第七章力法§7-2超靜定次數(shù)的確定§7-3力法的基本概念§7-4力法的典型方程§7-6對(duì)稱性的利用§7-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算§7-8最后內(nèi)力圖的校核§7-9溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算§7-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算§7-11用彈性中心法計(jì)算無(wú)鉸拱§7-12兩鉸拱及系桿拱§7-5力法的計(jì)算步驟和示例§7-1概述§7-13超靜定結(jié)構(gòu)的特性§7-1概述超靜定結(jié)構(gòu)：用平衡條件不能確定全部反力和內(nèi)力的結(jié)構(gòu)。圖a所示梁僅由平衡條件無(wú)法確定豎向反力。其幾何構(gòu)造特征是具有一個(gè)多余聯(lián)系。多余未知力：多余聯(lián)系中產(chǎn)生的力。如圖b中的X1?？蓪⑷我回Q向支座鏈桿作為多余聯(lián)系。圖a所示桁架僅由平衡條件無(wú)法確定桿件內(nèi)力。其幾何構(gòu)造特征是具有兩個(gè)多余聯(lián)系。可將兩根斜桿作為多余聯(lián)系如圖b。常見(jiàn)的超靜定結(jié)構(gòu)類型超靜定拱§7-1概述超靜定剛架超靜定桁架求解超靜定結(jié)構(gòu)的條件（1）平衡條件：受力狀態(tài)滿足平衡方程（2）幾何條件：結(jié)構(gòu)的變形和位移符合支承約束條件和各部件之間的變形連續(xù)條件（3）物理?xiàng)l件：變形或位移與力之間的物理關(guān)系從靜力分析看：超靜定次數(shù)=多余未知力的數(shù)目從幾何構(gòu)造看：超靜定次數(shù)=多余聯(lián)系的數(shù)目（1）去掉或切斷一根鏈桿，相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系?！?-2超靜定次數(shù)的確定（2）拆開(kāi)一個(gè)單鉸，相當(dāng)于去掉兩個(gè)聯(lián)系。（3）切開(kāi)一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)，或去掉一個(gè)固定端，相當(dāng)于去掉三個(gè)聯(lián)系。（4）剛結(jié)改為單鉸聯(lián)結(jié)，相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系。21次超靜定§7-2超靜定次數(shù)的確定圖a所示結(jié)構(gòu)，在拆開(kāi)單鉸、切斷鏈桿、切開(kāi)剛結(jié)處后，得到圖b所示靜定結(jié)構(gòu)6次超靜定同一超靜定結(jié)構(gòu)，可以用不同方式去掉多余聯(lián)系，如圖c、d所示靜定結(jié)構(gòu)對(duì)于有較多框格的結(jié)構(gòu)，一個(gè)封閉無(wú)鉸的框格，其超靜定次數(shù)等于3。16次超靜定9次超靜定§7-3力法的基本概念基本未知量—多余聯(lián)系上的多余未知力圖a所示梁是一次超靜定結(jié)構(gòu)。把支座B作為多余聯(lián)系去掉得到圖b中的靜定結(jié)構(gòu)?；窘Y(jié)構(gòu)—去掉多余聯(lián)系后得到的靜定結(jié)構(gòu)基本體系—基本結(jié)構(gòu)作用原荷載和多余未知力基本體系圖c表示X1單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上，B點(diǎn)沿X1方向的位移，沿X1方向?yàn)檎?。圖d表示荷載q單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上，B點(diǎn)沿X1方向的位移。1=11+1P=0原結(jié)構(gòu)B點(diǎn)沿X1方向的位移1=0。力法基本方程可寫(xiě)為§7-3力法的基本概念δ11—表示X1=1時(shí)，B點(diǎn)沿X1方向的位移，Δ11=δ11X1。

11+1P=0繪出基本結(jié)構(gòu)在X1=1、荷載q作用下的彎矩圖，如圖a、b?？傻茂B加法繪彎矩圖圖a是三次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉固定支座A，得如圖b所示的基本結(jié)構(gòu)。§7-4力法的典型方程位移條件：A處不能有任何位移。1=0，2=0，3=0和F分別作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)A點(diǎn)沿X1方向的位移分別為A點(diǎn)沿X2方向的位移分別為A點(diǎn)沿X3方向的位移分別為位移條件可寫(xiě)為§7-4力法的典型方程

n次超靜定結(jié)構(gòu)，有n個(gè)多余未知力，有n個(gè)已知位移條件，可建立n個(gè)方程。當(dāng)n個(gè)已知位移條件都為0時(shí)，方程為力法典型方程主系數(shù)，恒大于0。副系數(shù)，自由項(xiàng)柔度系數(shù)柔度方程圖a所示剛架為兩次超靜定，去掉鉸支座B，得基本體系如圖b§7-5力法的計(jì)算步驟和示例基本體系由B點(diǎn)的位移條件，建立力法典型方程為求系數(shù)和自由項(xiàng)§7-5力法的計(jì)算步驟和示例代入典型方程解得疊加法作彎矩圖在荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力只與各桿的剛度相對(duì)值有關(guān)，與其剛度絕對(duì)值無(wú)關(guān)。同一材料組成的結(jié)構(gòu)，內(nèi)力與材料性質(zhì)無(wú)關(guān)。力法的計(jì)算步驟（1）確定超靜定次數(shù)，去掉多余聯(lián)系，得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，以多余未知力代替相應(yīng)多余聯(lián)系。（2）根據(jù)多余聯(lián)系處的位移條件，建立力法的典型方程。（3）作基本結(jié)構(gòu)各單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖，計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。（4）解算典型方程，求出各多余未知力。（5）由平衡條件或疊加法求得最后內(nèi)力?！?-5力法的計(jì)算步驟和示例例7-1試分析圖a所示兩端固定梁。EI=常數(shù)。解：取簡(jiǎn)支梁為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖b所示?！?-5力法的計(jì)算步驟和示例基本體系典型方程為各彎矩圖如圖c、d、e、f。因故可得兩端固定的梁在垂直于梁軸線的荷載作用下，不產(chǎn)生水平反力。典型方程變?yōu)椤?-5力法的計(jì)算步驟和示例求各系數(shù)和自由項(xiàng)（只考慮彎矩影響）代入典型方程解得最后彎矩圖如下圖§7-5力法的計(jì)算步驟和示例例7-2試用力法計(jì)算圖a所示超靜定桁架的內(nèi)力。設(shè)各桿EA相同。解：這是一次超靜定結(jié)構(gòu)，切斷上弦桿用X1

代替，基本體系如圖b所示?；倔w系位移條件：桿件切口兩側(cè)軸向相對(duì)位移為0。典型方程為各內(nèi)力圖如圖c、d。§7-5力法的計(jì)算步驟和示例各桿最后內(nèi)力按疊加法計(jì)算如圖。也可將上弦桿去掉用X1代替，基本體系如圖a所示。典型方程為典型方程的物理意義：基本結(jié)構(gòu)在F和X1共同作用下，結(jié)點(diǎn)3、4所產(chǎn)生的水平相對(duì)線位移等于原結(jié)構(gòu)的相對(duì)線位移。注意：系數(shù)δ11中不包含34桿件?！?-5力法的計(jì)算步驟和示例例7-3圖a為一加勁梁，橫梁I=1×10-4m4，鏈桿A=1×10-3m2，

E=常數(shù)。試求梁的彎矩圖和各桿的軸力，并討論改變鏈桿截面A時(shí)的內(nèi)力變化。解：這是一次超靜定組合結(jié)構(gòu)，切斷豎向鏈桿用X1代替，基本體系如圖b所示?；倔w系位移條件：切口處相對(duì)軸向位移為0。典型方程為各內(nèi)力圖如圖c、d。梁只計(jì)彎矩影響。§7-5力法的計(jì)算步驟和示例由位移計(jì)算公式解得最后內(nèi)力梁的彎矩、各桿軸力如圖e。與沒(méi)有鏈桿時(shí)比較最大彎矩值減少了80.7%

§7-5力法的計(jì)算步驟和示例由位移計(jì)算公式A減小時(shí)：δ11增大，X1絕對(duì)值減小，梁的正彎矩值增大負(fù)彎矩值減小。A→0時(shí)：梁的彎矩圖與簡(jiǎn)支梁彎矩圖相同。A增大時(shí)：梁的正彎矩值減小負(fù)彎矩值增大。A→∞時(shí)：梁的中點(diǎn)相當(dāng)于有一剛性支座，梁的彎矩圖與兩跨連續(xù)梁的彎矩圖相同。如圖f。§7-5力法的計(jì)算步驟和示例例7-4圖a所示為裝配式鋼筋混凝土單跨單層廠房排架結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖，其中左、右柱為階梯形變截面桿件，橫梁為

EA=∞的二力桿。試用力法求其彎矩圖。豎桿E為常數(shù)。解：排架為一次超靜定結(jié)構(gòu)，切斷二力桿用X1代替，基本體系如圖b所示。基本體系典型方程為各內(nèi)力圖如圖c、d?！?-5力法的計(jì)算步驟和示例計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。解得彎矩圖如圖e。疊加法作彎矩圖§7-6對(duì)稱性的利用對(duì)稱的意義：（1）結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支承情況對(duì)稱（2）各桿的剛度（EI、EA等）也對(duì)稱圖a為一對(duì)稱結(jié)構(gòu)，有一個(gè)對(duì)稱軸。將對(duì)稱軸穿過(guò)的截面切開(kāi)，得到一個(gè)對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)如圖b。正對(duì)稱的力：對(duì)稱軸兩側(cè)的力大小相等，沿對(duì)稱軸對(duì)折后作用點(diǎn)和作用線重合且指向相同。反對(duì)稱的力：對(duì)稱軸兩側(cè)的力大小相等，沿對(duì)稱軸對(duì)折后作用點(diǎn)和作用線重合且指向相反。X1、X2是正對(duì)稱的，X3是反對(duì)稱的。1、選取對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)§7-6對(duì)稱性的利用繪出基本結(jié)構(gòu)各單位彎矩圖如圖a、b、c。圖a、b是正對(duì)稱的，圖c是反對(duì)稱的?？傻玫湫头匠毯?jiǎn)化為只包含正對(duì)稱的X1、X2

只包含反對(duì)稱的X3§7-6對(duì)稱性的利用當(dāng)結(jié)構(gòu)作用正對(duì)稱荷載時(shí)，如圖a。MP圖是正對(duì)稱的，如圖b。只存在正對(duì)稱的X1、X2，最后彎矩圖是正對(duì)稱的，形狀如圖c。注意：剪力圖是反對(duì)稱的。§7-6對(duì)稱性的利用當(dāng)結(jié)構(gòu)作用反對(duì)稱荷載時(shí)，如圖a。MP圖是反對(duì)稱的，如圖b。只存在反對(duì)稱的X3，最后彎矩圖是反對(duì)稱的，形狀如圖c。注意：剪力圖是正對(duì)稱的?！?-6對(duì)稱性的利用對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱荷載作用下：彎矩圖和軸力圖是正對(duì)稱的，剪力圖是反對(duì)稱的；反力與位移是正對(duì)稱的。對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下：彎矩圖和軸力圖是反對(duì)稱的，剪力圖是正對(duì)稱的；反力與位移是反對(duì)稱的。§7-6對(duì)稱性的利用例7-5試分析圖a所示剛架。設(shè)EI=常數(shù)。解：荷載是反對(duì)稱的，只有反對(duì)稱的多余未知力，取對(duì)稱的基本體系如圖b。基本體系作各彎矩圖如圖c、d。§7-6對(duì)稱性的利用由圖乘法代入典型方程疊加法作彎矩圖2、未知力分組及荷載分組§7-6對(duì)稱性的利用圖a所示對(duì)稱剛架作用非對(duì)稱荷載?；倔w系如圖b?；倔w系為利用對(duì)稱性，將未知力進(jìn)行分組。或Y1為一對(duì)正對(duì)稱的未知力組。Y2為一對(duì)反對(duì)稱的未知力組?！?-6對(duì)稱性的利用將求解未知力X1、X2的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈨蓪?duì)未知力組Y1、Y2。如圖a。作Y1=1、Y2=1的彎矩圖，如圖b、c。圖b為正對(duì)稱的、圖c為反對(duì)稱的。典型方程簡(jiǎn)化為Y1、Y2為廣義力，典型方程的物理意義也轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的廣義位移條件。第一式代表A、B兩點(diǎn)同方向的豎向位移之和為0。第二式代表A、B兩點(diǎn)反方向的豎向位移之和為0?！?-6對(duì)稱性的利用對(duì)稱結(jié)構(gòu)作用一般非對(duì)稱荷載時(shí)，可以將荷載分解為正、反對(duì)稱兩組，如下圖。正對(duì)稱荷載作用只有正對(duì)稱的多余未知力，反對(duì)稱荷載作用只有反對(duì)稱的多余未知力，兩者疊加即為原結(jié)構(gòu)的解。3、取一半結(jié)構(gòu)計(jì)算（利用對(duì)稱性）§7-6對(duì)稱性的利用（1）奇數(shù)跨對(duì)稱結(jié)構(gòu)作用正對(duì)稱荷載如圖a，C截面只有豎向位移，有彎矩和剪力，截取一半剛架如圖b。作用反對(duì)稱荷載如圖c，C截面不能有豎向位移，只有剪力，截取一半剛架如圖d?！?-6對(duì)稱性的利用（2）偶數(shù)跨對(duì)稱結(jié)構(gòu)作用正對(duì)稱荷載如圖a，C結(jié)點(diǎn)不能有任何位移，截取一半剛架如圖b。作用反對(duì)稱荷載如圖c，將中間柱視為兩根剛度為I/2的豎桿組成，在頂點(diǎn)與梁剛結(jié)。如圖e。由于荷載是反對(duì)稱的，兩柱中間的橫梁C處只有剪力。如圖f。剪力FSC對(duì)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形無(wú)影響。簡(jiǎn)化的一半剛架如圖d?！?-6對(duì)稱性的利用解：結(jié)構(gòu)是一個(gè)三次超靜定結(jié)構(gòu)，有兩個(gè)對(duì)稱軸?？扇?/4結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b。基本體系如圖c。取極坐標(biāo)系，單位彎矩和荷載彎矩分別為：例7-6試計(jì)算圖a所示圓環(huán)的內(nèi)力。EI=常數(shù)。§7-6對(duì)稱性的利用各彎矩圖如圖a、b。

位移計(jì)算時(shí)略去軸力、剪力及曲率影響，只計(jì)彎矩一項(xiàng)。則：可得§7-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)的實(shí)際狀態(tài)及彎矩圖如圖a。試求CB桿中點(diǎn)K的豎向位移△Ky。虛設(shè)力狀態(tài)及彎矩圖如圖b。

為作出圖b，需要解算一個(gè)2次超靜定結(jié)構(gòu)。比較麻煩！§7-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算由力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)可知：在荷載及多余未知力共同作用下，基本結(jié)構(gòu)的受力和位移與原結(jié)構(gòu)完全一致。求超靜定結(jié)構(gòu)的位移可以用求基本結(jié)構(gòu)的位移代替。虛擬狀態(tài)如圖c、d。由圖c由圖d§7-7超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)位移步驟（1）計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，求出實(shí)際狀態(tài)的內(nèi)力。（2）任選一種基本結(jié)構(gòu)，虛擬力狀態(tài)。（3）計(jì)算所求位移。§7-8最后內(nèi)力圖的校核平衡條件校核彎矩圖校核：如圖a，取E點(diǎn)為隔離體，如圖b。應(yīng)滿足即剪力圖和軸力圖校核：可取結(jié)點(diǎn)、桿件或結(jié)構(gòu)的一部分為隔離體，考察是否滿足：和§7-8最后內(nèi)力圖的校核位移條件校核

圖a為剛架的最后彎矩圖。檢查A處的水平位移是否為0，虛擬力狀態(tài)并作彎矩圖如圖b。利用圖a與圖b圖乘，得滿足位移條件§7-8最后內(nèi)力圖的校核對(duì)于具有封閉無(wú)鉸框格的剛架如圖a，取圖b所示的虛擬力狀態(tài)，檢查K截面相對(duì)轉(zhuǎn)角是否為0。上式表明，在任一封閉無(wú)鉸的框格上，彎矩圖的面積除以相應(yīng)剛度的代數(shù)和等于0?！?-9溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算圖a所示靜定梁，當(dāng)溫度改變時(shí)，梁可以自由地變形不受任何阻礙。圖b所示超靜定梁，當(dāng)溫度改變時(shí)，梁的變形受到兩端支座的限制，因而產(chǎn)生支座反力及內(nèi)力。圖c所示剛架，溫度改變?nèi)鐖D。取圖d所示基本體系。基本結(jié)構(gòu)在外因和多余未知力共同作用下，去掉多余聯(lián)系處的位移與原結(jié)構(gòu)的位移相符。§7-9溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算式中系數(shù)的計(jì)算與以前相同，與外因無(wú)關(guān)。自由項(xiàng)為基本結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移，計(jì)算式為典型方程為最后彎矩為對(duì)于剛架位移計(jì)算公式為對(duì)多余未知力Xi方向的位移校核式為§7-9溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算例7-7圖a所示剛架外側(cè)溫度升高25℃，內(nèi)側(cè)溫度升高35℃，試?yán)L制其彎矩圖并計(jì)算橫梁中點(diǎn)的豎向位移。EI=常數(shù)，截面對(duì)稱于形心軸，高度h=l/10，材料的線膨脹系數(shù)為α。解：這是一次超靜定剛架，基本體系如圖b。典型方程為虛擬力狀態(tài)及內(nèi)力圖如圖c§7-9溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算解典型方程得溫度變化時(shí)，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與各桿剛度的絕對(duì)值有關(guān)。求橫梁中點(diǎn)豎向位移虛擬力狀態(tài)及內(nèi)力圖如圖b。最后彎矩為彎矩圖如圖a?！?-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算圖a所示靜定梁，當(dāng)支座B發(fā)生豎向位移時(shí)不會(huì)受到任何阻礙。結(jié)構(gòu)只隨之發(fā)生剛體位移，不產(chǎn)生彈性變形和內(nèi)力。圖b所示超靜定梁，當(dāng)支座B發(fā)生豎向位移時(shí)將受到AC梁的牽制，使各支座產(chǎn)生反力，梁產(chǎn)生內(nèi)力?！?-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算圖a所示剛架，當(dāng)支座B由于某種原因發(fā)生圖示位移。基本體系如圖b。典型方程為系數(shù)的計(jì)算同前。自由項(xiàng)代表基本結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)引起的位移，計(jì)算式為§7-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算多余未知力分別等于1時(shí)的彎矩圖如圖c、d、e。最后彎矩為位移計(jì)算為Xi方向位移條件校核式為或?yàn)橐阎怠?-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算例7-8圖a所示兩端固定的等截面梁A段發(fā)生了轉(zhuǎn)角，試分析其內(nèi)力。解：取基本體系如圖b。因X3=0，典型方程為多余未知力分別等于1時(shí)的彎矩圖如圖c、d?？傻谩?-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算最后彎矩為如圖e校核：檢查B支座轉(zhuǎn)角是否為0。虛擬力狀態(tài)及彎矩圖如圖f。位移計(jì)算為§7-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算例7-9圖a所示連續(xù)梁EI=常數(shù)，B處為彈性支座，彈簧剛度

k=10EI/l3。試作其彎矩圖并求D點(diǎn)的豎向位移。解：（1）取基本體系一如圖b。典型方程為相應(yīng)彎矩圖如圖c、d?？傻米詈髲澗貫槿鐖De§7-10支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算（2）取基本體系二如圖f。典型方程為相應(yīng)彎矩圖如圖g、h。可得彎矩圖同e（3）求D點(diǎn)豎向位移，虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖i。§7-11用彈性中心法計(jì)算無(wú)鉸拱常用超靜定拱型式超靜定拱：彎矩分布比較均勻，夠造簡(jiǎn)單，工程中應(yīng)用較多。無(wú)鉸拱兩鉸拱§7-11用彈性中心法計(jì)算無(wú)鉸拱計(jì)算超靜定拱：需事先確定拱軸線方程和截面變化規(guī)律。常用的拱軸線形式：懸鏈線，拋物線，圓弧，多心圓等。超靜拱合理拱軸線：忽略軸向變形影響時(shí)，與相應(yīng)三鉸拱相同?？紤]軸向變形時(shí)：超靜定拱產(chǎn)生彎矩，但數(shù)值不大，可進(jìn)行修改調(diào)整。超靜定拱拱截面：變截面，等截面。無(wú)鉸拱截面：拱址處彎矩大，截面常設(shè)計(jì)成由拱頂向拱址逐漸增大的形式。拱橋設(shè)計(jì)中的經(jīng)驗(yàn)公式（7-8）IC：拱頂截面二次矩，n：拱厚變化系數(shù)。IK：拱址處截面二次矩，：拱址處拱軸切線傾角。n愈小，拱厚變化愈激烈。n的范圍：0.25~1。n=1時(shí)截面面積A近似為當(dāng)拱高f<l/8時(shí)可近似為常數(shù)§7-11用彈性中心法計(jì)算無(wú)鉸拱§7-11用彈性中心法計(jì)算無(wú)鉸拱圖a所示無(wú)鉸拱是三次超靜定結(jié)構(gòu)。利用對(duì)稱性取基本體系如圖b。如何做？將圖a所示無(wú)鉸拱沿拱頂截面切開(kāi)，再切口糧邊沿對(duì)稱軸方向引出兩個(gè)剛度無(wú)窮大的剛臂，如圖c。剛臂本身是不變形的，保證切口兩邊截面無(wú)任何相對(duì)位移，此結(jié)構(gòu)與原無(wú)鉸拱的變形一致，可以代替原無(wú)鉸拱?！?-11用彈性中心法計(jì)算無(wú)鉸拱取基本體系如圖d，這是兩個(gè)帶剛臂的懸臂曲梁。利用對(duì)稱性，適當(dāng)選擇剛臂的長(zhǎng)度，可以使典型方程中全部系數(shù)都為0。符號(hào)規(guī)定坐標(biāo)原點(diǎn)：剛臂端點(diǎn)O；坐標(biāo)方向：x軸向右為正，y軸向下為正；彎矩：拱內(nèi)側(cè)受拉為正；剪力：繞隔離體順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?；軸力：壓力為正?！?-11用彈性中心法計(jì)算無(wú)鉸拱多余未知力分別為1作用時(shí)，如圖a、b、c?！?-11用彈性中心法計(jì)算無(wú)鉸拱令沿拱軸線作寬度為1/EI的圖形（如圖）。ds/EI代表圖中的微面積，ys即為這個(gè)圖形面積的形心坐標(biāo)。圖形的面積與EI有關(guān)—稱為彈性面積圖，其形心稱為彈性形心。彈性中心法：把剛臂端點(diǎn)引到彈性中心上，將X2、X3置于主軸方向上，使全部系數(shù)都等于0。可得剛臂長(zhǎng)度yS為§7-11用彈性中心法計(jì)算無(wú)鉸拱典型方程簡(jiǎn)化為三個(gè)獨(dú)立方程由于拱的曲率對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很小，可用直桿計(jì)算公式求系數(shù)和自由項(xiàng)，多數(shù)情況可忽略軸向變形和剪切變形的影響。如下表fhcδ22δ33△2P，

△3Pf<l/5M，F(xiàn)NMMf>l/5hc>l/10M，F(xiàn)N，F(xiàn)SM，F(xiàn)SHc<l/10MM計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)時(shí)需考慮影響的內(nèi)力§7-11用彈性中心法計(jì)算無(wú)鉸拱拱頂截面高度hc<l/10，f<l/5時(shí)，f>l/5時(shí)，δ22中的軸力影響項(xiàng)可略去。§7-11用彈性中心法計(jì)算無(wú)鉸拱當(dāng)時(shí)有可得用數(shù)值積分法即總和法計(jì)算任一截面內(nèi)力按疊加法求得基本結(jié)構(gòu)荷