第10章圖像變換22人類視覺所感受到的是在空間域和時間域的信號。但是，往往許多問題在頻域中討論時，有非常方便分析的一面。例如，空間位置上的變化不改變信號的頻域特性。問題的提出3圖像變換(一)原則上，所有圖像處理都是圖像的變換。狹義上講，圖像變換特指數(shù)字圖像經(jīng)過某種數(shù)學(xué)工具的處理，把原先二維空間域的數(shù)據(jù)，變換到另外一個“變換域”形式描述的過程。如：傅立葉變換將時域或空域信號變換成頻域的能量分布描述。通?！傲硗庖粋€變換域”更集中地代表了圖像中的有效信息，或者是更便于達到某種處理目的。44圖像變換的前提條件:首先，提出的變換必須是有好處的，換句話說，可以解決時域中難以解決的問題。其次，變換必須是可逆的，可以通過逆變換還原回原時域中。常用的圖像變換包括：頻域變換（傅立葉變換，離散余弦變換）；圖像的時頻域變換（小波變換）；以及其他各種正交變換等。圖像變換(二)5本章內(nèi)容簡介圖像的頻域變換—傅立葉變換傅立葉變換的應(yīng)用離散余弦變換（DCT）小波變換小波變換在圖像處理中的應(yīng)用6610.1圖像的頻域變換—傅立葉變換與前述各種圖象處理不同，傅立葉變換可以將時域信號變換到頻域中進行處理，因此傅立葉變換在信號處理中有著特殊重要的地位。傅立葉（Fourier）變換以圖象中灰度的變化頻率為處理對象，是一種重要的圖象處理技術(shù)；實際計算中是采用數(shù)值計算的方法計算傅立葉變換的，稱為離散傅立葉變換（DFT）。具體算法則使用快速傅立葉變換（FFT）算法。除以上FT以外，圖象處理中還可使用沃爾什（Walsh）變換WT、余弦變換、小波變換等數(shù)學(xué)方法。7DFT的原理對于一個N點有限長序列x(n)，其DFT變換可表示為：其中：k=0，1，…，N－1；78DFT的運算量假如x(n)為N項的復(fù)數(shù)序列，由DFT變換，任一X(m)的計算都需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法一次復(fù)數(shù)乘法等于四次實數(shù)乘法和兩次實數(shù)加法,一次復(fù)數(shù)加法等于兩次實數(shù)加法。即使把一次復(fù)數(shù)乘法和一次復(fù)數(shù)加法定義成一次“運算”（四次實數(shù)乘法和四次實數(shù)加法），那么求出N項復(fù)數(shù)序列的X(k)，即N點DFT變換大約就需要N^2次運算。當N=1024點甚至更多的時候，需要N^2=1048576次運算。因此，在N較大時，計算量不可想象。89如何減小DFT的計算量分解N為較小值：把序列分解為幾個較短的序列，分別計算其DFT值，可使乘法次數(shù)大大減少；利用旋轉(zhuǎn)因子的周期性、對稱性進行合并、歸類處理，以減少DFT的運算次數(shù)。周期性：對稱性：歐拉公式：910FFT利用上述對稱性和周期性，可以簡化DFT的運算。可以把較多點的DFT分解為多個較少點的DFT運算。由于DFT的運算量與點數(shù)成正比，減少DFT的點數(shù)就能減少DFT的總運算量。不斷地繼續(xù)分解得到的DFT，可以加快DFT的運算過程，這種DFT的快速計算方法，我們稱為FFT。1011基2FFT算法FFT算法基本上分為兩大類：時域抽取法FFT(簡稱DIT-FFT)和頻域抽取法FFT(簡稱DIF―FFT)。時域抽取法FFT的算法思想：將序列x(n)按n為奇、偶數(shù)分為x1(n)、x2(n)兩組序列；用2個N/2點DFT來完成一個N點DFT的計算。設(shè)序列x(n)的長度為N，且滿足：N=2M，M為自然數(shù)。(1)按n的奇偶把x(n)分解為兩個N/2點的子序列1112基2FFT算法(二)(2)用N/2點X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N點DFTX(k)12偶數(shù)奇數(shù)注意：這里的k的取值范圍為0，1，…，N-113基2FFT算法(三)(3)由于X1(k)和X2(k)均以N/2為周期，且,X(k)又可表示為:對上式的運算用下圖所示的流圖符號來表示這樣將N點DFT分解為兩個N/2點的DFT圖：蝶形運算符號完成一個蝶形運算需要一次復(fù)數(shù)乘和兩次復(fù)數(shù)加法運算，經(jīng)過一次分解后，共需要復(fù)數(shù)乘和復(fù)數(shù)加的次數(shù)為2(N/2)2+N/2和2(N/2)214N=8時域抽取基2FFT算法信號流圖1515二維離散傅立葉變換

——正變換設(shè)圖像大小為M*N，原圖為f(x,y)，其頻譜為F(u,v)，則：二維傅立葉變換可以轉(zhuǎn)化為兩次一維傅立葉變換。1616二維離散傅立葉變換

——反變換注：逆變換的系數(shù)不為1。1717二維離散傅立葉變換

——作用1）可以得出信號在各個頻率點上的強度。2）可以將卷積運算化為乘積運算。1818二維傅立葉變換的應(yīng)用

——用于計算卷積從前面各章中學(xué)習(xí)的圖像處理算法中知道，如果抽象來看，其實都可以認為是圖像信息經(jīng)過了濾波器的濾波（如：平滑濾波、銳化濾波等）。如果濾波器的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時，直接進行時域中的卷積運算是不可思議的。傅立葉變換可以把卷積運算轉(zhuǎn)換為點乘運算，由此簡化運算，提高計算速度。二維傅立葉變換的應(yīng)用

——用于計算卷積19202010.2傅立葉變換的應(yīng)用前面已經(jīng)提到了傅立葉變換有兩個好處，即：可以獲得信號的頻域特性；可以將卷積運算轉(zhuǎn)換為乘積運算。因此二維傅立葉變換的應(yīng)用也是根據(jù)這兩個特點來進行的。212110.2.1圖像傅立葉變換后的頻率分布頻域上的高頻信息對應(yīng)著空域上變化比較劇烈的區(qū)域，而低頻信號對應(yīng)著空域上變化比較緩慢的區(qū)域。實際上變化比較劇烈的信號主要集中在不同景物的邊界上，而大部分信息主要集中在邊界內(nèi)部的非邊界景物信息之中。這樣，圖像的傅立葉變換的幅頻特性在其幅頻圖的四個角上比較亮，而在中心部分比較暗。為了方便觀察，通常是將幅頻圖進行四個對角子塊的置換，這樣，低頻部分集中在圖像的中心部分，便于觀察。2222圖像傅立葉變換后的頻率分布綜上所述，就可以用“低頻部分反映圖像的概貌，高頻部分反映圖像細節(jié)”來總結(jié)頻域上的信息強度與空域上的像素特性之間的關(guān)系。根據(jù)這一對應(yīng)關(guān)系，可以獲得利用傅立葉變換后的幅頻特性進行圖像的濾波處理。232310.2.2圖像的高通濾波圖像的頻域變換有一個非常突出的優(yōu)點，就是可以將信號的信息強度進行重新分配。因為景物的細節(jié)部分集中在高頻區(qū)段。因此，可以通過圖像高通濾波將圖像中景物的細節(jié)信息（邊界信息）提取出來。圖像的高通濾波，可以通過特定的濾波器(如Butterworth高通濾波器)來實現(xiàn)，也可以簡單地將頻譜圖中的低頻分量強制為0。經(jīng)這樣處理后的頻譜再進行傅立葉逆變換，就可以得到圖像高頻部分。242410.2.3圖像的低通濾波圖像經(jīng)傅立葉變換之后，將景物的概貌部分集中在低頻區(qū)段。故可通過圖像低通濾波將其中景物的概貌信息提取出來。具體實現(xiàn)時，與高通濾波類似，可以借助特定的濾波器，也可以將頻譜圖中的高頻強制為0，就相當于一個低通濾波器作用在圖像上。經(jīng)這樣處理后的頻譜再進行傅立葉逆變換，就可以得到圖像概貌部分。252510.2.4傅立葉變換在圖像壓縮中的應(yīng)用圖像信息在空域中是依據(jù)景物的拓撲結(jié)構(gòu)分布的。因其信息強度的不集中，故不易壓縮。如果對圖像進行傅立葉變換，則圖像信息在頻域中大多集中在低頻部分。充分利用這一特點，則可進行數(shù)據(jù)壓縮。人在觀察圖像時，圖像的概貌可以達到理解圖像內(nèi)容的目的。因此，在不苛求圖像的再現(xiàn)質(zhì)量的場合下，可以通過只對圖像傅立葉變換后頻譜的低頻部分進行編碼的方法，達到減少圖像數(shù)據(jù)量的目的。262610.3離散余弦變換（DCT）傅立葉變換的一個最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當于實數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。2727離散余弦變換（DCT）正變換：逆變換：其中：2828離散余弦變換（DCT）

——應(yīng)用余弦變換實際上是利用了傅立葉變換的實數(shù)部分構(gòu)成的變換。余弦變換主要用于圖像的壓縮，如目前的國際壓縮標準的JPEG格式中就用到了DCT變換。具體的做法與DFT相似。即高頻部分壓縮多一些，低頻部分壓縮少一些。2910.4小波變換傅立葉變換可以使信號分析在頻域上進行。但傅立葉變換有一個嚴重的不足，即做變換時丟掉了時間信息，無法根據(jù)傅立葉變換的結(jié)果判斷一個特定的信號是在什么時候發(fā)生的。傅立葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域里的定位是完全準確的（即頻域分辨率最高），而在時域無任何定位性（或無分辨能力）。30小波變換對于平穩(wěn)隨機信號，傅立葉變換的這一缺點也許不是很重要。然而實際中大多數(shù)信號均含有大量的非穩(wěn)態(tài)成分，例如突變、偏移、趨勢、事件的起始與終止等情況，而這些情況往往是相當重要的，反映了信號的重要特征。如：音樂信號、語音信號、探地信號等，它們的頻域特性都隨時間而變化。對這一類時變信號進行分析，通常需要提取某一時間段或瞬間的頻域信息或某一頻率段所對應(yīng)的時間信息。因此，需要尋求一種具有一定的時間和頻率分辨率的基函數(shù)來分析時變信號。小波的特性小波（Wavelet），即小區(qū)域的波，是一種特殊的長度有限，平均值為0的波形。它有兩個特點：一是“小”，即在時域都具有緊支集或近似緊支集；二是正負交替的“波動性”，也即直流分量為零。可以用小波和傅立葉分析用的正弦波做個比較，如3232傅立葉分析所用的正弦波在時間上沒有限制，從負無窮到正無窮，但小波傾向于不規(guī)則與不對稱。傅立葉分析是將信號分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加，同樣小波分析是將信號分解成一系列小波函數(shù)的疊加，而這些小波函數(shù)都是由一個母小波函數(shù)經(jīng)過平移與尺度伸縮得來的。用不規(guī)則的小波函數(shù)來逼近尖銳變化的信號顯然要比光滑的正弦曲線要好，同樣，信號局部的特性用小波函數(shù)來逼近顯然要比光滑的正弦函數(shù)要好。傅立葉變換與小波變換小波的多尺度分解小波多分辨圖像分解，就是利用由一個小波函數(shù)經(jīng)過平移和伸縮生成的一系列小波基函數(shù)對圖像進行變換，并將圖像分解為一組具有不同空間分辨率、不同頻率特性和方向特性的圖像近似分量的過程。這些近似分量也被稱作小波子帶。經(jīng)過一級小波分解后可以生成由4個原圖像1/4大小的系數(shù)數(shù)組構(gòu)成系數(shù)矩陣。這里，LL代表圖像的低頻分量，可看作原圖的縮略圖。HL體現(xiàn)了圖像的垂直邊緣特征；LH代表了圖像的水平邊緣特征；HH表示圖像對角線方向的細節(jié)信息。343410.5小波變換在圖像處理中的應(yīng)用10.5.1小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用我們從傅立葉變換得到啟示，就是圖像的數(shù)據(jù)信息大多集中在低頻部分，而高頻部分的信息很弱，對人眼視覺的影響也小。一幅圖像經(jīng)過小波變換之后，概貌信息大多集中在低頻部分，而其余部分只有很弱的表示細節(jié)的信息。為此，如果只保留占總數(shù)據(jù)量1/4的低頻部分，對其余三個部分的系數(shù)不存儲或傳輸，在解壓時，這三個子塊的系數(shù)以0來替代，則可得到較好的效果?？梢钥吹绞÷粤瞬糠旨毠?jié)信息之后，畫面的效果與原圖相比，差別不是非常大。3510.5.2小波變換在邊界檢測中的應(yīng)用經(jīng)過小波變換之后，圖像中的景物邊界這類細節(jié)信息存在于三個非低頻子塊中。為了方便后面的敘述，在這里將對圖像進行行低通、列低通濾波后得到的LL子塊定義為低頻子塊；將行低通、列高通LH濾波后得到的子塊定義為次低頻子塊；將行高通、列低通的HL子塊定義為次高頻子塊；將行高通、列高通的HH子塊定義為高頻子塊。對原圖進行小波變換后，對次高頻、次低頻兩個子塊進行二值化處理之后所得到的邊界檢測結(jié)果。3610.5.3小波變換在圖像增強中的應(yīng)用小波變換用于圖像增強的原理是，對原圖像進行小波變換，得到的小波變換系數(shù)矩陣分別表示的是不同的頻率特性。為此，一個簡單的圖像增強方法是，對低頻、次低頻、次高頻、高頻四個子塊以不同的增強系數(shù)進行處理，再進行小波逆變換之后，就可以達到圖像增強的目的。例如，對低頻子塊以大于1的增強系數(shù)相乘，則可以提高圖像的總體亮度；對其他三個子塊進行增強，則可以增強圖像的細節(jié)信息，由此可獲得清晰化圖像的效果。3710.5.4小波變換在圖像去噪中的應(yīng)用利用小波變換去除噪聲的原理是：噪聲大多屬于高頻信息，因此，當進行小波變換之后，噪聲信息大多集中在次低頻、次高頻、以及高頻子塊中。經(jīng)過小波變換之后，將高頻子塊置為0，對次低頻和次高頻子塊進行一定的抑制，則可以達到一定的噪聲去除效果0。為了使噪聲去除的效果更好，可以對不同尺度小波變換下的次低頻、次高頻、高頻子塊進行抑制，保留低頻子塊的信息不改變，便可以對圖像噪