信號(hào)與系統(tǒng)

信息工程學(xué)院二零一四年秋教師——方勇簡(jiǎn)介信息工程學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師專業(yè)方向：數(shù)字通信與信號(hào)處理主講課程：信號(hào)與系統(tǒng)等辦公室：信息工程學(xué)院105QQ：914164095電話：87092619(O)M)e-mail：fangyong@Homepage：/fangyong/

第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

2.1引言時(shí)域分析法1.微分/差分方程法2.卷積積分法h(t)——系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)(已知)y(t)=h(t)*x(t)意義：直觀，物理概念清楚，是其他方法（變換域法等）的基礎(chǔ)。2.2LTI系統(tǒng)的微分方程表示及響應(yīng)1.LTI系統(tǒng)的“輸入—輸出”模型(微分方程模型)1.連續(xù)LTI系統(tǒng)模型——常系數(shù)微分方程或微分方程的建立(不做要求)力學(xué)系統(tǒng)理論依據(jù)：牛頓運(yùn)動(dòng)定律電路系統(tǒng)理論依據(jù)：I

=

U/R、KVL、KCLR、C、L的伏安特性:微分方程的求解2.微分方程的一般形式(1)解的形式:H:homogeneousP:particular微分方程的求解(2)齊次解（自然響應(yīng)）與特解（受迫響應(yīng)）先求齊次解:再求特解:完全響應(yīng):§2.2LTI系統(tǒng)的微分方程表示及其響應(yīng)其中yk(t)由特征方程根的模式?jīng)Q定（P.43，表2-1）2.2LTI系統(tǒng)的微分方程表示及其響應(yīng)(3)零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)①零輸入響應(yīng):由初始條件定出ck

即可微分方程的求解②零狀態(tài)響應(yīng):微分方程的求解和特解:t≥0由初始條件定出ck

即可。微分方程的求解③完全響應(yīng):t≥0解的形式舉例例：已知某系統(tǒng)的微分方程模型為:初始條件y(0)=1，y(1)(0)=0輸入x(t)=5e–3tu(t)求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)y0(t)，零狀態(tài)響應(yīng)yx(t)以及完全響應(yīng)y(t)。舉例解一:(a)求零輸入響應(yīng)y0(t)由特征方程λ2+3λ/2+?=0的特征根為λ1=–1，λ2=–1/2，故零輸入響應(yīng)為y0(t)=c1e–t

+c2e–t/2…(1)由初始條件y(0)=1，y(1)(0)=0，解得c1=–1，c2=2故y0(t)=–e–t

+2e–t/2舉例(b)求零狀態(tài)響應(yīng)yx(t)。特解為yp(t)=Ae-3t，代入微分方程得A=1，零狀態(tài)響應(yīng)的特解、奇次解和完全解分別是: yxp

(t)=e-3t yxh(t)=c1e-t+c2e-t/2 yx(t)=yxp(t)+yxh(t)=c1e-t+c2e-t/2+e-3t…(2)將初始條件y(0)

=

y(1)(0)

=

0

(零狀態(tài)初始條件)，代入上式得c1

=-5，c2

=

4故零狀態(tài)響應(yīng)為:yx(t)=yxh(t)+yxp(t)=(-5e-t+4e-t/2+e-3t)u(t)(u(t)表示t>0)舉例(c)完全解(全響應(yīng))y(t)=y0(t)+yx(t)=[-e-t+2e-t/2-5e-t+4e-t/2+e-3t]u(t) =(-6e-t+6e-t/2)u(t)+e-3tu(t)自然響應(yīng)受迫響應(yīng)

解二：若方程(2)代入初始條件由初始條件y(0)=1，y(1)(0)=0會(huì)得到怎樣的結(jié)果？此時(shí)，c1=

-6，c2=6，則有 y(t)=yh(t)+yp(t) =(-6e-t+6e-t/2)u(t)+e-3tu(t)全響應(yīng)自然響應(yīng)受迫響應(yīng)舉例分析:零狀態(tài)響應(yīng)yx(t)=yh(t)+yp(t)=(-5e-t+4e-t/2)u(t)+e-3tu(t)

中第一項(xiàng)表示由輸入x(t)誘發(fā)的由系統(tǒng)自身特征所決定響應(yīng)(固有振蕩)，是輸入能量的一部分，第二項(xiàng)受迫響應(yīng)是輸入能量的另一部分，具有輸入信號(hào)的頻率特征(變化規(guī)律)。全響應(yīng)y(t)=(-6e-t+6e-t/2)u(t)+e-3tu(t)與零狀態(tài)響應(yīng)比較，可見(jiàn)自然響應(yīng)中確包含有全部的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的一部分。2.3有躍變的零狀態(tài)響應(yīng)（不作要求）初始條件有躍變時(shí)x(0+)≠0，初始條件應(yīng)為:y0(k)(0+)=0→yx(k)(0+)=y(k)(0+)不全為0(1)先定初始條件{y(k)(0+)}物理概念法例:以電路系統(tǒng)如右圖，對(duì)應(yīng)的微分方程為其中e(t)=u(t)，求零狀態(tài)響應(yīng)δ(t)函數(shù)匹配法由于信號(hào)輸入系統(tǒng)時(shí)x(t)=f(t)u(t)，方程(1)的右邊就會(huì)出現(xiàn)最高為m階的δ導(dǎo)數(shù)δ(m)(t)項(xiàng)，因此，(1)的左邊Dny(t)中也含有δ(m)(t)項(xiàng)，而其它Dky(t)項(xiàng)含δ(m)(t)的n-k重積分項(xiàng)。通過(guò)對(duì)方程(1)兩邊m次積分，利用δ(k)(t)及δ(t)性質(zhì)和就可定出初始條件例:求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。δ(t)函數(shù)匹配法微分特性法(∵LTI系統(tǒng))利用： x(t)→y(t)； Dkx(t)→Dky(t)。求的零狀態(tài)響應(yīng)yx(t)，可先求，(x(t)不含δ(t)及其導(dǎo)數(shù))的解則：微分特性法微分特性法2.4單位沖激響應(yīng)x(t)=δ(t)→h(t)——單位沖激響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))x(t)=u(t)→s(t)——單位階躍響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))2.4單位沖激響應(yīng)①δ(t)函數(shù)匹配法求h(t)先用δ(t)函數(shù)匹配法求初始條件：2.4單位沖激響應(yīng)②微分方程特性法求h(t)：注意：方程(1)中n≤m時(shí)，h(t)中包含δ(t)及δ(t)的最高到m

–

n的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(即，在h(t)中要加相應(yīng)的項(xiàng))。2.4單位沖激響應(yīng)例：求由方程

決定的系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：令①由得r1=–2，r2=–32.4單位沖激響應(yīng)②仍先求(1)式的解，（不作要求）2.5卷積積分1．用沖激函數(shù)表示的任意函數(shù)位移脈沖：物理意義：任意信號(hào)x(t)可以由單位沖激函數(shù)(基函數(shù))的加權(quán)積分表示 2.5卷積積分有δ(t)→h(t);x(τ)δ(t–τ)→x(τ)h(t–τ);結(jié)論：LTI系統(tǒng)對(duì)于任意信號(hào)x(t)零狀態(tài)響應(yīng)可以由該信號(hào)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的卷積得到：或

h(t)是系統(tǒng)特性的描述和表征因果系統(tǒng)：h(t)=0，t<0穩(wěn)定系統(tǒng)：2.卷積積分及意義 2.5卷積積分的運(yùn)算和圖解卷積的圖解步驟：①令t=τ，→h(τ)，x(τ)，并畫(huà)示意圖；②畫(huà)h(–τ)圖；③畫(huà)h(t–τ)圖(h(–τ)向右平移t)；④將x(τ)與h(t–τ)相乘：⑤將x(τ)h(t–τ)對(duì)τ

積分，即得t時(shí)刻的卷積結(jié)果。例1：x(t)=e–atu(t)，a>0，h(t)=u(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。2.5卷積積分的運(yùn)算和圖解t<0時(shí)，y(t)=0對(duì)于全部t，

2.5卷積積分的運(yùn)算和圖解例2：求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：2.6卷積積分的性質(zhì)1．卷積的代數(shù)運(yùn)算

A.交換率： x1(t)*x2(t)=x2(t)*x1(t); y(t)=x(t)*h(t)=h(t)*x(t) B.結(jié)合律： x1(t)*(x2(t)*x3(t))=(x(t)*x2(t))*x3(t); y(t)=w(t)*h2(t))=[x(t)*h1(t)]*h2(t)=x(t)*[h1(t))*h2(t)]=x(t)*h(t)結(jié)論：級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積；級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與子系統(tǒng)聯(lián)結(jié)順序無(wú)關(guān)。§2.6卷積積分的性質(zhì)C.分配律：

x1(t)*(x2(t)+x3(t))=x1(t)*x2(t)+x1(t)*x3(t) y(t)=x(t)*(h1(t)+h2(t))=x(t)*h1(t)+x(t)*(h2(t) =x(t)*h(t); h(t)=h1(t)+h2(t).結(jié)論：系統(tǒng)的并聯(lián)，單位沖激響應(yīng)等于并聯(lián)接中各個(gè)子系統(tǒng)沖激響應(yīng)之和；§2.6卷積積分的性質(zhì)2.卷積的微積分性質(zhì)(要求帶限時(shí)間函數(shù))A.微分性質(zhì)x(1)(t)=x1(1)(t)*x2(t)=x1(t)*x2(1)(t)；證明略…推廣：x(n)(t)=x1(n)(t)*x2(t)=x1(t)*x2(n)(t)B.積分性質(zhì)

x(-1)(t)=x1(-1)(t)*x2(t)=x1(t)*x2(-1)(t)；證明略…推廣：①x(–m)(t)=x1(–m)

(t)*x2(t)=x1(t)*x2(–m)(t)；②x(n–m)(t)=x1(n)

(t)*x2(–m)

(t)=x1(–m)(t)*x2(n)(t).利用卷積的微積分性質(zhì)可化簡(jiǎn)運(yùn)算。§2.6卷積積分的性質(zhì)3．任意函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積，m為整數(shù)，x0(t)如下圖求例1．單位沖激串(或梳狀函數(shù)comb(t))§2.6卷積積分的性質(zhì)解：(1).(2).§2.6卷積積分的性質(zhì)例1.求卷積解：(1)圖解輔助法?！?.6卷積積分的性質(zhì)§2.6卷積積分的性質(zhì)§2.6卷積積分的性質(zhì)例2.信號(hào)如下圖所示，試計(jì)算二者的卷積解：此題x2(t)為時(shí)限信號(hào)，它在t→∞時(shí)不趨于零?？从袃煞N解法有什么結(jié)果。解法一.利用微分積分性質(zhì)計(jì)算卷積。先對(duì)x1(t)積分、對(duì)x2(t)求導(dǎo)其圖形如下(a)，(b)所示。ab§2.6卷積積分的性質(zhì)于是解法二.利用圖解法計(jì)算卷積?！?.6卷積積分的性質(zhì)上述兩結(jié)果