一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1、掌握一元二次方程一般式解集的方法.2、掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.3、會(huì)用整體代入法解一元二次方程.4、學(xué)會(huì)用配方法推出一元二次方程的解集.5.靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決一元二次方程問(wèn)題.【教學(xué)重點(diǎn)】掌握用配方法，整體代入法解一元二次方程.用根與系數(shù)的關(guān)系解題.實(shí)際情景問(wèn)題中構(gòu)建一元二次方程模型.【教學(xué)難點(diǎn)】用整體代入法解一元二次方程.靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，基礎(chǔ)恒等式解決問(wèn)題.【教學(xué)過(guò)程】一、一元二次方程的解集【情境與問(wèn)題】我們知道，形如ax2+bx+c=0的方程為一元二次方程，其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0.從上一節(jié)的內(nèi)容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用這種方法有時(shí)候并不容易，例如情境與問(wèn)題中所得到的方程就是這種情形，此時(shí)該怎么辦呢？【嘗試與發(fā)現(xiàn)】你認(rèn)為最簡(jiǎn)單的一元二次方程具有什么樣的形式？可以怎樣得到這種方程的解集？舉例說(shuō)明你認(rèn)為最簡(jiǎn)單的一元二次方程具有什么樣的形式？可以怎樣得到這種方程的解集？舉例說(shuō)明.不難知道，如果一個(gè)一元二次方程可以化為x2=t的形式，其中t為常數(shù)，那么這個(gè)方程的解集①是容易獲得的.（①如不特別聲明，本書(shū)中所說(shuō)的一元二次方程的解均指的是實(shí)數(shù)解，下同。）例如，方程x2=3的解集為{一，}，方程x2=0的解集為{0}，方程x2=-2的解集為?.一般地，方程x2=t：當(dāng)t>0時(shí)，解集為{，-}；（2）當(dāng)t=0時(shí)，解集為{0}；（3）當(dāng)t<0時(shí)，解集為?.更進(jìn)一步，形如(x-k)2=t（其中k，t是常數(shù)）的一元二次方程的解集也容易得到.例如，由(x-1)2=2可知x-1=﹣或x-1=，從而x=1-或x=1+，因此解集為{1-，1+}.一般地，方程(x-k)2=t：當(dāng)t>0時(shí)，解集為；當(dāng)t=0時(shí)，解集為；當(dāng)t<0時(shí)，解集為.因此，對(duì)于一般的一元二次方程來(lái)說(shuō)，只需要將其化為(x-k)2=t的形式，就可得到方程的解集.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】怎樣將怎樣將x2+2x+3=0化為(x-k)2=t的形式?動(dòng)手試試看,并寫(xiě)出這個(gè)方程的解集.我們知道,利用配方法可得x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2因此x2+2x+3=0可以化為(x+1)2=﹣2,從而解集為?.事實(shí)上,利用配方法,總是可以將ax2+bx+c=0(a≠0)化為(x-k)2=t的形式,過(guò)程如下:因?yàn)閍≠0,所以一般地，Δ=b2-4ac稱(chēng)為一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判別式.由此可知，一元二次方程解集的情況完全由它的系數(shù)決定。前述情境與問(wèn)題中的方程可以化為(x+17)2=71289，從而可解得x=250或x=-284（舍）.【典型例題】例1求方程的解集.分析這不是一個(gè)一元二次方程，但是通過(guò)把看成一個(gè)整體就可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程.解設(shè)=y,則y≥0,且原方程可變?yōu)橐虼丝芍獃=1+或y=1-(舍)從而=1+,即x=3+2,所以原方程的解為{3+2}.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系我們知道，當(dāng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集時(shí)，這個(gè)方程的解可以記為①①當(dāng)Δ=0時(shí)，x1=x2，按照初中的習(xí)慣，我們?nèi)苑Q(chēng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】計(jì)算計(jì)算x1+x2和x1x2的值,并填空:x1+x2=,x1x2=,這一結(jié)論通常稱(chēng)為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.【典型例題】例2已知一元二次方程2x2+3x-4=0的兩根為x1與x2，求下列各式的值：（1）x12+x22；