯交力系的平衡方程。這是兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量。

例2-3

將例2-1用解析法求解。

解：建立直角坐標(biāo)Axy（圖2-6），列出平面匯交力系的平衡方程，有，，

其中

算出

例2-4

簡(jiǎn)易起重機(jī)吊起重量W=20kN的重物，如圖2-7a所示。重物通過(guò)卷?yè)P(yáng)機(jī)上繞過(guò)滑輪B的鋼索吊起，桿件的A端鉸接在固定架上，B端以鋼索與固定架連接。A、C、D三處均為鉸鏈約束。不計(jì)桿件AB、CB和滑輪的重量及摩擦，不計(jì)滑輪尺寸。試計(jì)算鋼索BC和桿件AB所受的力。

解：由于不計(jì)桿件的自重，兩根桿件都為二力桿，均沿桿受力。以滑輪B為研究對(duì)象。其受到的力方向假設(shè)如圖2-7b。根據(jù)平面匯交力系的平衡方程通過(guò)以上分析，可以把平面匯交力系平衡問(wèn)題的解題步驟歸納如下：（1）由題意選好研究對(duì)象。（2）分析研究對(duì)象的受力情況，畫(huà)受力圖。（3）幾何法：選取適當(dāng)?shù)谋壤?，?huà)封閉的力多邊形，用比例尺和量角器量出未知量，或者用三角公式計(jì)算；解析法：建立直角坐標(biāo)系，用平衡方程求解。2.2平面力對(duì)點(diǎn)之矩的概念與計(jì)算力對(duì)剛體的作用效應(yīng)有兩個(gè)：移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)力對(duì)剛體的移動(dòng)效應(yīng)用力矢來(lái)度量；力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力矩來(lái)度量。即力矩是度量力使剛體繞某點(diǎn)或某軸轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱程度的物理量。1.力對(duì)點(diǎn)之矩如圖2-8，點(diǎn)O稱(chēng)為矩心，點(diǎn)O到力的作用線(xiàn)的垂直距離h稱(chēng)為力臂。

平面問(wèn)題中力對(duì)點(diǎn)之矩的定義如下：

平面力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量，它的大小為力的大小與力臂的乘積，它的正負(fù)可按如下方法確定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，矩為正；反之，為負(fù)。力對(duì)點(diǎn)之矩的記號(hào)為

計(jì)算公式是

（2-8）

或

（2-9）

力矩的單位常用N·m或kN·m討論：當(dāng)力的作用線(xiàn)過(guò)矩心時(shí)，因力臂為零，則力矩為零；當(dāng)力為零時(shí)，矩為零。

2.合力矩定理合力矩定理:平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于各分力對(duì)該點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即（2-10）

證明：

設(shè)作用于A(yíng)點(diǎn)的力F1和F2的合力為FR(圖2-9)

由合力投影定理有Od=Ob+Oc

MO(F1)=2△AOB

面積=OA·Ob

MO(F2)=2△AOC

面積=OA·OcMO

(FR)=2△AOD

面積=OA·Od

由公式（2-9）可知

則：

MO

(FR)=MO

(F1)+MO

(F2)證畢

例2-5作用于齒輪的嚙合力Fn=1kN，節(jié)圓直徑D=160mm，壓力角（圖2-10a）。試求嚙合力n對(duì)輪心O的矩。解：（1）應(yīng)用力矩計(jì)算公式

力臂

則

（2）應(yīng)用合力矩定理將嚙合力Fn分解為圓周力Ft合徑向力Fr（圖2-10b），有

例2-5

簡(jiǎn)支梁AB受按三角形分布的荷載作用，如圖所示。荷載的最大值為q，梁長(zhǎng)為l。試求合力及合力作用線(xiàn)的位置。

解：A處選為坐標(biāo)原點(diǎn)，距A端x的微段dx上，作用力的大小為q`dx，其中，q`為該處的荷載強(qiáng)度。由相似三角形的關(guān)系，有因此，合力F的大小為合力作用線(xiàn)的位置由合力矩定理得

計(jì)算結(jié)果說(shuō)明：合力大小等于三角形分布荷載的面積，合力作用線(xiàn)過(guò)三角形的幾何中心。

2.3平面力偶理論1.力偶與力偶矩在生活和實(shí)踐中，我們常見(jiàn)到一些物體同時(shí)受到大小相等、方向相反、作用線(xiàn)不共線(xiàn)的一對(duì)力作用的情況。例如，汽車(chē)司機(jī)用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(pán)（圖2-12）、兩根手指擰水龍頭開(kāi)關(guān)、兩個(gè)工人開(kāi)、合水閘門(mén)等等。

力學(xué)中，把作用在同一物體上大小相等、方向相反、作用線(xiàn)不重合的兩個(gè)平行力所組成的力系稱(chēng)為力偶。記為（F，F(xiàn)＇）。

兩力作用線(xiàn)所確定的平面稱(chēng)為力偶的作用面。兩力作用線(xiàn)建垂直距離稱(chēng)為力偶臂。

力偶是作用于剛體上的一對(duì)力。

力偶性質(zhì)如下：

1）力偶沒(méi)有合力，本身又不平衡，是一個(gè)基本的物理量。2）力偶要產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可用力偶矩來(lái)度量。力偶矩的大小為力與力偶臂的乘積

。由圖2-12可知，力偶的兩力對(duì)平面內(nèi)任意點(diǎn)O之矩的代數(shù)和就是力偶矩，即由此可見(jiàn)，力偶極的大小與力及力偶臂的大小有關(guān)，而與矩心的位置無(wú)關(guān)。

大小為（2-11）

力偶矩符號(hào)為結(jié)論：平面力偶矩是代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力與力偶臂的乘積。正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向，其規(guī)定與力矩相同：力偶使物體的轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針時(shí)取正，反之取負(fù)。力偶矩的單位是牛頓·米（N·m）。

由圖2-12可見(jiàn)，力偶矩的大小也可用三角形面積的兩倍來(lái)表示，即（2-12）

2.同平面力偶的等效定理定理：同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，若力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。

兩個(gè)推論：

（1）力偶可在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不改變它對(duì)剛體的作用；（2）只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不會(huì)改變力偶對(duì)剛體的作用效應(yīng)。力偶的三種表示

3.平面力偶系的合成與平衡作用面共面的力偶系稱(chēng)為平面力偶系。

①求平面力偶系合成------合成就是求合力偶矩。設(shè)同平面內(nèi)有兩個(gè)力偶（F1、F1`）、（F2、F2`），力偶臂分別為d1、

d2，如圖2-14a所示。

其力偶矩分別為

取任意線(xiàn)段AB=d，如圖2-14b所示，在保持各力偶矩不變的條件下，讓

合成為一個(gè)合力偶（圖2-14c）有

可見(jiàn)，F(xiàn)、F`大小相等、方向相反，是原來(lái)兩個(gè)力偶的等效力偶，其力偶矩為即：合成的結(jié)果是一個(gè)合力偶，合力偶矩為原來(lái)兩個(gè)力偶矩的代數(shù)和。推廣到n個(gè)力偶組成的平面力偶系，有

（2-13）

即：平面力偶系合成的結(jié)果是一個(gè)合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代數(shù)和。②求平面力偶系的平衡

平面力偶系平衡的必要充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。

即

（2-14）

上式稱(chēng)為平面力偶系的平衡方程，利用它可以求解一個(gè)未知量。例2-6

已知兩個(gè)同平面的力偶作用如圖2-15所示，求力偶的合效應(yīng)。解：力偶的合力為零，合效應(yīng)即為轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，其力偶矩為

方向?yàn)槟鏁r(shí)針。例2-7

在簡(jiǎn)支梁AB上作用一力偶矩的大小為M的力偶,如圖2-16a所示。梁長(zhǎng)l，不計(jì)梁自重。求支座A、B處約束力。

解:

取AB梁為研究對(duì)象。作用于梁上的力只有矩為M的力偶和支座A、B處約束力。

根據(jù)力偶只能與力偶平衡的性質(zhì)，故A、B處約束力均為豎直，而指向相反，假設(shè)如圖2-16b

所示。由平面力偶系的平衡方程

方向與假設(shè)相同。

例2-8

如圖a所示結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件自重忽略不計(jì)，在構(gòu)件AB上作用一力偶，其力偶矩為500kN·m，求A、C兩點(diǎn)的約束力。

解：構(gòu)件BC只在B、C兩點(diǎn)受力，處于平衡狀態(tài)，因此BC是二力桿，其受力如圖b。AB構(gòu)件在鉸鏈A、B處的一對(duì)作用力FA、構(gòu)成一力偶與M平衡（圖c）。

由平面力偶系的平衡方程

得

二力為正值，其實(shí)際受力方向與如圖c所示一致。根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，可知，方向如圖b所示。

1.已知物體受